Ландсберг Г.С. - Оптика (1070727), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(12.5) т У О ) Особенности интерференционных явлений, излагаемые здесь и ниже, в равной мере относятся к любой фотометрической величине (потоку, яркости, освещенности). Поэтому не имеет смысла конкретизировать, о какой именно фотометрической величине идет речь в том или ином случае, и термин «интенсивность» будет приъ1еняться для любой энергетической величины, пропорциональной квадрату амплитуды колебаний напряженности поля.
(см. упражнения 13 и 14), Выражение (12.3) показывает, что квадрат амплитуды результирующего колебания не равняется сумме квадратов амплитуд складывающихся колебаний, т.е. энергия результирующего колебания не равна сумме энергий складывающихся колебаний. Результат сложения зависит от равиоспти фаа (1р1 — 1р2) исходных колебаний и может иметь любое значение в пределах от А- = (а1 — а2) (при 1р1 — р2 — — я) до А" = (а1 + а2) (при 1р1 1р2 = О).
Однако практически мы никогда не имеем дела со строго гармоническими колебаниями, описываемыми (12.1), т.е. колебаниями, длящимися бесконечно долго с неизменной амплитучой. Обычно колебания время от времени обрываются и возникают вновь уже с иной, нерегулярно измененной фазой, т.е. не являются строго гармоническими. В таком случае и результирующая интенсивность (Хж А ) также меня- 2 ется с течением времени ). Наблюдая эту интенсивность, мы могли бы получить изменяющиеся значения; однако для этого необходимо применить для наблюдения прибор, который реагировал бы достаточно быстро, чтобы отмечать изменения Х.
В противном случае мы не сможем следить за. всеми изменениями Х и будем регистрировать только некоторое среднее во времени значение интенсивности Х, обозначаемое через Х, подобно тому как глаз не в состоянии следить за колебаниями яркости лампочки накаливания, питаемой переменным током, и отмечает некоторую постоянную среднюю яркость. Вводя обозначение 21~ = 1р1 — 1р2, вычислим средний квадрат амплитуды результирующего колебания за промежуток времени т, длительный по сравнению со временем нерегулярных изменений фазы фс т т Хю А = — ~ А'йт = — ~ (а1+а22+2а1а2со8~) гХт = т о О О ГЛ. 1М.
КОГЕРЕ11ТНОСТЬ Если ф остается неизменным в течение времени наблюдения т, то 1 совфйт = сов1,д т О следовательно, Аг = а21+ а~~+ 2а1агсов11, т.е. Х Ф Х1 + Х2. При случайном же обрыве и возобновлении колебаний разность фаз изменяется совершенно беспорядочно, многократно пробегая за время т т все значения от нуля до 2к. Поэтому — ) сов б сает стремится к нулю, 0 и мы имеем А = а', + а~~, т.е. Х = Х1 + Хг. Итак, при сяожении двух колебаний одного периода надо различать два случая. 1.
Разность фаз колебаний сохраняется неизменной за время т, достаточное для наблюдений. Средняя энергия результирующего колебания отличается от суммы средних энергий исходных колебаний и может быть больп1е или меньше нее в зависимости от разности фаз. В этом случае колебания называются когерентными. Сложение колебаний, при котором не имеет места суммирование интенсивностей, мы будем называть интер4еренцией колебаний. 2. Разность фаз колебаний беспорядочно меняется за время наблюдения, Средняя энергия результирующего колебания равна, сумме средних энергий исходных колебаний.
Колебания в этом случае называются некогерентными. При их сложении всегда наблюдается суммирование интенсивностей, т.е. интерференция не имеет места. Как указывалось выше, строго гармонические колебания одинаковой частоты всегда вполне когерентны между собой. ибо, поскольку они длятся, не обрываясь, имеющаяся у них разность фаз сохраняется без изменения сколь угодно долгое время. Поэтому при сложении таких гармонических колебаний всегда проявляется интерференция. Итак, результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты зависит от соотношения между их фазами.
При сложении большого числа Х колебаний одинаковой частоты с произвольными фазами результат будет, конечно, зависеть от закона распределения фаз. Предполагая для простоты„что все колебания имеют одинаковьте амплитуды, равные а, найдем, что результирующая интенсивность может заключаться между Хга и нулем, Как показал Рэлей '), при распределении фаз, которые подвергаются вполне случайным изменениям, среднлл энергия суммы таких колебаний за время, охватывающее достаточно большое число изменений фаз, равна Ха, т.е.
в данном общем случае имеет место сложение интенсивностей. Этот ) Дж. В. С т р э т т (Р э л е й). Волновая теория света.— Мс Гостехиздат, 1940, З 4. Изложение рассуждений Рэлея можно найти в книге: Г. С. Г о р е л и к. Колебания и волны.— М.: Физматгиз, 1959, гл. Х, З 2. Ин ГЕРФЕВЕИЦИЯ СВЕТА вывод имеет самое непосредственное отношение к реальным источникам света. Результирующее колебание от отдельных испускающих центров (атомов), составляющих источник, создает освещенность, величина которой в данный момент и в данной точке зависит от соотношения фаз между колебаниями отдельных центров.
Но наш глаз воспринимает липп среднюю освещенность за некоторый достаточный для восприятия интервал времени и на некоторой достаточной по величине освещенной площадке. Это обстоятельство приводит к полному усреднению фазовых соотношений, в результате чего воспринимаемая освещенность окажется просто суммой освещенностей, создаваемых каждым светящимся центром нашего источника. Поэтому мы вправе сказать, что две одинаковые свечи дают освещенность вдвое ббльшую, чем одна. 'й 13.
Интерференция волн В соответствии с определением предыдущего параграфа мы говорим об иитиерфереиции волн, когда при их совместном действии не происходит суммирования интенсивностей. Условием интерференции волн одной и той же частоты является их когерентность, т.е. сохранение неизменной разности фаз за время, достаточное для наблюдения.
В частности, монохроматпческие волны, т.е. волны, порождаемые- гармоническими колебаниями, когерентны и могут интерферировать (если, конечно, они имеют одинаковый период). Способность когерентных волн к интерференции означает, что в любой точке, которой достигнут эти волны, имеют место когерентные колебания, которые будут интерферировать. Мы будем для простоты предполагать, что обе волны одинаково линейно поляризованы. Результат интерференции определяется разностью фаз интерферирующих волн в месте на; блюдения, а эта. последняя зависит от начальной разности фаз волн, а также от разиости расстояний, отделяющих точку наблюдения от источников каждой из волн. Пусть две когерентные волны исходят из источников 51 и Я2 (рис.
4.1): колебания в них направлены перпендикулярно к плоскости О' Рис. 4.1. К расчету разности фаз волн, идущих от двух когерентных источников чертежа, и наблюдение производится в точке ЛХ. Допуская для простоты расчета, что в ней обе волны имеют одинаковые амплитуды, найдем, что колебания в М', вызываемые первой и второй волнами, ГЛ. 1Ъ'.
КОГЕРЕ1ГГ11ОСТЬ выразятся в виде 27г 2тг — — — — (о а1 — — а сов а2 = асов И'а а1 7/~ = 27г Л Выразим разность хода через длину волны Ь = 42 — д1 — — тЛ, где т -- любое число (целое или дробное). Соответствующая разность фаз ф = 2ят. Если начальные фазы одинаковы ((о = 0), то интенсивность двух интерферирующих волн с одинаковыми амплитудами запишется в виде Х Ас = 4а соас (а ' ) = 4и оса~~ос. (13.2) Л Целым значениям т соответствуют различие по фазе па 2ггт и интенсивность, пропорциональная 4а2.
При т полуцелом фазы складывающихся колебаний противоположны и интенсивность равна нулю. В общем случае т -- дробное число. При неравных амплитудах интенсивность выражается соотношением ХыА = а1+а~+2а1а2 сов(2ггт) = (а1 — а~) +4а1а2сов 1гт. (13.3) ПРи Целом т имеем максимУмы Ав = (а1+ а~)2с пРи полУЦелом т— минимумы А = (а1 — ао) . Таким образом, геометрическое место точек пространства, характеризующихся одинаковыми амплитудами (и интенсивностями), удовлетворяет условию (гХ2 — гХ1) /Л = сонм,, т.е. представляет собой поверхность гиперболоида вращения с осью 513~, фокусами которого служат точки Я1 и Я2 (на рис. 4.1 сечение одного из таких гиперболоидов плоскостью чертежа изображено штриховыми линиями).
В частности, где а1 —— 51 ЛХ и (Х2 = 52М, Л вЂ” длина волны, а (о — начальная разность фаз. Складываясь в точке М,колебания дадут 8 =81+82 = = 2асоа (а ' С- — ) соа '(2 ( — — ' ' ) — — 1 . (13.1) Таким образом, колебание в точке ЛХ имеет амплитуду, равную 2асоз(1г(И2 — (Х1)/Л + (о/21,и интенсивность, пропорциональную 4а сов ~г ' ' +— Для когерентных волн д постоянна, и следовательно, различие интенсивности света в разных точках зависит только от различия разностей расстояний И2 и а1. Благодаря этой разности расстояний, или, как принято говорить, разности ходи двух волн, колебания.
вызванные этими волнами в точке их встречи, будут обладать риоиость1о фаз даже в том случае, когда начальные фазы обеих волн были одинаковы. Разность фаз 6, возникшая вследствие разности хода волн, равна И!П'ЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕ"ГА средняя плоскость, показанная на чертеже линией 00', соответствует плоскости максимальной интенсивности.
Описанное распределение интенсивностей представляет собой интерференционную картину, соответствующую интерференции двух когерентных волн с на ~альной разностью фаз, равной нулю. Если бы начальная разность фаз отличалась от пуля, то мы имели бы такую же картину. в которой, однако, темные и светлые полосы принимают некое промежуточное положение, зависящее от р. Действительно, в этом общем случае условие, например, максимума интенсивности в интерференционной картине имеет вид 'а + — ' = л 27Г Следовательно, отличие р от нуля эквивалентно тому, что (д2 — И1)/Л не равно пелому числу, как было бы при р = О. В случае некогерентных волн каждому значению р будет соответствовать своя интерференционная картина, которая с течением времени будет сменяться другой.
Если их смена происходит достаточно быстро, то мы не в состоянии наблюдать эти мгновенные интерференциопные картины и воспринимаем некоторое среднее состояние, которое соответствует монотонному распределению интенсивности. 1~ак ~~д~о из рассмотренных примеров суперпозиция волн с равными и неравными амплитудами, соотношение между их амплитудами существенно сказывается на качестве интерференционной картины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
