Калитеевский Н.И. - Волновая оптика (1070655), страница 88
Текст из файла (страница 88)
1о)то — — 1п л -",. л ! о)8 1 о-1)т~ )то о 1'т ))то 1 о-1з о ою Плт) 1 (8.39) Для получения окончательных выражений остался всего один шаг. Выражения (8.40) должны удовлетворять термодинамической формуле Вина (8.5). Для выполнения этого требования нужно положить ))Уо = ))т, где )) не может зависеть от т и Т, т. е. является константой. После этого простого преобразования получаем формулу Планка: 8коо «о 2коо «т Уо= — или то, т= — ° (8.41) оо лоплт) 1 "' оо л, пот) Проанализируем эти фундаментальные соотношения.
Очевидно, что при Ъ~=йТ можно разложить экспоненциальную функцию в ряд: ело)<лт) 1+ " + ьт Тогда, ограничиваясь в этом разложении вторым членом, получим формулу Рэлея — Джинса (8.35): 2аоо )о, т= — "Т ° со Значит, при малых частотах (точнее, при выполнении условия ))т(~йТ) квантовая формула Планка переходит в классическую формулу Рэлея — Джинса. Следовательно, условия малости кванта энергии ))т по сравнению с величиной кТ определяет границы применимости классической теории. Если нельзя считать Ъм.'йТ, то использование формулы Рэлея — Джинса незаконно и для описания свойств теплового излучения нужно применять формулу Планка.
Переходя от частот к длинам волн, запишем формулу Планка в виде, который удобно сравнивать с данными опыта: 2коо а ть, т= —, )оо ло пол т) (8.41а) 12' 365 Итак, для среднего значения энергии осциллятора (77~ получилось совсем иное значение, чем при использовании закона классической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Подставляя (8.39) в исходное выражение (8.32), имеем: 8коо Уо 2коо ато Уо= — ', то,т = — ' .
(8.40) со очтодот) ' оо отта)сот) Оказалось, что формула (8.41а) отлично согласуется с рассмотренными ранее (см. 5 8.1) экспериментальными кривыми: при уменьшении длины волны гь не стремится к бесконечности, а имеет максимум пря некотором значении 1,„,„,. При 1. -~ 0 формула Планка предсказывает экспоненциальный спад гм что также полностью соответствует данным опыта. Используя качественное согласие экспериментальной и теоретической кривых гм можно добиться полного их совпадения, выбрав определенное значение константы й, соответствующее опытным данным в формуле Планка.
При первичной оценке а Планк воспользовался значениями констант о и Ь в законах абсолютно черного тела (8.13), (8.14). В дальнейшем эта важнейшая физическая константа была измерена различными способами. Некоторые способы определения постоянной Планка (из опытов по фотоэффекту и по коротковолновой границе сплошного рентгеновского спектра) будут описаны в последующих параграфах этой главы.
Наиболее точным считается значение й = 6,626122 ° 10-" эрг ° с. Работа, опубликованная М. Планком в начале ХХ в., не сразу встретила признание. Многие видные физики того времени были склонны считать предложенный Планком способ вычисления (Яу) неким математическим фокусом, не имеющим серьезного физического смысла.
Большой заслугой Эйнштейна является своевременная поддержка и развитие этой принципиально новой идеи, обусловившей революционные преобразования в физике. В частности, Эйнштейн сразу же предложил использовать формулу Планка для объяснения зависимости тепло- емкости твердых тел от температуры вблизи абсолютного нуля, истолковал опыты по фотоэффекту, введя понятие фотона и заложив тем самым основы квантовой оптики (см. 9 8.6). Об этом стоит упомянуть, так как в популярной литературе иногда встречаются попытки представить Эйнштейна ученым, завершившим классическую физику, но не принявшим квантовых представлений. Это совсем неправильная точка зрения. Эйнштейн бесспорно был одним из творцов новой квантовой физики, а его сомнения и поиски смысла вероятностного описасания, свойственного дальнейшему развитию квантовой механики, отражают глубину подхода этого гениального ученого ко всем проблемам естествознания.
Другое дело, что по многим причинам, из которых не последнюю роль играли многолетние попытки решить непомерно трудную задачу создания единой теории поля, за последние 30 лет своей жизни Эйнштейн не внес существенного вклада в бурное развитие квантовой физики. В последующие несколько лет исчезли всякие сомнения в значении идей о квантовании энергии и справедливости формулы Планка, которая была использована в самых различных областях физики. Более того, наличие этой формулы стимулировало введение новых понятий, значение которых проявилось лишь в последующие десятилетия.
Для иллюстрации этого приведем основы вывода формулы Планка, который был предложен Эйнштейном в 1916 г. В этом выводе было впервые введено понятие вынужденного излучения, играющее основную роль в механизме генерации мазеров и лазеров. ЫУув —— А щвУувЖ. (8.42) Такие переходы происходят без какого-либо внешнего воздействия, носят случайный характер и называются спонтанными.
Вероятность спонтпнного перехода А„„является атомной константой и для двухуровневой системы будет обратно пропорциональна времени жизни атома иа данном энергетическом уровне (см. $ 5.8). Очевидно, что переходы, в которых участвуют независимые атомы, которые пространственно разделены и высвечиваются в различные промежутки времени, должны приводить к некогерентному излучению.
Кроме спонтанных излучательных переходов должны иметь место переходы и-го на и-й уровень, сопровождающиеся поглощением излучения атомной системой. Не составляет труда оценить скорость НУ„ЫГ йроцесса поглощения излучения, используя принятое статистическое описание. Для этого обозначим через В У, соответствующую вероятность перехода, а через ӄ— число атомов на и-м уровне. Нужно также учесть, что каждый атом черпает энергию из окружающей среды, т. е. эти переходы происходят под действием некоторой вынуждающей силы.
Тогда для процесса поглощения энергии, сопровождающегося вынужденным переходом с и-го на т-й уровень, справедливо соотношение У7„= В„.ЛГ„и, И. (8.43) 357 Предположив, что энергия может излучаться и поглощаться лишь определсппымп порцпямп (квантамн), естественно считать, что существуют какие-то дискретные уровни энергии, прп переходе между которыми н происходит излучение и поглощсние. Такое развитие квантовых представлений в явной форме фигурировало еще в теории атома, разработанной Н.
Бором. Сложнее привыкнуть к представлени|о о вероятностном характере всех рассматриваемых явлений. При атомном переходе, сопровождающемся выделением кванта йч, нельзя указать, в каком атоме произойдут такие переходы, а можно лишь говорить о вероятности того, что определенная доля атомов претерпит подобные изменения. Другими словами, нельзя предсказать, какие атомы претерпят изменение, а можно лишь указать, сколько произойдет таких превращений. Будем исходить из того, что исследуемая атомная система находится внутри полости, изотропно заполненной равновесным излучением спектральной плотности У, при температуре Т.
Рассмотрим атомные переходы между двумя уровнями. Пусть энергия верхнего п1-го уровня Я7„, а энергия нижнего и-го уровня %'„. Разность Я7 — Яг„ =Йч, где ~ — частота, на которой происходят переходы атомов между этими двумя уровнями. Скорость уменьшения числа атомов на верхнем уровне пУ /Л за счет указанных переходов (т -+ п) определится произведением вероятности этого процесса А „ и числа атомов, находящихся на данном уровне У Однако, как впервые указал А. Эйнштейн, необходимо учесть и обратный процесс — вынужденные переходы с и-го на п-й уровень. Действительно, атомы, находящиеся на и-м уровне (их число, как уже было указано, равно А( ), под действием электромагнитного поля с некоторой вероятностью В вУ, переходят на нижний уровень.
Этот процесс называют еынужбенным излучением или «отрицательным поглощением». В принятых обозначениях кинетику этого процесса можно записать в виде е(А(' = В „А( У~о(1. (8.44) Тогда у А во(т Втв Нв-Втв Жв (8.45) Числа атомов А( и А(в на двух интересующих нас уровнях определятся из соотношений Больцмана: у Ф -етт(РТ) Л( а( — Рв(рт) т= ос в1 о в — ос Тогда -отт(рт) Атв е (8.46) У »тв((от1 В отт(1»т1 Вате " Втв е Эту формулу легко упростить, исходя нз следующих очевидных соображений. При Т-+. ео плотность энергии У, также стремится к бесконечности. Но это может быть лишь, если Втв = Вв .
Используя это равенство, получим у Атв(Втв Атв(Втв (е'т-'лв)(~от> лепет> (8.47) Учтем, что плотность энергии У, должна удовлетворять термодинамической формуле Вина. Для выполнения этоготребования нужно, чтобы А „!В „ = ачо, где а — некоторая константа, определяемая Заметим, что такие вынужденные переходы при выполнении некоторых дополнительных условий приводят к когерентному высвечиванию системы. Итак, вместо двух процессов (излучение рке в ~ 1 К »наеду фор и поглощение света), которые обычно учичымулы планка ао Эа~«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
