Сегерлинд Л. Дж. - Применение метода конечных элементов (1051193), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Функционал может иметь несколько независимых переменных. Рассмотрим функционал с тремя независимыми переменными: 1=~Р(х, у, г, ~р, <р», ~р <р)с(У (и) Произвольному бесконечно малому изменению Р(х, у, г) соответствует вариация функционала 61= " — Ьр+ Ьр + — Ьр + — 6р ) с(У.
(к) Г/ дР дР дР дР ) ~ д~г д~Р»» дятле е дУ» Используя соотношение (г), получаем 61=~ ~ — Ьр+ — — (Ьр)+ — — (6~р)+ ГГ дР дР 'д дР д ,) ~ ду д'р» дх дауа ду + д д (6<р)1иУ. дР д (л) Интегрируя по частям второй член в (л) и применяя формулу Гаусса, имеем д д (Р) д д ( ~) д д (д ) или дР д Г дР д т дР1 др» дх — — (Ьр) с(У= ) 1„— Ьрс(Я вЂ” 1 — ( — ) Ьрс(У, (м) д'т» ) де~ар,) где 1,— направляющий косинус нормали к поверхности с осью х.
Некоторые аспекты еариаиионного исчисления 379 Итак, функция, сообщающая стационарное значение функционалу из формулы (о1, должна удовлетворять дифференциальному уравнению для задач теории поля. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Гппи У. С., Роппг!а1!опв о1 зо11г! МесЬап!св, Ргепнсе-На!1, Епи!еччоог! С1!11в, ЬЬ,Ь, 1965. НпеЬпег К. Н., ТЬе Г!пне Е!егпеп1 Ме1Ьой 1ог Епя!пеегв, 9!1!еу, ЬЬ У., 1975. Рагв Ь. А., Ап 1п1годпспоп 1о 1Ье Са!сп!пв о1 Чаг!апопв, Не1пепгап, Ьопг!оп, 1962.
Приложение Б ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ СООТНОШЕНИЙ (а) где Щ=))ч' )у... „Л(], (Ф)г=[Ф Ф,..., Ф,). Мы хотим вычислить величину производной <Р по (Ф), т. е. ду/д(Ф). Эта производная определяется следующим вектор-столбцом: де дф~ дф д~р д(Ф) ( (б) Компоненты вектор-столбца производных (б) вычисляются с помощью произведения (а), которое в развернутом виде записывается следующим образом: <р = Л!,Ф, + Л/,Ф, +... + У,Ф,. (в) Дифференцируя последнее соотношение, получаем — =-Л~м — =й,... — =Л~,. др да д'Р дФ~ дФ~ дФ, (г) Процедура минимизации, обсужденная в гл.
5, включает дифференцирование матричных произведений [ТчЦФ) и (Ф)т[А) (Ф) по (Ф), где [У] — вектор-строка и [А) — квадратная матрица. Указанное дифференцирование выполняется сравнительно просто, но так как этой операции не уделяется внимания в большинстве пособий по матричной алгебре, то мы расмотрим ее в этом приложении. Рассмотрим соотношение Р=(Л) (Ф).
Лифференцирование матричных соотношений Подстановка полученных выражений (б) дает (Б1) д[Ф) Дифференцирование (Ф)т[тт1т по (Ф) приводит к той же самой формуле, так как это произведение идентично (в). Рассмотрим теперь произведение вида (Ф)т[А)(ф). Операцию дифференцирования этого произведения легко проиллюстрировать, если ограничиться малым числом коэффициентов в матрице [А1. Пусть симметричная матрица [А) имеет размеры 2Х2: [А1= 1 и ~'1 (д) 1 ам аев1 и (Ф)т=[ф,фх].
Используя условие симметрии ам=ать запишем произведение в виде ф=)ф)г[А) [Ф)=а„фтт+2а„фф,+аввфвм (е) Дифференцируя (е), имеем д(р дФ, — = 2а„ф, + 2а„ф„— = 2амф, + 2амфе дФв Подставляя эти соотношения в (б), получаем дф ) 2а„ф,+2а„ф,1 [ а„а„1 1' Ф,[ д [Ф) [ 2аетфт+2аввфе 1 ~ ает аве 1 ) Ф 1 или (Б2) д[Ф) ([ф)т[А) )ф))=2[А) )Ф]. ОТВЕТЫ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ 2. )с=4. 3. См.
фиг. 7.6. 5. См. фиг. 8.6 и 8.8 для аналогичного примера. 11. а) тт', =(4,5 — х)/2,5, Д[~ ††(х — 2)/2,5. в) т'т',= — [ — 1+2у), 1 Ответы к некоторым радонам 1 Г 3 1т1 3 ~4,25 — 2 х — у], ]т»= 3 ~ — 0,25+ ~ х — У~. г 3 12. ]т'1=( 0,5 — — '), тт',=(0,5+ — ). 13. Сторона т] х — —, у= —. 1 1 Сторона 1А х 4 У 2 1 1 17. тт'1 = — [3 — 2х+ у — г]. 1 3 1 3 ] +У 3 ] 2х — 4у+г], 1 ]т'т — — — ] — х+ 2у+ г].
1 3 18. Сумма коэффициентов должна равняться нулю. !9. — ~= — ] — 2Ф, +Ф1+2Фе — Ф,]. дч 1 дх 3 20. и=1,38 мм, о=6,55 мм, У = — Ж = — Л/е= — в точке В. 7 12 25 44' т 44 ' " 44 2 1 1 2 0 0 1=1, 1=2, 1=3; 1=4, 1=1, 28. Элемент 1 элемент 2 элемент 3. элемент 4: 25. Элемент 1 элемент 2 1'=2, 1=8, т'=4, )=5.
1=2, 1=4, 1'=2, 1=5, Ответы к некоторым задачам элемент 3: >=2, 7=3, 1=5, элемент 4: >=4, )=5, 7>=6. 27. Р>з>=У(»фз+ У(»Ф„ >р>з>=У>з>Ф, + У~<>Ф„ ,р<з> У>з>ф +У(з>ф >рм> =Ум>Ф, + Уи>фы 31. и>з>=У1»(7,+УЯI +У1»Ц, о =У! и,+У(»и,+УРи„ и~з>=УД>Ц+ У)з>Ут+ Узт>>>тз, =Узз>и,+У1 >и,+У> и„, ц>з>: у<з>(! + у<з>(, + у>з>(! » =У>з>(7, + Ури, + У>з>изз. (С,+2С,) ( — С,+С,) О Т, С,— дл, ( Сз + С,) (2С>+ 4Сз) ( — Сз+ С,) Т, = Сз 0 ( — С, + С,) (Сд+2Сз) Тз Сз '[ Р>>!. Рй>-Т, Сз= — С = 6 ' з 2 (С,+С,) — С,1 ((7,) (Р,) С ~и>ен> Е! 43 48,33 96,67 0 96,67 48,33 0 45, формула (6.20), стр.
96. 34. р">= ( 1 — — ") Ф, + ( — ) Ф,. 36. >рн>= — ~~ — — х — — у) Ф + 3 Ц 4 4 +( — ', + — , '—,' у)ф.+(9)ф.1. Ответы к некоторым задачам 12 — 4 о — 8 о — 8 О- — 12 — 12 0 — 8 28 — 8 — 8 28 — 4 0 36 — 8 — 8 16 — 12 0 — 12 — 8 48. — 2 — 6 0 Π— 7 ΠΠΠ— 1 1Π— 8 0 — 8 27 — 6 0 — 6 7 10 — 2 о — 2 — 6 о — 2 0 10 — 1 — 1 2 о о — о Π— 1 Т; = 849,6 39,56 7,07 — 5,42 7,07 35,81 — 1,67 — 5,42 — 1.67 6,68 Т,= 273 60,41 2,72 19,33 2,72 1,36 — 4,08 19,33 — 4,08 67,21 49. а) 4У,+2У,=4, 7и,+Ю,=б, 7,43860,+ 2У =6,2857, 3,46150, = 2,3077.
б) [Р)т [6 9 9 4286 3 4615[ в) и,=и,=и,=и,=аз, 51а. [3,0, — 7,38, 18,18, — 15,71, 17,86[, [0,29, 5,21, О, 5,21, 0,29[. 516. 13,0, — 0,28, 14,10, 6,26[, [180 0,5 0 35[. 51в. [3,0, 0,06, 1,33, 0,26, 0,38[, [1,29, 1,07, 0,0, 0,64, 0,57[. 62. [150, 84,5, 57,3, 46,5, 42,5, 41,41. 65. [й"'[ = †"" ~ ~, где К„„= АКкх ~;+~~ Ответы к некаторыы задачам 71. 33,33 Вт в узле !, 16,67 Вт в узле 1. ц+Зй.) (ь,+ь!) о (Ь!+ Ь;) (3)!в+ да) О 0 0 0 (й, + 2Ь)) — — (2й, т йт) 0 — (йтХв+(7.— Хв) Лт) ~ 80. 12,22 — 1,44 — 10,78 [/т!е!1 = — 1,44 9,38 — 7,94 — 10,78 — 7,94 18,72 94, На срединной поверхности трубопровода Т=550 К.
На внутренней поверхности изолятора Т=538 К. На срединной поверхности изолятора Т=З49 К. 95 (К!'+ 8КтКт 6КтК! ЗК(!) (К,' — 2К;'К,. + 2К;К, '— Кв!)1 Симметрично (ЗК,' — 8К(!К!+ 6К;'Кв — й~ф 2аат ((Кв ЗКК + 2Кв!)1 з(й! — ЙО '1(2Кв. ЗК!К,'+Кт)~' 96а. Е ~(й) — Зйтй + 2Й,.) Т!+ (2Й! — Зйей + й )Т)~) Т вЂ” ~ Е ~ т! (Й вЂ” Й,) е 1 2п 4(е! з ((!+~(+~к) е=! 966. пА(е! Х З 1(2йс+й!+Йв) Т;+(й!+2Й!+Йе)Т!+(й!+Й)+2йк) Тв) Т 886 Ответы к некоторым задачам Приближенные значения 839 [!) =АО 1104 1080 „„т ! (2й,+2Ц (й, + 2йв) 19398 †123 †70 †123 16208 †33 †70 †33 10900 Я= 111. о„,=22669, оез= — 879,1, 113.
о„„=9939,6, о„„=651,3, 115. о„,=47578, нее=1680,7, 416. 1 е1 рвтХ!и 417. — 1,624 0,580 0,483 — 0,483 2,533 — 1,353 2,175 1,469 0 0,483 418. фе!! 10в Симметрично 97. Точные значения 1016 Щ =АД 1134 11!4 99. 152110 1!! = 347031 336080 у„= — 94,7. 7хе= 3247 2 Уха — — — 4296,9. — 0,077 — 0,483 — 0,271 0,338 0,551 — 0,580 0 0,870 — 1,692 1,450 1,692 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Днсаыбль 52 Аппроксимации сопряженной теория 1О! Вврнациоиное исчисление 375 Весовой коэффициент 258 Входные данные 846 Галгрянна метод 323 Гаусса — Лежандра квадратура 259 Гаусса метод исключения !12 Генератор данных элемента 122 Гула закон 83 Данные соединения Э45 Дискретизация области !7 Двффзренцнроввнне матричных соотиошейнй 380 Длина дуги 32! Задача Коши Э23, ЗЭЗ Интегрирование чнсиенное 257 Источник линейный 162 — локэлнзованнмй внутри элемента !56 — точечный 152 Исходные данные соединения 346 Карта с параметрами 346 Квадратура Гаусса — Лежандра 259 — Ньютона — Котесз 258 Комплекс-элемент 30 Координат преобразования 253 — система естественная 253 Координаты радиальные 190 — объемные 50 — — плоские 47 Кролла — Нияольсола разностная схема 208 Массив одномерный !20 Матрица градиентов 95, 144, 183, 212, 272, 246 — жесткости глобальная 71, 106 — — — сингулярная 235 — ленточная 109 Упор к таит УУЗ вЂ” — характеристик 227, 229 — элемента 92 — — демпфирования 203 — Якоби 253 Метод прямой жесткости 106 — исключения 143 Модификация системы уравяевий !41, 330 Мультиплекс-элемент ЗО Нумерация узлов 25 Ньютона — Котгса квадратура 268 Обратная прогонка 113 Остроградского — Гаусса теорема 330 Подпрограммы для ленточной матрицы 355 Поленом 1О внтерполяцноннмЯ 30 — — для дискретизованной области 69 — — линейный 30 Пряэма прямоугольная 308 Программы учебные 341 Производные функцвй формм 276, 300 Результирующая система ураввенвЯ 110, 187 Реюение конечно-разностное 276 Симметрия геометрическая 188 — осевая 18 — радиальнап 181 — центральнаи !8! Симплекс-элемент 27 — — двумерный 34, 203 — — одномерный 31, 203 — — трехмерный 39.
204 Симпсона формула 258 Система координат глобальная 44 — — локальная 44 — — местная 44 — уравнений дифференциальных первого порядка 336 — — модифицированная 252 Сооякошения, определяющие элементы 303 Стедень свободы 60 — — глобальная 107 Теория согласованных напряжений 204 — — реэультантов 217 Типичный элемент 14 Титульная карта 346 Триангуляризацня 209 Узел 1Π— глобальный 268 Узловая точка !О Узловые значения 14 Уравнение матричное 336 — квазигармоннческое 74 Уравнения метода конечнмл злемектов 73 Устойчивость чнсленнав 206 Функция базисная 296 — едяничная импульсная 152 — полевая 189 — формы 32, 51 — — для элементов вмсояого давление 27! — элемента 11 — — линейная 12 Шаг временной 209 Шарнир неподвижный 24 — подвижный 24 Ширина полосы матрицы 26 Вл емент 1О высокого порядка 240, 312 двумерный !8 изопараметричесивй ШЗ квадратичный 18, 043 комплекс 30 криволннейныЯ 14 «убичныЯ 18, 243 линейный 137 мультяплекс 30 одномернмй 17, 40 осесимметрячный 204 радиальный 204 симплекс 27 субпараметряческий 268 суперпараметрический 26Э тетРазДРальный 28О типичный 14 треугольный 270 трехмерный !8 четырехугольный 289 — квадратичный 294 — кубичный 294 — линейный 289 ОГЛАВЛЕНИЕ ,Глава Глава Глава 59 59 63 Глава 89 89 92 98 Глава Предисловие редактора перевода Предисловие Глава 1.
Метод конечных элементов . 1.1. Основная концепция метода конечных элементов 1.2. Преимущества н недостатки. 1.3. Структура книги Лятература 2. Дискретизация области 2,1. Типы конечных элементов 2.2. Разбиение области на элементы 2.3. Нумерация узлов 2.4. Заключение Литература 3. Линейные интерполициоииые полиномы 3.1. Одномерный симплекс-элемент 3.2. Двумерный симплекс-элемент . 3.3. Трехмерный симплекс-элемент . 3.4. Интерполирование векторных величин 3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
