Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 87
Текст из файла (страница 87)
1Г о о = — Еох (8.28) 2т " (гоо — О)о)о+у'гоо Получена зависимость (8.28) поглощаемой осциллятором мощности от амплитуды Е,х воздействующей на него монохроматической волны. Для перехода к произвольному электромагнитному полю следует выразить поглощаемую мощность через энергию этого поля, учитывая, что в этом случае колебания Е происходят не только вдоль оси Х, но и по осям У и Е.
При этом <Ео> 1 Ео 1 Еох+ Еоо+ Еох 3 Еох 4а 2 4я 2 ' 4п 2 4я ' Несколько сложнее получить выражение для энергии, поглощенной осциллятором, в реальной задаче, когда действующее на него излучение не является строго монохроматическим, а распределено в спектральном интервале бо» с плотностью У . При этом Е3, в формуле (8.28) должно быть заменено 8пУ„6»о/3 и полную мощность, поглощаемую 350 осциллятором на всех частотах, можно получить интегрпровшппм по о в пределах (О, оа): 3 2гл,) (ая — а,")х+т' оР о (8.29) ах и х~+ ах а После всех этих упрощений получаем ОО йа а~у~ (, ~ т '1з зт ' (8.30) аогл З в~а ~' 1 (ы,аа)х+ ~ 12/ Ю Окончательное выражение для энергии, поглощаемой осциллятором, на который действует излучение с плотностью У„распределенной в интервале частот пт, просто получается из (8.30).
Как известно, Уа — — У, /(2 я). Следовательно, (8. 31) Теперь можно подвести итоги всем проведенным вычислениям и оценкам. Осциллятор, находящийся в электромагнитном поле, спектральная плотность энергии которого У„непрерывно поглощает мощность в количестве, определяемом выражением (8.31). В то же время он излучает по всем направлениям мощность, определяемую произведением коэффициента затухания и средней энергии <В'> (см. (8.28)).
В условиях равновесия надо приравнять излучаемую мощность той мощности, которую осциллятор забирает от воздействующего на него электромагнитного поля. Это позволит получить искомую связь между плотностью энергии поля У, и средней энергией осциллятора <Ю). Проведем соответствующие вычисления: 2 4ахт~ф а а~ <)р>= — — и,. 3 ааа 3 щ Ряд соображений позволяет существенно упростить вычисление этого интеграла.
Подынтегральное выражение состоит из двух сомножителей: медленно изменяющейся функции У„ и выражения вЧ[(оР— аа)' + у'оР), имеющего при достаточно большой добротности острый максимум вблизи в = а,. Поэтому функцию У можно в окрестности в = в, заменить постоянной величиной У, и вынести из-под знака интеграла. Для того чтобы еще упростить вычисления, положим ь+ в, = 2 а„т.
е. (оР— ао)' = 4 ыа ю(а — аа)'. Учтем также, что далекие крылья функции поглощения практически не дают никакого вклада в суммарное поглощение. Это позволяет заменить пределы интегрирования в выражении (8.29), сведя задачу к вычислению интеграла Тогда (8.32) Используя связь (8.11) между плотностью Ут энергии электромагнитного поля и испускательной способностью г,,г абсолютно черного тела, находим гт.
г= — у (н7>. 2н св (8.33) Необходимо осмыслить полученные результаты и их физические следствия. Доказано, что плотность У, электромагнитной энергии и пропорциональная ей испускательная способность гт,г абсолютно черного тела нацело определяются произведением квадрата частоты и средней энергии осциллятора (Яу~. Следовательно, прежде всего надо выяснить, от каких параметров зависит (йу)а. На первый взгляд, это рассмотрение не может представить каких- либо затруднений. Хорошо известно, что по закону равнораспределения кинетической энергии по степеням свободы, являющемуся одним из фундаментальных соотношений классической физики, на каждую степень свободы исследуемой системы приходится лТ12. Осциллягор имеет кинетическую и потенциальную энергию и можно считать (11 ввн)~(1(рвот)= (1(У).
2 Следовательно, его средняя энергия (Яу) = йТ, где й — постоянная Больцмана (А = 1,38 ° 10-ха эрг/К), а Т вЂ” температура внутри полости. Напомним, что этот результат сразу получается из применения теоремы Больцмана для вычисления среднего значения интересующей нас величины — энергии осцнллятора. Для этого необходимо просуммировать по всем непрерывно изменяющимся значениям энергии яу ее произведение на относительную вероятность (е — вг/аг)того, что в равновесии встретится состояние, характеризуемое этим значением энергии, и отнести этот интеграл к нормирующему множителю, получающемуся при суммировании относительной вероятности по всем значениям непрерывно изменяющегося значения йу: ° О )" кге — гг!ат лйг в ОЭ вЂ” ж!аг лйг о (8.34) 352 (нхащ у ь е б системы стоячих волн, но проведенный вывод более наглядно иллюстрирует равновесне между налученнем н оспнллятором.
В результате вычисления интегралов в отношении (8.34) легко получается <йг) = 'яТ. Подставляя это значение <%') в (8.32) и (8.33), окончательно получаем: (8.35) сз ' ' сс Эти выражения называют формулой Рзлея — Джинса в честь двух известных физиков, занимавшихся решением данной задачи.
Напоминаем читателю, что формула (8.35) была полученаприменением к равновесному тепловому излучению законов термодинамики и теоремы Больцмана о равнораспределении энергии по степеням свободы. Очевидно, что полученные сеотношения удовлетворяют термодинамической формуле Вина (8.6). Для того чтобы удостовериться в этом, положим Г (ч!Т) = —, —. Тогда в соответствии с (8.35) 2вл Т г, г=тз РЯТ)= — тсйТ. сс Однако не представляет труда доказательство того, что формула Рэлея — Джинса резко противоречит опытным данным. Действительно, оценим, пользуясь формулой (8.35), значение Я,„— интегральную энергетическую светимость абсолютно черного тела: ОЭ ОО Л,„=~ г„й = ~ йт ~ ~Ч. (8.36) о о Интеграл в правой части выражения '(8.36) равен бесконечности, и, следовательно, Я,„(при Т ~ О) также стремится к бесконечности.
Это значит, что при любой температуре, отличной от абсолютного нуля, не может быть достигнуто равновесие, и энергетическая светимосгь абсолютно черного тела вопреки опыту будет бесконечно велика. Для того чтобы более полно разобраться в пределах применимости формулы Рэлея — Джинса, запишем ее в другой форме, перейдя в выражении (8.35) от частот к длинам волн: ~гь)=~с„— 1= — ЬТ.
(8.37) сй) М Зависимость (8.37) показана пунктиром на рис. 8.10 по сравнению с кривой гь для абсолютно черного тела, отлично согласующейся с данными опыта. Лишь в далекой инфракрасной области спектра можно обнаружить соответствие между экспериментальной кривой и формулой Рэлея — Джинса, а для излучения более коротких длин волн наблюдается резкое расхождение результата, полученного применением классической теории и данными опыта. В частности, из формулы Рэлея — Джинса следует, что вопреки опыту для любой температуры гь-~ оо при 2,-~.0. Эти расхождения теории и эксперимента, обнаруженные на рубеже Х1Х и ХХ вв.
получили хлесткое название «ультрафиолетовая катастрофа» и явились серьезным предостережением, далеко выходящим за рамки задачи о построении универсальной функции 1(с, Т) = гм т. 12 змь ызэ ЗЗЗ Смысл общего вывода заключается в том, что вся классическая физика имеет определенные границы применимости и использование ее законов и методов вне этих границ приводит к противоречию с опытом, являющимся основным критерием правильности той или иной теории. Что касается конкретной задачи о согласовании теории равновесного теплового излучения и эксперимента, то тут создалась ситуация, которая хорошо характеризуется образным высказыванием знаме- нитого физика Лоренца: «Уравнег„ ния классической физики оказались з неспособными объяснить, почему угасающая печь не испускает желтых лучей наряду с излучением ! больших длин волн...».
г Многочисленные попытки найти )г выход из этого тупика не приводили к успеху вплоть до начала ХХ в., когда М. Планк сформули- 1 ровал гипотезу дискретных квантов энергии, последовательное развитие которой многими физиками (в первую очередь А.
Эйнштейном и Н. Вором) в дальнейшем привело к определению границ примениРис. а.!О. Зависниосга испуснагела- мости классической теории и созной способности черного тела от или- Данию новой квантовой физики, ны волны иэ опыта (1) и по Рэлею' громадное значение которой для и Джинсу (2) развития всех естественных наук общеизвестно. Гипотеза, выдвинутая Планком, заключалась в том, что энергия осциллятора не может принимать произвольные значения, а должна быть кратной некоторой вполне определенной величине ((г"„ именуемой квантом энергии. Другими словами, энергия Яу должна быть равной л((У„ где и †обязатель целое число (и = 1, 2, 3,...). Это значит, что излучаемая и поглощаемая осцнллятором энергия также может принимать лишь вполне определенные (квантованные) значения, т. е. излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а определенными порциями — квантами.
Приняв эту гипотезу, уже нельзя исходить из равнораспределения энергии по степеням свободы н вычислять среднее значение энергии осциллятора указанным выше способом с использованием соотношения вида (8.34). Учитывая дискретное изменение ((У, нужно заменить интегралы в этом выражении бесконечными рядами и для определения (()у) найти отношение сумм этих двух рядов: у л)р е-лпэцат! (Яг)= " -апгнцат! е и 0 (8.38) Вычисление средней энергии осциллятора легко провести, заметив, что каждый член геометрической прогресси в числителе выра)ьсиия (8.38) с точностью до знака равен производной по $ = 1/(ЙТ) от соответствующего члена прогрессии, находящейся в знаменателе этого соотношения: (Ят)= — — 1п '~ е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
