Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Когда групповая операция обозначается символом 8, едлнпчный элемент обозначается О, а обратный к элементу х элемент записывается в виде — х. По сравнению с первыми двумя структурами группы обладают следующпми важнымп свойствами. Внутри группы (С, ®) можно решить уравнение а ® х = д. Более того, решение легко найти (однако заметим, что для этого требуются все аксиомы группы). Если а®х=Ь то а-т 9 (а 9 а) а-» 9 Ь (а я С ~ а-» я С), (а-т ® а) 9 х а-» 9 Ь (® ассоциативна), и ® х а-» ® Ь (свойство обратных элементов), поэтому х ° а-1 ® Ь (свойство единицы). Часто к словам «группа» и «моноид» приписывают термин «коммутативный», Это просто оаначает, что опера«зя ция в рассматриваемой структуре удовлетворяет свойству коммутативности, т.

е. у ® х х(31у для всех х, у ен ЗХ или 6. Можно сделать много полезных выводов иа аксиом группы. Рассмотрим простой пример. Пример 2 2. В группе (6, «) (а«Ь)-1 Ь ~®а Доказательство. (а «Ь) «(Ь ' «а ')=а «(Ь «Ь ~) «а-' ° =а«1 а '=а«а ~ 1. Следовательно, Ь ' «а-' является правым обратным злементом к а «Ь.

Аналогично можно показать, что он является левым обратным элементом, откуда и следует требуемый результат. Х Группы дают нам первый пример широко используемых изоморфизмов. Эти нзоморфизмы (мэжду группами (К, +) н ()О, (, )) вазывают логарифмами. Они позволяют выполнять умножение при помощи сложения на основе следующего тождества: а «Ь = <р '(ср(а)+у(Ь)), где ~р: х 1ой„(х) для некоторого реп) — 1, оо(, У п р а н< н е н и е 5.2.

1. Доказать единственность единичного элемента и обратных элементов в группе (6, ®). 2. В группе (6, (к)) показать, что если а ® Ь-а ® с, то Ь-с, а еслих(з)а у ® а, то х у. 3. Проверить, что множество перестановок конечного множества образует группу по отношению к операции умножения перестановок, 5 3.

Кольца и поля По-видимому, простые операционные структуры 3 2 не были знакомы читателю. Сейчас мы готовы использовать свойства групп для описания арифметических структур, обсуждавшихся 'в гл. 4. Наибольший интерес для нас представляют поля (на текущий момент это наиболее идеальные арифметические структуры) и их классификация в тергипах размерности. Однако сначала мы 140 кратко рассмотрим структуры, которые несколько отличаются от полей и называются кольцами. 3.1. Кольца.

Многие математические конструкции, которые естественно возникают в линейной алгебре (особенно в теории матриц), являются кольцами пли включают кольца как подструктуры, Следовательно, примеры колец часто будут появляться в этой главе и в гл, б. Ыы уже изучили одну совокупность колец. Вернемся к ней после введения аксиоматических понятий. Определение.

Кольцом называется множество В с двумя определенными на нем бинарными операцияии ® п ю такими, что: а) ® ассоциативна; б) Ю ассоциативна; в) ю коииутативна; г) ~ имеет единицу, которая нааывавтся нулем и обозначается О; д) оущоствуют обратныв элементы относительно Ю; е) ® дпстрибутивна ло отношению к ~, т. в. хф(у Е г) (х®у) 9(х®г), (хгд у)®г (х®г) а(у®г) для всех х, у, ген В. 1 Следовательно, система (Е„, е, +) при любом п ыХ является кольцом. Будем говорить, что кольцо ломмутатиано, если умножение ® комиутативно, и является кольцом с единицей, если существует единица относительно умножения. Как обычно, ее обозначают символом 1.

Легко показать, что в кольце (В, ®, 9) для любых а, Ь жВ выполняются соотношения 0®а а®0=0, а ® ( — Ь) = ( — а) (й) Ь = — (а ® Ь), ( — а)®( — Ь) а®Ь. Здесь -а зто элемент, обратный к а относительно а Э (-Ь) записывают обычно как а — Ь, и если 1 ж В, то 1 единственна. Припер 3.1. (Е., «, +) является коммутативиым кольцом с единицей при любом л«аХ.

У В системе (Е., °, +) не всегда возможно «деление«. В этом состоит основное отличие между полем и коммутативныи кольцом с единицей. Рассмотрим кольцо (Е«, «, +). Покажем, что оно не является полем, 141 В Ее существует 15 случаев, когда произведение двух элементов может давать нуль, а именно: (О, 0), (О, 1), (О, 2), (О, 3), (О, 4), (О, 5)', (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (2, 3), (3, 4), (3, 2), (4, 3). Очевидно, что существуют утверждения, которые спра- ведливы не для всех арифметических вычислений.

При умножении выражений мы явно используем тот факт, что а « Ь = 0 тогда и только тогда, когда а 0 нли Ь О. В кольце (В, ®, 9) нулевые элементы х и у пазы вают делителями нуля, если их произведение равно ну- лю. В случае, когда В нв является коммутативным коль. цом, х называют левым делителем нуля, а у — правым делителем нуля. Нетрудно показать (см.

упражнение 5.3), что Х« имеет делители нуля (так как 3 — составное число) н что Е не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда р является простым числом. Если в группе (6, 9) а®Ь а®с, то Ь = с. Однако в случае проиавольного кольца это не. верно. Теорема. Приведенное еыиге условие имеет место е кольце П тогда и только тогда, когда П не содержит делителей нуля, Доказательство. Достаточность.

Предпо- ложим, что П не имеет делителей нуля, Тогда, если х®у =х®г и хчьО, то (хй~~у) — (хфг) (х®у) — (х®у)=0, (х®у) — (х®г) (х®у)9(х®( — г)) (х ® (у 9 ( — г)) = х ® (у — г). Поэтому х®(у — г) = 0; но так как не существует де- лителей нуля н х Ф О, то отсюда следует, что у -г = 0 и, следовательно, у г. Аналогично, если у®х= г® х, то у г.

Достаточность доказана. Необходимость. Предположим, что ив а®Ь = а®с следует равенство Ь с, и пусть х®у=О.Тогда х®у — х®0 'см. упражнение 5.3), и если хчьО, то у = О. Аналогпч- 142 но, если у ть О, то х®у 0=0®у и по предположению х ° О. Таким образом, из х ® у = О следует, что илп х О, или у О. т Рассмотрим теперь еще одну структуру, перед тем как перейти к изучению полей О и р е д е л е н и е. Областью целостности называется коммутативное кольцо с единицей, не имеющее делителей нуля, т. е.

множество В с двумя бинарными операциями ® и ю такими, что: а) сложение Ю ассоциативно; б) сложение коммутативно; в) существует единица по сложению, обозначаемая 0; г) существуют обратные элементы по сложению (обозначаются (-х) ); д) умножение ® ассоциативно; е) умножение коммутативно; ж) существует единица по умножению (обозначается 1); з) умножение дистрибутивно по отношению к сложению: (х®(у Юг)) (хэу) 9(хаг) для всех х,у,ген В; и) еслихчьОихау х®г,тоу г. Х Каждая конечная область целостности является полем, однако существуют примеры бесконечных областей целостности, не являющихся полями. 3.2. Поля.

Уже работая с понятиями арифметики, мы сталкивались с аксиоматнческим определением поля. 0 п р е д е л е н и е. Подем называется множество Р с двумя определенными на нем бинарными операциями— сложением 6 и умножением 9(обозначается (Р, ®, щ) или же просто Р), которые удовлетворяют следующим девяти свойствам. 1.

Сложение коммутативно: х®у у~х для всех х, уюР. 2. Сложение ассоциативно: хе(уюг) (хЕу)егдля всех х, у, гыР. 3. Существует элемент в Р, который обычно обозначается символом О, такой, что и Ю О-х для всех х ж Р; 0 называется адднтивной единицей или просто нулем. зИ 4. Каждому элементу х и Р соответствует элемент у >н Р такой, что хш у=О; у называется аддитивпым обратным элементом к х и обозначается через -х. 5.

Умножение коммутативно: х(к)у=у®х для всех х,уыг, 6. Умножение ассоциативно: х(в>(у®г) (х® у) ®г для всех х,у,ген г". 7. Существует элемент в г", который обышо обозначается символом 1, такой, что 1чьО и х®1=х для всех хен Г; 1 называют мультипликатпвной единицей или просто единицей. 8.

Каждому элементу х >и РУИ соответствует элемент р >и Р такой, что х ~» у = 1; у называется мультппликзтивным обратным элементом к х и обозначается череа х-'. 9. Умножение дястрибутивно относительно сложения: х®(уЩг)-(х®у)9(х®г) для всех х,р,генг'. г Пример 8.2. (В, в, +) является полем, и, следовательно, (В, +) и (В~(0), «) — коммутатявные группы.

(М, е, +) ве является полем, поскольку не существует ни аддитизвой единицы, ни аддитивных обратных элементов. (У(А), П, О) для заданного множества А не является полем, поскольку не существует обратных элементов. в" В предыдущем определении использовались символы ® и ю для того, чтобы подчеркнуть, что операции в поле могут отличаться от умно>кения и сложения.

Однако в дальнейшем часто будут рассматриваться поля (В, ч, +) и (ф», +). Поэтому мы будем испольвовать сим волы ч и +. Перед тем как перейти к доказательству основных утверждений, напомним (вместе с доказательствами) некоторые важные;ледстрия, которые непосредственно из.

Характеристики

Список файлов книги