Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Векторное сложение в К' геометрически соответствует правилу параллелограмма, как это показано на рис. 5.3, с. Геометрия векторных пространств К" будет рассматриваться ниже, а сейчас мы введем понятия базиса и ункомекие Вектора ю ка скалвр А ~Л> ц (Х1 0 Сукно двктврвд Рис. йй размерности. Если У вЂ” векторное пространство над г" и Б ез У, то сумму вида 2~ а;хо ~яр, х;ено, $1 называют линейной комбинацией векторов иа Я. Говорят, что конечное множество векторов (хс 1 я: 1~ И является линейно независимым, если А ~ и1Х~=Ожа а, ...
=аА=ОГ, 11 в противном случае множество является линейно зависимым. Подмножество 8 ж У такое, что любой элемент У представим в виде линейной комбинация элементов иа Б, нааывается норождаюизим множеством пространства У (или же еще говорят, что Б порождает У). Упорядо- $56 ченное линейно независимое порождающее множество пространства т' называется базисом этого пространства. Пример 4.2.
В К» вектор (5, 5, У2) является линейной комбинацией векторов (1, 1, 0) и (О, О, 3), так как (5 5 У2) = 5(1 1 0) + — (О 0 3) Ъ|ножество В ((1, 1, 0), (О, О, 3)) является линейно независимым подмножеством в К», так как а(1, 1, 0)+ +Ь(0, О, З)=(а, а, ЗЬ) О тогда и только тогда, когда а 0 и Ь = О.
Однако подмножество В не является базисом, поскольку оно только определяет векторное надпространство ((х, х, у): х, у ж К) ~ К». Базис В В 0 ((1, О, 0)) «расширяет» В до базиса в К'. е' Легко показать, что каждый элемент векторного пространства имеет единственное представление в фиксированном базисе, так как если т' имеет базис В (еп . ~ ...е„)и х=~ а;е;=~Ь;ем «-г то п О х — х=~ (Ь| — а«)еь 1=1 Однако  — линейно независимое множество. Поэтому Ь, а, для всех $, 1 ч: г ~ п. Докажем следующий важный реаультат.
Предложение, Пусть Я (хь ..., х„) — порождающее множество пространства У, а В (уп „у~)— линейно независимое множество векторов ие 'т', Тогда и«> й Доказательство. Предположим, что т~(. Так как Я порождает У, то существуют элементы ап, „а вэ «н Р такие, что у~ а~х1 + ... + а,„х . Однако у1 Ф О, так как Š— линейно независимое множество (см. упражнение 5.4), и, следовательно, не все аь ..., а равны нулю, Для определенности положим 157 а~ Ф 0 . Тогда х = а, у, — а, а,х, — ... — а, а х т. е. х1 является линейной комбинацией (уь хт, ..., х ). Так как Я порождает (т, то по доказанному выше множе- ство векторов (ун хи ..., х ) такие порождает (т. Анало- гично получаем, что (ун уи хз, ..., х-) порождает (т.
Повторяя этот процесс и раз, получаем, что множество (ун ..., у ) порождает зт. Следовательно, У а1 Р1У1 + Рауг+ + Р У где рн ..., р и Е не все равны нулю (так как у +1 не может быть равно нулю). Отсюда У +з РЛь РгУг ° ° ° Р У однако последнее невозможно, потому что (ун ..., У~)— линейно независимое множество векторов. Следователь- но,т>(.
Р П р е д л о ж е н и е. Пуста В и В' — базисы векторно- го лространства (т над Р. Тогда !В! !В'1. Доказательство. Пусть В (ен ..., е„) и В' Р = (ем...,е'1. Тогда из предыдущего предложения сле- дует, что н ~ и н т Р- и, т. е. т и. Р Мощность базиса векторного пространства (т называ- ется размерностью (' и обозначается через а(ш(1т).
Предложение. йш(Р")= н. Докавательство. Определим В (ен ..., е„), где е; = (О,...,О, (т,О,...,0), ьз разряд и покажем, что В является базисом в Е". Очевидно, что (аю...,а„) = ~ а;е;; поэтому В порождает Ра и я ~ Ь е; = 0 =о (Ь„..., Ь„) = О=;>Ь,= От, Ь, = От,..., Ь„=От. 1 1 Следовательно, В является базисом в Р" и Йш($') -!В! -и. Р Из данного выше определения следует, что базис всегда состоит из конечного числа векторов, и не во всяких векторных пространствах можно выделить бааис (например, в У; (е нет базиса).
Понятая базиса и размерз58 ности можно расширить на все векторные пространства, однако такое обобщение нам не потребуется. Если пространство У имеет базис, соответствующий данному выше определению, то говорят, что пространство имеет конечную размерность, а само пространство называется конечномерным векторным пространством. Рассмотрим теперь гомоморфные отображения между векторными пространствами. Определение. Пусть У~ и Уз — векторные пространства над полем т.
Говорят, что отображение Т: У~ -» Уз линейно, если Т(х+ у) Тх+ Ту, Т(ах) а(Тх). Если Ут Уп то Т называют линейным преобразованием пространства Уь в" Далев нас будут интересовать конечномерные векторные пространства над В и линейные преобразования над ними. В оставшейся части главы через У будем обовначать векторное пространство, а через Епй(У) — множество всех линейных преобразований У (зндоморфизмов У). Заметим, что большинство приводимых утверждений можно представить в более общем виде. Перейдем от алгебры У к алгебре Епб(У) и покажем, что Епб(У) замкнуто по отношению к естественным операциям сложения, умножения и умножения на скаляр. Вначале заме~им, что единичное отображение 1 и нулевое отображение О» являются линейными на У, так как по определению 1„х ° х для всех х вз У, О,х 0 для всех хи У.
Следовательно, для всех х, у ж У и Л и В имеем 1»(х+у) х+ у = 1,х+1 у, 1»(Л )- Л. -Л(1.х), 0»(х+ у) = 0 0+ 0 = О,х+ 0;у, 0» (Лх) = 0 = ЛО ЛО,х. Если Я, ТюЕпй(У), то сумма Я+Т и произведение 8 ° Т (композиция) определяются формулами (Я+Т)х Ях+Тх для всех хев У (Я ° Т)х Я(Тх) для всех х ш У. Отметим следующие свойства Епб(У) относительно при- веденных выше операций. 159 Предложение. Ыколеестео (Епб($), е, +' является кольцом с единицей.
Доказательство. Укажем основные агапы доказательства. Надо показать, что: (1) Я, Тек Епб($')*: Я+ТыЕпб(Ч) и Я ° Ти е Епй(Р); (11) (Епб ()т), 4-) — коммутатпвпая группа. Если Я, Т, 11 ы Епб(Ц, то: (111) Я в (Т ю Ц) (Я в Т) ~ Ц' (1Ч) Я (Т+11)-Я Т+Я 11; (У) 1теТ=Т ° 1 Т. Имеем (1) (Я+ Т) (х + у) Я(х+ у)+ Т(х+ у) Ях + Яу + + Тх+ Ту (Як+ Тх)+(Яу+ Ту) (Я+ Т)х+(Я + Т)у. Аналогично (Я+ Т) (Лх) ЯЛх+ ТЛх =ЛЯх+ЛТх Л(Ях+ Т ) = ЦЯ+ Т) х. Доказательство того, что Я ° ТжЕпй(т'), оставляем в качестве упраязпения. (11) (Я+(Т+ 11) )х = Ях+(Т+ (1)х Ях+(Тх+11х)- (Ях+ Тх)+ 11х =(Я+ Т)х+ 11х ((Я+ Т)+ 11) х, Следовательно, операция + ассоциативна, Элемент О, ж ж Епб()т) удовлетворяет условито Т+О, О,+Т=Т для всех ТыЕпб(Р) и является аддитивной единицей Епб(Ч).
Для Т ы ж Епб(У) определим отображение -Т: Т1 - )т соотношением ( — Т)х — (Тх) для всех х ж У. Легко показать, что — Т ж Епб(Ч) и ( — Т+ Т)= Т+(-Т) О». Позтому отображение -Т является аддитивным, обрат. ным к Т. Коммутативность (Епб()т), +) следует из коммутативпости (К +).
(П1) Утверждение следует пз результатов гл, 3, !00 (ГК) Для хж У имеем (Я (Т+ 0))х Я((Т+ У)х) Я(Тх+ Пх) Я(Тх)+ Я(Ух) (Я ° Т)х+(Я ° У)х (Я е т+ Я В Ц) х. (Ч) Утвержденна очевидно. Р Пусть ТыЕпб(У) н Л~вй. Определим отображенио ЛТ: У- У следующим образом: (ЛТ)х ° Л(Тх) для всех х ж гт. Легко показать, что ЛТы Епд(У). Отображение Л: й Х Епб(У) - Епб (У), определяемое соотношением Л(Л, Т)= ЛТ, называют ум- ножением на скаляр, Предложение. (Епд(У), +, А)- векторное лро- странстео над й. Доказательство.
Из предыдущего утверждения следует, что (Епд(У), +) — коммутзтизпая группа; сле- довательно, нам надо показать, что умножение на ска- ляр удовлетворяет условиям (Л + и) Т = Л Т + иТ, Л (Я + Т) = ЛЯ + ЛТ, (Ли) Т = Л (иТ), (вТ = Т, где Л, р ~в й и Я, Т ы Епд(У). Имеем цепочку соотношений ((Л+ и) Т)х ° (Л+ и) (Тх) Л(Тх)+ р(Тх) -(ЛТ)х+(рТ)х. Остальные соотношения доказываются аналогично. Р Предложение, Ояерации умножения в кольце и умножения на скаляр Л в Епд(У) удовлетворяют соотноисению Л (Я ° Т) = (ЛЯ) * Т = Я ° (ЛТ), где Л<юй и Я, Таз Еод(У). Докаватьльство. ((Л(Я Т))х Л((Я Т)х) Л(Я(Тх)) (ЛЯ)(Тх) ((ЛЯ) Т)х, (ЦЯ Т))х Л((Я Т)х) Л(Я(Тх)) Я(Л(Тх)) (Я (ЛТ))х.
Р з61 И д. кте. в,вззз Ачгебраические структуры, удовлетворяющие таким же свойствам, как и Епо(»'), называют линейными алгеб- рами. Дадим строгое определение. Определение. Четверка (Х, +... Л) называется линейной алгеброй над В, если Л: ВХХ- Х и (1) (Х, +, Л) — векторное пространство над В; (П) (Х,, +) — кольцо; (1П) Л и ° удовлетворяют условиям й (х~ хз) ()«х~)» хз *= х~ » (йхз) для всех й ж К и хи хз»и Х, У Результаты, полученные для Епй(»'), можно сфор- мулировать следующим образом. Предлоп«ение. Епо(1») с введеннылш выше оне- рациями является линейной алгеброй с л«рльтинлинатив- ной единицей. 1 Если Т «е Епй()т) и существует преобразование Я: »'- )т такое, что Я Т-т»Я=1., то (см. упражнение 5.4) Яж Епб(1»).
Тогда Т нааывают обратимьзи, а Я = Т ' — обратны.в н Т преобразованием, Обозначим через Ап«(Р) множество всех обратимых пре- образований из Епб()'), т. е. множество автоморфпз- мов )т. Предложение. (Лп1(У), ») является ерулной, Доказательство. Так как 1»жЛп«(») и 1» ° «1» 1„следовательно, существует 1»', равное 1„Пусть Я ж Ап1(»'); тогда Я ' ° Я=-Я ° Я '=1. Поэтому (Я-')-' существует и совпадает с Я. Следовательно, Я-'«иАпт(»'). Если теперь Я, Т«аАпЦ»'), то (Я «Т)«(Т"~ «Я-~) Я «(Т» Т-1) Я-~ Я «Я"' Аналогично (Т-' ° Я-') (Я ° Т) 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
