Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поэтому (Я ° Т) ' существует, и иа Я, Т ж Лог()т) следует, что Я ° Т «и Ап«(Р). Лссоциативпость операции уже докааана. г' 4.2, Структурные изображения в В". Рассмотрим геометрическую иптерпретацию пространства К", при которой понятия «направлениез и «величина» для векторов 163 имеют геометрический смысл, Вернемся к геометрическому изображению В'. Мы видим, что если г=(х, у)!и !и В', то расстояние от точки (х, у) ло (О, О) есть (х'+ уг) !!г. Обозначим ато расстояние через (!г!(, которое мо!кно рассматривать как отображенле (! (!: Вг - И. Оно называется длиной, л!адулем илп нормой. Рассмотрим точки г! =(х!, у!) н гг =(хю у!) У пе- г! д Рве. 5.4 (рис.
5.4). Пусть О! и Ог — углы в интервале [О, и) между положительной полуосью ОХ и векторами г! и гг соответственно. Тогда расстояние мея!ду г! и гз равно (!гг — г!!1, а угол между пнми равен 0 Ог — О!. Имеем соз О = сов (Π— О,) = сов О, сез О, + з!и О, з!и О,— а г г Г ге+Ге = —,— + —— !1~!!!!1~г!! П ~!!Пег!! !! т!!1~г!! Выражение х!ха+ у,уг можно использовать для вычисления расстояний и углов в И'. Определям отобраткение Ф: В'ХИ'- И следуюн!ям образом: Ф(гп г2) х!хз+ у!уг. Тогда 'з г ~ = (Ф (г, г)), сов О .= (а! (г, г ) а! (г, г ))т!з Угол О мелсду двумя векторами в И' определяется однозначно при условия, что 0<О~я. Когда О 0 нли 0 я, то говорят, что г! и гг параллельны (коллинеарны).
В прикладной математике удобно обозначать Ф(г!, гг) через г! ° гг и называть скалярным произведением г! и гг. Ислн г! ч" О и гечь О, то г! гг 0 тогда и только тогда, когда О я/2; в этом случае говорят, что г! в гг взаимно ортогональны, перпендикулярны илн норл!альпы. Ниже приведены некоторые свойства скалярного произведения. 11е $!Ц П р е д л о ж е и в е. а) г ° г Р О и г ° г О тогда и только тогда, когда г (О, О); б) гз ° гз гз г, для всех ги зт ю Вз; в) гз (гз+гз) г~ гз+г~ гз для всех гн гз, гззий', г) Ь(г~ 'гз) ~Хг~) ' гз "г~ (Ьгз), гь гз ю Вз, Х зи К, Доказательство.
а) Если г (х, у)~в В', то г г=(хз+уз)Р-О для всех х, у~ай и г г О тогда и только тогда, когда х О и у О. б) г~ ° гз х~хз+ у|уз хзх|+ узу~ гз гь Соотношения в) и г) доказываются аналогично п ос- тавляются в качестве упражнения. г В более общем случае, если У вЂ” векторное простран- ство вад К и Ф: т'Х У-  — отображение, удовлетво- ряющее свойствам а) — г), то (т', Ф) становится про- странством, для которого могут изучаться понятия дли- ны и угла.
Отображение Ф называют внутренним про- изведением для У, а (т', Ф) — векторным пространством с внутренним произведением. В частности, если опреде- лить Ф. В" Х В" й(п ю Ы) соотношением Ф(а, Ь)~а Ь ~ аА, $1 где а (аи ..., а.), Ь (Ьь .. „Ь.), то отображение ° бу- дет соблюдать требуемыми свойствами. Определим длину вектора а ги й" как заг ° (а .а)'~з, а косинус угла между двумя векторами а и Ь как г.ь 'з а 'з 'з Ь 'з' угол лежит на отрезке (О, и). На К" могут быть определены другие внутренние про- изведения. Внутреннее произведение, ввеленное выше, называется обычным или ееклидовым внутренним произ- ведением. Оно дает те апачония длины и угла, которые ожидались интуитивпо. Когда п 1, ясно, что ° является лишь умножением в К, и угол между двумя векторами определяют как зг агссоз — — — (, угол равен или О, пли я в зависимости от знака ху.
11орма П П обобщает понятие модуля ! ! в й в обладает аналогичными свояствами. Например, можно показать, что Па( > 0 для всех а ж й", ПаП вЂ” 0 тогда н только тогда, когда а О, П).аП МПаП для всех аж й" и П.аз К, Па+ ЬП ( Па(+ ПЬП для всех а, Ьы й". Вектор а и В" такой, что Па( = 1 (что эквивалентно а ° а 1), называется единичным вектором. Если а и ы й"'ч(01, то а/Па( — единичный вектор, параллельный а.
Едввпчпый вектор обычно обозначается а. Если В * (еи ..., е.) — базис в й" и О , если 1~ у, если то базис В называется ортонормированным. Ортонормированный базис в й", определенный следующим образом; ез =(О,...,0,1,0,...,0), 1к.
1:к,л, ьа разрез называется стандартньи» базисом в В". В Вт и Вз стандартные бааисы удобно записывать в виде (Т, )) и (П, П, й) соответственно. Рассмотрим следующую геометрическую интерпретацию этих базисов. Векторы 1 и 3 определяют правостороннюю систему осей в К', а третья ось 02 перпендикулярна плоскости, содержащей векторы 1 -~, и направлена таким образом, чтобы концы векторов П, П и Й (в указанном порядке) определяли правостороннее движение (рис. 5.5). Это свойство известно как кривило красой руки.
В системах такого типа в Вз оси называются кравосторонними. Определение. Если а (аи ар, аз)ыйз и Ь (Ьи Ьз, Ьз)ез Вз, то векторным произведением а и Ь (обозначается аХЬ) по определению называют вектор а Х Ь (азЬз — азЬм азЬ| — а~Ьз, а~де — атЬ!). У Операция Х может рассматриваться как отображение ВзХКз- В'. П р е д л о зк е и и е. Если а, Ь зи Кз, то а) !!аХЬ~~ !~а!~~!Ы!ззпО, где Π— угол меягду а и Ь; б) вектор а Х Ь ортогоггалеи векторалс а и Ь. уф+за 4 "1 Ряс. 5.5 Доказательство. а) заХЬг' (а,Ь,— азЬ,) +(а,Ь,— агЬз)~+(а,Ьз — а,Ь,)з= азЬз + азЬз — 2азйзазЬз + аздз + азЬз— — 2а,Ь,а,Ь, + азЬз + а,'Ьз — 2а,ЬзазЬ, = = (а, '+ аз + аз) (Ь1 -(- Ь, '+ Ь,') — (а„Ь, + а,Ьз -)- азЬ,)' = за/,"~!Ь|~з — (а Ь)'=заззз'Ьззз т— га) 'зь! / = Да)з!/Ъ)з(з — соз'О) = /$афзЦЬ|~з ззпз О, б) Легко показать, что а.(аХЬ)= О и Ь (аХЬ)-0, откуда и следует требуемый результат.
е Чтобы получить геометрическую интерпретацию а Х Ь, заметим, что если а (аиО,О), Ь (ЬьЬз,О), то а Х Ь (О, О, а~бе); позтому если а~ ) О, то (а,Ь,)й для Ь,~О, аХЬ = — )а Ьз)й для Ьз~б, н направление аХЬ определено таким образом, чтобы выполнялось правило правой руки относительно векторов а, Ь и аХ Ь, Ото правило носит общий характер, посколь1сб ку дли произвольной пары векторов в правосторопкей системе координат всегда лгожпо выорать способ представлении векторов, который определяетси векторами а и Ь. В результате векторное произведение будет иметь вид а Х Ь = 1а1 "Ы з1п Оп, где и — единичный вектор, ортогоиальный а и Ь, с направлением, выбираемым по правилу правой руки. Если аХЬ=О, то векторы а и Ь линейно зависимы, а ,То если 1а1 О и 1Ь1 ~ О1 то иа равенства а Х Ь О следует, что а н Ь параллельны.
11усть а и Ь вЂ” вектои ры, изображенные на Рис. 6.6 рнс. 5.6. Тогда 1а Х Ь1— площадь параллелограмма ОАСВ и аХЬ моисет рассматрпватьщь как вектор площади. Некоторые свойства векторного пронзведонии приведем нин'е; доказательства оставлпем в качестве упражнений. П р е д л о нг е н и е. а) аХЬ- — ЬХа; б) аХ(Ь+с) аХЬ+аХс; в) (Ьа) Х Ь а Х (ХЬ) = Ь (а Х Ь); г) !Х! =Ь, 1 ХЬ=1, ЬХ( =1~ д) аХ(ЬХс)=(а с)Ь-(а Ь)с; е) а Х(Ь Х с) Ь (с Х в) с (а Х Ь) -а (с Х Ь) — Ь (а Х с) = — с (Ь Х а).
в' Вырзлгеппе а Х(Ь Хс) часто называют тройным векторным пропзвгдгннги а, Ь и с, а а (ЬХс) — слгвшаннььль произведенном. Геометрически а (ЬХс) означает объем параллелепипеда с ребрамп а, Ь и с. Предложение. Иногтество (а, Ь, с) ~ Вз линейно зависимо тогда и только тогда, когда а (ЬХ с)= О. Доказательство. Предполоигкы, что а, Ь и с линейно аазпспмы. Тогда существуют ), р, о и В, не все равные иущо, такие, что да+ ОЬ+ ос=О. Ит Не ограничивая общности, предположим, что ь зь О. Тогда а -ь '(рЬ+ ос), а (Ь Х с) -Х-' (рЬ+ ос) (Ь Х е) -А-'[рЬ (ЬХс)+ ос (ЬХс)1=0, Обратно, если а (ЬХ с), то или а) один нз векторов а, Ь, с равен нулю (в этом случае результат очевиден), или б) вектор в ортогонален Ь Х с. Однако Ь и с артогопальны к Ь Х с; поэтому а Ь'Ь + р'с при некоторых А, р'~в В и а, Ь, с линейно зависимы.
У Закончим главу кратким рассмотрением вопросов днф- ференцируемости звекторнозначных» функций. Пусть на В" задана обычная норма. Определим производную функ- ции вида /:В- В*, Обобщая одномерный случай, скажем, что / днфференцируема в точке г, если существует вектор г (г) (Р~(С), ..., Р„(г) ) ы В" такой, что ( $ + ь ) ~ ( э ) Г ( ) ~ 0 ь при Ь-~ О, или, что эквивалентно, если 1 имеет компоненты /м ..., /„ такие, что — Р (г) ... " " — Р (г) ~ 0 при Ь -+ О. Очевидно, что каждая компонента должна стремиться к нулю при Ь- О, поэтому Л/Й существуег тогда и только тогда, когда ф1/Й, ..., Ы/./Й существуют и Другими словами, чтобы продпфференцвровать векторнозначную функцию, мы должны продифференцировать ее покомпонентно, Например, если В В - В' определена соотношением ЦГ) =(2Гт, 1п С, з1птг), то сИ (' 1 Г,„ ~4С>-, 2з(пГсозг/, Пусть 1: К- й' и и: й — К'.
Определим функции 1 й: К->.К и 1Х а: й- й'. Полол<ям (1 й)(с)-1(с) й(с) (?хй)(с)-1(с)хй(с). Дифференцирование этих функций производится следующим образом: аа иа ас ас ' 'а< ас' ' с — (1'й) 1' — + — 'д — (СХй) 1 Х вЂ” + — Хд. ас а< Проверку этих формул оставляем в качестве упражнения. У п р а ж н е н и е 5.4. 1. Показать, что если У вЂ” векторное пространство над полем Р, то 0 х 0 для всех х<и )>< аО 0 для всех а <и Р. 2. Представить вектор (а, 1, Э) <и Кз, где а ~ й, в виде линейной комбинации векторов мно>кества б- ((1, 1, 0), (О, 2, 0), (О, О, 4)) и показать, что о — линейно независимое множество век- торов.
Является ли б базисом в К'? 3. Показать, что если (х<, ..., х ) — линейно неаави- симое подмножество векторного пространства $; то х< чь 0 при любом С, 1 ~ < ~ л>. 4, а) Какие из следующих преобразований являются линейнымщ Т,(х, у) (а, у), а ~ К>(0), Т>(х, у) (?.х+у, оу), )„а<и йЧО), Тз(х, у) = (хз, О), Т<(х, у)=(х, 0)? б) Определить произведения Тз ° Т< и Т< ° Тз. в) Доказать, что если Т <и Еп<)(Ъ'), то ТО О. 5. а) Если Р— векторное пространство, то лроекуией (проектором) )> называют преобразование Р: У вЂ” )>, об- ладающее свойством (Р <Р)х=Рх для всех хю )>. Доказать, что преобразование Р: й' — К>, определя- емое соотношением ь Р (х, у) = ( — (ах — у + е), — (ах — у + е) + е) при а, Ь, с<и й и а ФЬ, является проектором в Кз. При каких условиях Р ж Еп<)(К>)? 169 б) Какие из определенных в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
