Пилипенко В.В. - Гидрогазодинамика технических систем (1062127), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Мвыимальное упрощенна, кото- Р.г ае Р,У И~ рос позволит получить реше- Ю ыие в области обратен токов, заключается в замене части вшвективного оператора о,- на р у- , не налегая ф = О. »» »» И, наконец, эштодкческий интерес представляет решение уравнений (4), в которых половено г = О. Резмэзруя вшэескаэекное, ыркходим к рассмотрению слелухщих уцрсщеккй уравнений Невье - Стоксю Я» Я" 1. — « †, - уравнены (4) Ю Я"' д 2. В дополнение к п.1 оператор г — зюмняется на»=. :т» Л» 3.
В дополнение к п.1,2 полагаем ~'-сэ, уравнение нершзрээности не рассматривается. 4. В варианте 1 полагаем»= Ф, уравнение неразрывности не рассматривается. 69 Сформулированная задача решалась численно на ЭВМ. При этом для ревностной аппроксимации уравнений (4) использовалась неязна, четырехточечная схема оо вторым порядком аппроксимации по редяал;. ной координате и первым по продольной. Полученная система алгебре„.
чесьих нелинейных уравнений решалась инерционным путем о приьюнеээ ем метода прогонки на каждом шаге итерещюнного процесса д,у. На рисунке приведены результаты расчетов в приближениях 1-4 (кривые 1-4 соответственно) и сревненке их с результатзьи решензя этой задачи на базе полной системы уравнений Невке — Стокса прн Яа =1000, приведвнныыи в работе ДГУ (кривые 5). Цифрой 6 помечен прочшль окружыой скорооти п)м л = О.
Па этих рисунках показаны раопушделения окружной скорости в сечениях трубы со значениями координаты л л — 0,00125~ 0,02. Я ЯР Иэ с)уввеняя крЯщэых 3 и 4, 1 и 2 видно, что заьшна в Уравнензях (4) и — на У - вносит в результаты меньшую погрешность,чеа дг Ял предположение я = О. Учет радиальной скорости приводит к п)хпп(ипнальному результату; по мере торможения вращения жндиости в тРубе в целом окружная скорость в прносевой части трубы при некоторых значениях л возрастает.В приближениях 1,2 получаетоя совпадение по значенэям окружной составляхщей скорости со значенняэтл,полученныьш из решений уравнений Нсвье — Стокса с одинаковой степенью точноотэ. Учитывая, что в приближении 2 возможен расчет течения с приосевыыи обратныыи токами, наиболее приеэщемыми дяя практического использования являются уравнения, полученные при упршэениях 2.
1. Скотт, Бартелт. Затухание закрученного течения в кольцевом канале п)ш вращении жидкости на входе кеК твЕРКого тела. - Тр.аме- рикэн. об-ва ннж.-грех. Сер. Д.: Теоретические основы инженерных расчетов. М.: Мир, 1976, % 1, с.140-148. 2. Шлихтннг Г. Теория погрзнк.чего слоя. — М.: Наука, 1974.- 711 о. 3. Симуни Х.М., Чудов Л.А. Численное решение задач.закрученно- го движения вязкой.жидкости в круглой трубе на основе упрощенных 197, авнений.
- В кн.: ученые записки Пермского гос. пединститута, 6, й 152, с.157"16Э. 4. Стуров Г.Б. Приблютенный расчет развития закрученного пото- ка вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе. — В кн.: Не- которйе вопросы исследования внхсевого эКюкта к его промышленное применение. [(Уйбышев, 1979, о.2(6-2П.
5. Тихонов А.Й. Арсейин В.Я, Методы решения некорректных за- дач. — М.: Наука Ы9. - 287 с. '' 6. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. - М.: Наука, 1978. - 440 с. ТЛЛ 538.4+532.342 В.И.Тимошенко 1ПСТЩННАГНж ВРАЬЕж ПРЬПЛПИВИ ЛИЛ)КПТИ )БЖЛУ ПОАКЛ)АЛЫЬПИ ЭЛЕКГРОЛАЖ В ажСИаВТПАЧНа4 МАТВИТППП П1ИВ В ряде технических устройств имешт место процессы, связанные с нрашением проводящей жидкости под действием электрического и магнитного полей.
В частностк, к таким устройствэм относятся коачсавльные ИРЛ-накопители энергии Д/, ьщгвхтогядродппамическяе подшипники Д/ я др. Поэтому исследование гкдродвнэьмки врзшвзщейся проводящей зядкости э электрическом я магнитном полях яредставляет определенный интерес. В настояшей работе приводятся точное н приближенное решения задачи о врэшения жидкости в коэксиэльных электродах.
Получены конечные соотношения, позволякщке определить ззвиспмость времени разгона,торможения и окружной скорости жидкости от величвны электрических, ьщгяитных сил и геометрическкх параметров злентродов. Рассмотрим плоское движение несжимаемой проводящей жидкости в кольцевом зазоре между двумя коэксиелмпвщ цвляндрзчеснимк электродэьщ, вызвенное взаимодействием ревности пряложенного потенциала и магнитного поля я, нвпрввленного ~о оси цплиндров1 инлуцировэнным магнитным полем пренебрегаем. Прк этом вследствие спыэмтрпчности систеьи и характера возникаапих электромагнитных опл все парвметры, опиоывыщие течение жидкости, будут фунвцияьщ только рао..
стояния до оси цилиндров и вреьани Г . Проза того, не равной нуля будет лжив окрувнзя состввлямзвя ~„' вектора скорости. Исходя из уравнений магнитной гидродянзьщки 13/, для определения скорости и получим уравнения Ь' Ру г у — 4 д — зУ вЂ” 1' — Р,)~ — у' бл; г ~ л ~ л ф~ (2) l где я - удельнвя проводимость жидкости; Е =Е л к ~~=/У/ /,.
- компоненты электрического, магнитного полей и плотяоств тока; г — компоненты внутреннего и внешнего электродов. /~ э Введем следуюцим образом безразмерные переменные я, г, у: 71 Ее ее у * — у /= — е=гу Р; (ч Тогда, комбвввруя (1), (2), для ощяляленвя уГу г/ получзэз Р' деу Р— — — ('- l- «'(у- —,) . (ч, дг Ру' 4 у Здесь «уд е /ф фувкцвя угу у/ долвва удовлетворять следумзвм гранвчннм к зчельннм условвямг у,Фу/.,гг у/у//. уГг;Р/.
ОIЕег!д / Решение уразвення (4) юцем в виде у/у у/ - у /у г'/ е у Гуд )(ля у /у у/ в у гу/ получим уравнения дуг Р ф' Р г у/ д; Ру' Р (5) / / е еу г, уе'/ «(уе у (Б) Рененне уравнения (6) оявснвает состояние потока в устенсввввемся реянье: / у гу/* е йу/ е —, (7) где Ег /«у/ ег /г ' «у е ее уг «у/г г е - — г'Ре г'«Р/- л; У«//, //е/ г е =- — ~~Г«Р/- I /«/l, Рег 72 гг в ег - модвфвцврованные 4ункцвв Еесселя порядка 1. Произвольные постоянные пап(чан вз условия равенства пулю 4уницив у /у/ на поверхностях электродов, т.е. прв у = 1 в у. Р: репе уравнения (6) монне пркблиленно получить в более .
т 6 - - 'елее простом . ))дя этого в слагеемом 1 ~ял-у / пололпм м. я ькд о~ а после )Вшенвя соответствухп(его упрошеввого уравнения с учетом ян дрых условий получке ~~,у/ * д / я р,',/) Р - ~р 'д; Р/// / .М' г,Г д' / ~/Р;~Ь. —,, у„/'/ —, д У Ру/.'. Бодстзвляя в равенство и = -~ / ~~/е/Ф~ аначевие т 'Ф' полу"а ~У ~-Рл ем уравнение, нз которого определяем рг АФ (8) 'д" /~/Лд,р'/ ' я уп Е' птп" /-я' Р"'~ 9' /" ° — ( — е — — / ~ ° — -— Р' /- у /у у /~я т " у Р'/-Рл/ Для того, чтобы найти ~; ГП) /, необходимо проинтегрировать уравнение (5) при следупзих граничных и начельвмх условиях: -гУ~.4„~/ Г )) /у( г/- Е л„' ' я М я т .' Г/ / ф;~..~~~д~//-,~ / У,'./~к/ л где н 7 — ссбствеглппе чксла, которые являштсн кориямк уравнения ;э У//'/,г /-;;,г //'// Ю~-п,' где /., Р' - Фуикцик Бесселя.
73 (10) )) // г /= я ГУ,Г/=пт; я,(К, а/=-);(р/ Решение уравнения (6), удовлетворяхиее гранкчны" условням, мозно записать в виде произвольные постоянные з~» нейдем»» ыачВльыы3 условий,ы соььзуя свойство оргогонзльности с весом ,о= 4 ссбственвых функз»З г» ;», , соответствуицкх разлиюым собственным числам,я учитывая ,'), получаем / » ,~~У'~ .«» 4 Ф' ~Я 4» МФ У (кг» Ф/ Ф учитывая, что» ('.Фуl язьяется решением мода(шцировзнного уравнен,ш Бесселя, а Р -Уг'Ь»Ф вЂ” решением уравнения Бесселя, мозно показать, что I ' У» ' У~'Ф" "~'У»~ФФ .4', (У»4..'.4~.'- р1 -з'» ~~ (~~~'г(4И1 у з где штрих обозначает дафйеренцарованиз по аргументу.
Подставив предеяы и использовав реннурентные формулы, связывавшие фуннцви Бесселя и их производные АУ, получим »» ,е'О/- г„О Р/ »' У,4,У к, 4, «',у» у з»' »"' ')»"" . )~ 'у»' Представяяет интерес случай, когда радиус внутреныего злентрода очень мал. Тогда, переходя в решениях уравнений н пределу п)ж У-4 получим Iл / 4~ (у»д~ с', = — (Ъ~гЮ-Ф~у ~~ Ф вЂ” - — / рИ»» 4»» '»»О ~ а»» являштся корнями ч((нююи Бесселя первого рода, т.е. .~ г'/„/- с~.
(П) уравнение (11) имеет корни,»; 3,6ЗГ)) у = 7,0166; »» 10,Г)36. а порю уравнения (10) при Я» 0,5 будут / =6,394;,у» =12,6246; 74 = 18,889. Поэтому ясно, что ряды (16) и П4) быстро сходятс дзя оценки вретмни выхода ыа стационарзый режим у достаточз„ ограничиться первым членом. Тогда лля определения г мозно з, писать . ((2) прачем у -первый корень уравнения (11) или (10).
На рис.1, (в качестве примера) приведено изменение поля скорс атей в мекзлектродном зазоре н среднего значения скорости в зависз мости от времеви при у. = 2, Р = 0,5 и р= 0,001, Анализ рвсузка поквзыввет, что в практических расчетах для определения среднеИ скорости установившегося движения доотаточпо пользоваться проотой формулой (8). Равенство (12) является впазне приемлемым для оз ределения врезаны выхода на стационарный режим. Выражение (8) удобно использовать при определевик знергив МГД-накопителя. На ршс.2 приведена зависимость ввадрата средней окружной скоро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
