Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 23
Текст из файла (страница 23)
влекаются из определения полн. Предло>не ив е. Единичный элемент в поле едхнсгввн. Д о к а э а т е л ь с т в о. Предполоя2нм, что х «е = х и х «е' — х для всех х ы р. Тогда в=е е'=е'»е=е' Поэтому е е' = 1. Для операции сложения доказательство аналогично. в' Предложение, Обратные элементы в поле единственны. Доказательство. Опять рассмотрим случай операции умножения. Возьмем хыРЧО) и допустим, что имеется два элемента у и г таких, что х у 1, т « г 1.
Из коммутативяости следует, что у«х=1=2«х1 поэтому у = у « 1 у « (х » г) = (у « х) » г 1 « 2 1. Следовательно, у г х '. Единственность обратных алементов по сложению до- казывается аналогично. в' Перейдем к основным результатам. Теорема. В поле (г", *, +) для любых а, Ьыр справедливы следующие утверждения: а) а « 0 0; б) (-а)-а «(-1), -а(+Ь) ( — а)+( — Ь); в) — ( — а) а, (-1) (-1) 1; г) если а««0, то (а ')-' а; д) а «Ь О» а 0 или Ь-0; е) (-а) (-Ь) а ° Ь. Доказательство. а) а» 1 а н а+ 0 = а; поэтому а+(а «0)=(а» 1)+(а» 0)=а»(1+0) а» 1 а.
Следовательно, а «О является единицам по сложению, Она единственна; поэтому а» 0 = О, б) Аналогично а+(а «(-1)) (а «1)+(а «( — 1)) и «(1+( — 1)) а «О ° О. 1О д. кг«, г. в«а« 145 Таким обрааом, -а а»( — 1). Используя это равенство, лолучавм -(а+ 6)=(а+ Ъ) «(-1) (а «( — 1))+(Ь «(-1)) =(-а)+( — 6), в) По определению (-а)+а=О и (-а)+( — ( — а))=0, Но обратные элементы единственны; поэтому а =* — ( — а). Таким образом, 1 — (-1), Пусть х равно -1. Тогда 1 — — (х) х (-1) ( — 1) «( — 1). г) Заметим вначале, что а ' чь О, так как в противном случае 1 а«а-' а ° 0 О, что противоречит свойствам полн.
Следовательно, а ' Ф 0 и доказательство аналогично доказательству случая в]. д) Возьмем а чь О. Тогда а-' определено и Ь 1»Ь (а '«а)«Ь а-'»(а«6)=а-'»О О. е) Из случая б) следует (-а) а «(-1) и ( — Ъ) Ь «(-1), Поэтому (-а) «(-Ь) (а» (-1)) ° (Ь (-1) ) а»((-1)«(-1))»Ь а«1 Ь а«6. е Для упрощения записи выражений в полях примем обычное соглашение о том, что если нет скобок, то умножение выполняется раньше сложения. Например, вы. раженив а+ Ь «е означает а+(6 «е). Из аксиом поля следует разрешимость линейных уравнений. Это — очень важное свойство, и можно при вести аргументы в пользу того, что оно — основное свой ство полей. Линейным уравнением относительно х над полем Р называется выражение вида а ° х+ 6-0, гдв О, а, Ь жР. Теорема.
Если аФО, то линейное ураенение а» » х+ Ь 0 имеет единственное решение е Р (т. е. существует только один элемент поля, при подстановке которого е уравнение получаетея верное раеекстео). Ы3 Доказательство. а»х+Ь=О, а «х+ Ь+(-Ь) О+( — Ь), а «х+(Ь+( — Ь))=(-Ь) (ассоциативность и свойство 0), а» х+ 0 =(-Ь) (по определению 0), а ° х -( — Ь) (свойство 0), а-' « (а « х) а"' « (-Ь) (а чь 0), (а ' «а) * х (-Ь)» а-' (ассоциативность и коммутативность), (по определению 1), (свойство $), Поле Р замкнуто относительно заданных операций. По- атому элемент (-Ь)« а ' содержится в г. Этот злемент и дает решение уравнения. Болев того, так как обратные элементы в г" единственны, то — Ь и а-1 определяются иа данного уравнения единственным обрааом, и, следовательно, решение единственно.
/ Уравнения, которые получаются из полиномов более высоких степеней, например квадратные уравнения а»х»х+Ь ° х+с 0 с коэффициентами а, Ь, с из К, в общем случае неразрешимы в К. Для того чтобы эти уравнения были разрешимы, нужно перейти к расширению поля К вЂ” полю комплексных чисел. Однако полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами всегда разрешимы в поле комплексных чисел: никакого более широкого поля не требуется. Исследование этого интересного факта могло бы увести нас в сторону от более уместных тем. 3.3. Конечные коля, До сих пор все упоминаемые поля были бесконечны (содержали множества, имеющие мощность Ы с или И ~) .
Обсудим теперь возможность существования конечных полей — полей, содержащих конечное число элементов. Сформулирувм основные свойства конечных полей и докажем некоторые из них (докааательства других лежат за пределами этой книги). Вначале приведем некоторую дополнительную информацию, Пусть а~аР. Тогда элементы а, а+а, а+а+а, ... являются элементами поля. Обозначим их через а, 2а, За, ..., па, ...
(не требуется, чтобы п ш Р) соответствен- 10« 44? но. Аналогично а, а» а, а» а» а, ... также являются элементами поля. Обозначим их через а, а', а', ..., а", ... соответственно. Предположим, что а Ф О, Определение. Если существует целое пегХ такое, что па 0 (и нв существует меньшего целого ты Ь) такого, что та О), то и называют аддитиеным порядком а. Если существует тыЬ) таков, что а" г (и не существует меньшего тшй) такого, что а' ° 1), то лг называют мультипликатиеным порядком а. г Теорема. Ненулевые элементы поля Р имеют один и тот же аддитигный порядок, Доказательство.
Возьмем а, Ъеер~(0) и предположим, что аддитизныв порядки а и Ь равны п и пг соответственно. Тогда пЬ п(а»а-')»Ь (па)»(а ' ° Ь)=0»а '»Ь=О. Поэтому и < и. Аналогично пга т(Ь» Ь ')» о (тЬ) «(Ь ' » а) = 0» Ь ' » а = О. Следовательно, и < т, и поэтому т к.
г Определение, Если в поле Р все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок и, то говорят, что Р имеет характеристику и. Если такого аддитивного порядка не существует, то говорят, что поле имеет характеристику, равную О, г' Если 1Р! пг ег Ь(, т. е. Р имеет т элементов, то говорят, что Р конечно. Если Р имеет характеристику, равную О, то оно должно быть бесконечным. (См. упражнение 5.3.) Теорема. Характеристика любого конечного поля является простым числом.
Доказательство. Предположим, что конечное поле Р имеет характеристику и и п ° р ° д, гдв р, дыми и р, у ге М, Возьмем а ш РЧО). Тогда 0 па (р д)а р(уа). Далее да <ю Р. Поэтому, если да О, выполняется соотношение и < д (поскольку порядок а равен и); в противном случае да ги РМО), порядок да также равен и и поэтому и < р. Таким образом, в обоих случаях получаем противоречие. Следовательно, таких р и у ие существует и и простое. р Таким образом, мы получили следующий основной результат. Теорема.
Конечное поле имеет характеристику р (простое число) и (Р! р" для некоторого пыЬ(. 148 1 = т»а» + тэаз+... + т„а., причем 1~'т,~ р для всех 1 1, ..., и. (Докааать зто в качестве упражнения.) Следовательно, существует р" таких выражений, и, таким образом, !Р! р". э Итак, любое конечное поле должно иметь р" элементов прн некоторых р, и ю»( (р простое). На самом деле для любых таких р н п существует поле порядка р", однако доказать это не совсем просто.
Рассмотрим в качестве при»»ера поле (Ем «, +), где ° и + определены в табл. о.1. Нетрудно показать, что выполнены условия 1 — 8 пз определения поля. Таблица бд +~ О 12 О 1 2 О О О О 1 2 О 2 1 О 1 2 1 2 О 2 О 1 Для контраста рассмотрцм соответствующую табл. 5,2 для Е» Таблица 52 + ~ О 1 2 3 О 1 2 3 О 1 2 3 1 2 3 О 2 3 О 1 3 О 1 2 О О О О О 1 2 3 О 2 О 2 О 3 2 119 Доказательство. Мы уже знаем, что 7 имеет характеристику р, причем р простое. Пусть !Р! ° д. Если р д, то утверждение теоремы очевидно. В противном случае возьмем элемент а»»я РЧО) и положпм У» (у: у па»,п»мЯ,1<п~р), 1У'»! р.
Рассмотрим теперь элемент ат»н ИУ'ь и пусть Уэ (у: у па»+тат, .т, яюХ,1<п<р, 1<т<р). ЕслиУз Р,то процесс заканчивается;в противномслучае рассмотрим а»»н у~У з н т. д, В конце концов (поскольку г' конечно) процесс остановится и мы получим совокупность множеств У ь У и ..., 8~„для некоторого п»и Х. Каждый элемент 1 из г" единственным образом представим в виде Очевидно, что не существует мультипликативного об« ратного ачемента к 2. Поатому 24 с естественной операцией умножения не является полем. Поле порядка 4 2' хотя н существует, но не совпадает с У4 (см.
упражнение 5.3). Конечные поля заданного порядка стро. ятся достаточно сложным образом — на основе теории многочленов над другимя структурами (не полями). Они имеют важное значение в теории кодирования. Мы не будем атпм ааниматься, поскольку такое приложение является довольно специальным. 3.4. Упорядоченные поля. Мы уже видели, что множество Н вместе с обычными операциями сложения и умножения определяет поле.
Однако структура поля сама по себе не дает какого-либо упорядочения элементов, которое мы обычно связываем с В. Не все поля могут быть упорядочены. Поэтому мы должны проверить, какие дополнительные условия должны быть выполнены, прежде чем рассматривать ато понятие. Обычные свойства порядка можно получить, как и ожидается, многими способами, Начнем с определения свойства положительности. Оно непосредственно приводит к отношению порядка в поле, а затем к понятию длины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
