Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Основные ревультаты этого параграфа будут сформулированы в двух теоремах, а вспомогательные реэультаты даны в виде упражнений. Определение. Говорят, что поле 7 упорядочено, если оно содержит непустое подмножество Р, которое замкнуто относительно операций сложения и умножения, и такое, что для каждого элемента х из Р имеет место ровно одно из соотношений хеР',(О), х О, -хжР~(0), Р есть множество всех положительных элементов Р. (На этом этапе отметим, что 0 может как включаться в Р, так и не включаться.
Для определенности выберем случай, когда 0 включается в Р, что согласуется с наложением предыдущей части книги.) Если х~вР, то будем говорить, что алемент х пололсителен, и обозначать этот факт как х>0. Если -х ж ~вРЧО), то будем говорить, что алемент х отрицателен, и обоаначать ато как хСО. Аналогично, если х и уалементы Р, то будем говорить, что х менаисе или равно у (обозкачается х ~ у), тогда н только тогда, когда у — х ж Р, и что х меньше у (х < у), тогда и только тогда когда у — х <мР МО), Символы <, я: можно так- ььо же использовать для записи в противополол«ную сторону. е' Из этих определений можно получать, что «Кь является отношением порядка и выполняются все ожидавмые свойства.
Теорема, Пусть Р— упорядоченное поле и а, Ь, с, Ыж Р. Тоеда: а) если а < Ь и Ь ~ с, то а ~ с; б) а<а; в) еслиа- Ьиб|:а,тоа Ьт г) если аФО, то а«~ 0; д) 1>0; е) если а<Ь, то а+се Ь+с; ж) если а < Ь и с < д, то а + с ~ Ь + Ы; в) если а<Ь, Осе и с(<0, то о»с~Ь»с, Ь»Нк; «:а с); н) если 0 < а, то О~а ', и если Ь "~0, то Ь ' (О, Доказательство. а) а<Ь н Ъе с (Ь вЂ” о)ыР, и по определению (с — Ь)«иР. Тогда с — а-с — Ь+ Ь вЂ” а«еР, поскольку Р замкнуто относительно сложевия. Следовательно, а~ с.
б) Очевидно, что а — а -0 «э Р. в) а~Ь и Ъ ~а; поэтому если Ь вЂ” о х, то хжР н -х ж Р, что противоречит определению Р. Поэтому х 0 на Ь. г) Если ать О, то или а«зР, или -ажР. Поскольку Р аамкнуто относительно умножения, то а «эР «. а«ж Р и, как показано в п. 3.2, (-а) ° (-а) аэ, откуда -а «и Р» а««э Р. д) 1« ° 1, поэтому из случая г) следует, что 1)0, е) Утверждение непосредственно следует из соотно- шеоня Ь вЂ” а (Ь+ с)-(а+ с), ж) Требуемый результат получаем из соотношения (Ь вЂ” а)+ («1 — с) (Ь + «1) — (а+ с), используя замкнутость Р. з) Утверждение доказывается аналогично, используя следующие соотношения: (Ь вЂ” а) с=Ь«с — а«о И (Ь вЂ” а) «(-И) а «д — Ь» д.
н) 0<а~ажРЛО). Если а ' О, то ( а»а '= а»0 О, а если а-'ФР, то из случая з) имеем (— а ' » а < 0 «а О. В обоих случаях получили противоречие. Поэтому а ' ж Р~(0) и, следовательно, 0 < а '. Оставшаяся часть доказательства лроводнтся аналогично. в" Получим похожие соотношения для понятия величины в упорядоченных полях. Определение. Если Р— упорядоченное поле, то абсолютным значением (величиной, длиной нли модулем) называется функция х, если хЪО х «» — х, если х<0, Традиционно зту функцию обозначают как !х! (х — аргумент) и читают зто как «модуль х«. в' Сформулируем беа доказательств основные результаты, относящиеся к функции (х1.
(Доказательства оставляем в качестве упражнения.) Теорема. Если Р— упорядоченное поле и а, Ь«а ~ар, то: а) (а( 0 тогда и только тогда, ковда а 0; б) 1-а!=(а1; в) (а» Ы (а( ° 1Ы; г) если О < Ь, то (а( < Ь тогда и только тогда, когда -Ь<а<Ь; д) — (а( < а ~ (а1; е) 1(а( — (Ы(<!а~ Ы <(а1+1Ь1 (неравенство треугольника). в" У п р а ж н е н и е 5.3.
(. Доказатгч что в кольце (г(, «, +) выполняются соотношения: а) 0«а=а«0=0; б) а «(-Ь) ( — а)» Ь -(а» Ь); е) (-а) «( — Ы= а «Ь. 152 определяет некоторый злемент поля, причем такое представление едннственно. 10. В поле (Р, «, +) с операциями, определеннымн ниже, решить систему лпнейных уравнений а+И«р=е, а» ее+у =Ь, +!а Ь с а а Ь с а а Ь с И Ь а а' с с а а Ь асЬ« а а а а а Ь с а а е а' Ъ а а Ь с 11. Доказать, что если а «Ь > О, а, Ь жр', то лли а, Ь>0, или а, Ь<0. 12.
Доказать, что в упорядоченном ноле аз+ Ь' 0 тогда и только тогда, когда а Ь = О. 13. Пусть Р' — упорядоченное поле и а, Ь еи ег такне, что О < а -: Ь. Доказать, что ат < Ьз. 2. Показать, что если в кольце (В, », +) для каждого а ж Н выполняется соотношение а «а ° а, то Л коымутативно. 3. Показать, что в кольце Е. делителями нуля являются только те злементы, которые имеют общие нетривиальные множители с в. Следовательно, Ее, где р простое, не имеет делителей нуля. 4.
Показать, что каждая конечная область целостности является полем. 5. Показать, что (Е, », +) — область целостности, но не поле. 6. Пусть р < о и (Ес, «„+е) и (Е„«„+,) — обычные системы по модулю р и а. Доказать, что, хотя они и являются коммутативными кольцами и Ее ~ Е, кольцо (Ее, «„+е) не является подкольцом (Е„«„+,). Показать, что операции «е и +, не замкнуты на Ее. 7. Без использования теорем доказать, что (Ее, «, +) не является полем (» и + суть операции по модулю 6).
8. Доказать, что конечное поле имеет ненулевую характеристику и что поле с характеристикой 0 бесконечно. 9. Пусть аь аю ..., а„ определены так же, как и прн доказательстве последней теоремы п. 3.3. Доказать, что любое выражение вида т~а~ + теаз +... + т„а, »4. Доказать, что каждое поле является областью це лостности. 15. В упорядоченном поле, складывая неравенства -!а! к а < !а! и -!а! ~-а < !а), доказать, что: а) !а~ Ы < !а)+ !Ы; б) !!а! — !Ы! < !а~ Ь!. $4. Линейная алгебра В большинстве элементарных учебников векторы оп- ределяют как объекты, обладающие «величиной» и «на- правлением». Такой подход берет начало из приложений в геометрии и физике. Эти вопросы формально будут об- суждаться в и. 4.2.
Дадим более общее определение век- тора, для которого понятия величины и направления не- существенны. 4Л. Векторные пространства и линейные преобразо- вания. О п р е д е л е н и е. Пусть )т — поле, а Р— множество с бинарной операцией +. Предположим, что для каждого а ю гт и х ш р определен элемент ах «в |т, Тогда, если вы- полнены аксиомы: а) (р, +) — коммутатпввая группа; б) для всех х, у ж т' и а, Ь ж г" (а+ Ь)х ах+ Ьх, а(х+ у) ах+ ау, (аЬ)х а(Ьх), Ьх х, где 1» — мультипликативная единица в Р, то говорят, что т' является векторным пространством над г'. Элементы т' пааываются векторами, операция + называется сложени- ем векторов, а отображение Л: РХУ- т', определяемое соотношением Л(а, х)* ах, называют умножением вектора на скаляр. в' Векторное пространство над )т может рассматриваться как тройка (Р, +, Л), удовлетворяющая приведенным выше аксиомам.
Нуль векторного пространства по сложа» $54 иию обозиача|от символом О. Из аксиом следует, что О,х =О для всех х|я У, где О, — аддитивкая единица в Р, и аО=О для всех акр. В следующих примерах будет показано, что различные классы множеств обладают структурой векторного простравства. Пример 41. 1, Р" (и ж Х) является векторным пространством кад Р с операциями (а|, ..., а„)+(Ь!, ..., Ь.) (а|+ Ь!, ..., а„+ Ь„), а(а|, ..., а )=(аа|, ..., аа„). Нулем Р" является вектор (Ою ..., Ов).
Элементы а|, ... ..., а„называются компонентами вектора а =(а|, ..., а.). 2. Пусть У вЂ” множество всех отображеиий 1: [а, Ь)- К. Тогда У является векторным пространством иад К с операциями (1+ у) (х) 1(х)+ у(х) для всех 1, у |и У, (а1) (х) а1(х) для всех а |и К. 3. Пусть У, У|=У вЂ” миожество всех непрерывных отображений из У.
Тогда У является векторным пространством с операциями, определенными в У. в' Множество О, О |и у, называется векторным подпроетранетвом пространства у, если оио является векториым пространством с операциями из у. Множество ((а|, ..., а„|, От); а, |и Л является векторным подпростракством пространства )т"; У является векторным подпрострапством пространства У. Если П, П|и у,— векториое подпрострапство пространства т, то Ож П. Векторные простраиства К" (1 < и < 4) возникнут естествепкым образом в гл. 10.
Операции в К" имеют геометрическую интерпретацию. Для пространства Кз зто показано ка рис. 5.3. Если г* (х, у)|и Кз, то компокеиты х и у измеряются вдоль ортогокалькых линий, качииая с точки пересечения О (рис. 5.3, а). Компоненты х и у откладываются вдоль линий ОХ (ось х) и Ог' (ось у) соответственно. Эти линии проведеиы под углом 90' 155 друг к другу, и угол между ниии измеряется против часовой стрелки от оси ОХ. Такую систему осей называют правосторонней системой координат в Кз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
