Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Показать, что 1!аз 1„0. и-вп 3. Доказать, что если (г„) и (г„) имеют пределы г и 2 соответственно, то последовательность (р„), где р„ ),г„, имеет предел Хг. Если г чь О, то 1ип (г„/г„) = г/г. к.еа 4. Найти производные следующих функций (определить области, в которых существует производная); 104 а) 1: К - К, где 1(х)- хз"; б) 1: ВЧО) К, где 1(х) 11х; в) 1: К вЂ” К, где 1(х) (хР. 5. Показать, что если 1 и л дифферевцируемы в точке х, то: а) 1+ л дифференцируема в точке х и (1+ л) '(х) — 1'(х)+ л'(х); б) 1а дифференцнруема в точке х п (9)'(х) =(1г) (х)+(1л') (х)' в) 118 дифференцируема в точке х при л(х)чь О и (11л)'(х) - О ') (~) г () 8, Показать, что если а11н К при О ~ к < Ж и р: К- К определено соотношением М М р(х) = 2~ аьх", то р'(х) = ~ аьlсх" 1. А о А 1 7.
Определить производные следующих функций; а) 1: В - В, где 1(х) — х з1о х1(1+ соз х), б) йч К - К, где л(х) з1о х'+ х созз х. 8. Вычислить интегралы: 2 1 И/1 а) ) азах, "б) ) хы'1(х; в) ) созхох. 1 -1 о 9. Найти неопределенные интегралы: а) ) хе* 11х; б) ) ~ /Ых; в) ) з1пхсозхлх. и 6, Операции Часто некоторые функции (такие, например, как сложение целых чисел) используются при введении более простых обозначений. Это моя<но испольаовать для описания основных идей, изложенных в предыдущих параграфах, что, в свою очередь, позволит нам сделать доказательства более короткими и в то же время точно выделить свойства, на основе которых делаются выводы. Более детальное исследование будет проведено в гл.
5 — 8, 105 О п р е д е л е н и е. Операцией над множеством Я называется функция 1: д"- Б, п ж Х. В этом определении есть два важных момента, которые заслуживают особого упоминания. Во-первых, раз операция является функцией, то результат применения операции однозначно определен. Поэтому данный упорядоченный набор из и элементов 5 функция 1 переводит только в один элемент Ю. Во-вторых, поскольку область значевий операции лежит в Я, иа которое операция действует, будем говорить, что операция замкнута иа д. Говорят, что операция Ю" - Ю имеет порядок и. Ограничимся рассмотрением ситуаций, когда порядок равен 1 или 2.
В этом случае операции называют монадическими (или упарными) и днадическими (или бинарными) соответственно. Элементы набора из и элементов в области определения называют операпдами. Операции обычно обозначают символами, называемыми операторами. В случае унарных операций обычно символ оператора ставят перед операндом. у Наиболее простым примером является операция изменения знака иа В. В предположении, что операция сложения уже определена, — х определяет операцию х у: х+ у = О (х отобран~естся в у: х+ у 0). О пред олени е. Бинарные оиерацпи обозначают одним из трех способов. В первом случае оператор ставится между операндами (1пДх), во втором — перед операндами (ргеДх) и в третьем — после оиерандов (рое1- Дх). Х Пример 6Л.
а+ Ь (пах, +аЬ ргеЩ аЬ+ розЦЕх. У Переход от одной формы к другой нетруден и лучше всего описывается в терминах ориентированных графов, которые будут обсуждаться в з 6 гл. 7. В соответствии с большинством математических текстов, исключая некоторые работы по алгебре и формальной логике, мы будем использовать обозначение $пДх. Другие обозначения имеют то преимущество, что не требуют скобок при определении порядка вычислений спины иых выражений, и это делает их особенно удобиыми для автоматической обработки.
Читатель может проверить соответствие между следующими парами выражений, запнсаинымн в фирмах 1п)1х и роз1Дх соответственно: 10с а) а+ Ь «с+(Н+ е «((+ е)), або «+ с(е/и + «++; б) (а+Ь)«с+сс+е»(+й, аЬ + с«И+ е( «+ у+; в) а+(Ь «(с+ сс)+ е) «1+ е, айес( + ° е + ( «+ а +. При мер 6.2. Рассмотрим алгебраическое выражение а + 6 «с + (сс + е «(1+ е) ) и его представление иа рис. 3.11, которое называют де- ревом. !!з свойств арифметических операций мы знаем, что значение этого выражения можно вычислить многи- ми снособами. Однако если двигаться слева направо и снизу вверх, то получаем а 6 с, () а+а, "( 1+и, б - е» у, и - с(+ б, р - р+ и.
Здесь греческими буквами обозкачасотся прови»ссуточные результаты, за исключенном р — искомого результата. Вычссслепие значения втого выражении с номощьсо дерева производится очень просто, однако если работать непосредственно с исходным выражением, то это моксио Рвс. 3,11 сделать по-другому. Действительно, обычно (сл)1х) выражение, как это покааано в примере, нерегулярно потому что некоторые нодвыражоиии заключены в скобу~ ки а некоторые иет. Особенно такал ситуация будет на- $ блюдаться в том случае, если проинтегрировать информацию о различных символах на дереве (поскольку на самом деле его иет).
Очевидно, что формы ваииси рте!сх н доз!(сх этого выралсснии несут больше информации. 107 Вычисление значения въ»рав«еккя в форме роеврх осуществляется следующим образом: е р у + е + + «Ь с е + е е + е г у + а + + а е е у + е + + У Ш д ° Р вычисления осуществляются Аналогично в форме рге1(х следующим образом: е + а в Ь с + + а и Р + е' е в + г у + а е е + е у + а Е е + г у ° ~ ° ° У » а в а Ь с а а Ъ Ь а с а Ь Ь »ОВ «Переходы» по дереву показаны на рис. 3.12, а (форма рге/вх) ва рвс. ЗЛ2, Ь (форма ро»Ц»х) в яа рис.
ЗЛ2,с (форма 1п)~х) со скобками: ((а+(Ь »с))+(с(+(ее()+я)))). К этим вопросам мы вернемся позднее. Конечпо, мы унсе впакомы со многими бинарными операциями, вапример с арифметическими операциями +, », —, / и операциями иад множествами — объединением (Ц) и пересечением (Й). Операции, определеппые па конечпых множествах, часто удобнее задавать при помощи таблиц. Пример 8.3.
Пусть операция ® определена иа мвожестве (а, Ь, с) при помощи таблицы Следовательно, а®Ь а, ЬО»Ь-а, с®Ь-Ь,... У Такие символы, ьак Э и 9, будут использоваться для обозначения различных операций, которые будут вво- Ркс, 3,12 дпться в процессе нзлол1епия. Очевидно, что использование таблиц имеет важное значение, так как пекоторыо операции, с которыми приходятся иметь дело в компьютеряой математике, непригодны для словесного аадания. Обратим теперь внимание на свойства операций.
Операции вместе со своими следствиями обеспечивают основу всех алгебраических вопросов математики, так как опи определя|от порядок работы с объектами. О и р е д е л е н и е. Говорят, что бинарная операция ® на множестве А коммутативна, если а ® Ь = Ь О» а для всех а, Ь еи А. у Следовательно, обычная операция сложения на Е коммутативва, а вычитания — нот. Определение. Говорят, что операция ® на множестве А ассоциативна, если (а® Ь)(9е= аОв(Ь(з) с) для всех а, Ь,ееи А.
У Заыеткы, что в определении ассоциативности порядок операндов а, Ь в е сохранен (операция может быть некомыутативной!) я использованы круглые скобки, чтобы определить порядок вычисления. Таины образом, выражение (а ® Ь) Ове требует, чтобы сначала вычислялось и 9 Ь и результат этого (скажем, х) участвовал в операции с с, т. е.
давал х®с. Если операция ассоциативна, то порядок вычислений несуществен и, следовательно, скобки не требуются. Пример 0.4. Над 2 имеем ((+ 2)+ 3 1+ 2+ 3 $+(2+ 3), (1 — 2)- 3 — 4 и 4 -(2 — 3) 2. но Тогда ) называется левой единицей по отношению к ® 110 Таким образом, операция вычитания не ассоциативна. Р Комыутативпость и ассоциативность являются двумя важными свойствами, которые могут быть определены для простых операций.
Перед тем как описывать свойства, связывающие две операции, определим некоторые термины, относящиеся к специальным влемептам множеств, к которым эти операции применяются. О предел ение. Пусть Ов — бинарная операция на множестве А п 1ы А такая, что 1®а а для всех а ен А. на А. Аналогично, если существует г ш А такое, что а®г = а для всех аз= А, то г является нравой единицей по отношению к ® Далее, если существует элемент е, который является и левой, и правой единицей, т. е. в®а=а®в=а для всех аенА, то в называется (двусторонней) единицей по отношенпюк ®.р Пример 6.5. Над К О является правой единицей по отношению к вычитанию и единицей по отношению к сложению, так как а — О=а, но Π— аФа, если ачьО; а+О=а и О+а =а для всех а.
в О пределе н не. Пусть ® — операция на А с единицей в и х ® у = е, Тогда говорят, что х — левый обратный элемент к у, а у — правый обратный элемент к х. Далее, если х и у такие, что хО~у=в=уО»х то у называется обратным элс.чентога к х по отношению к ®, и наоборот.
У 3 а м е ч а н и е. В некоторых работах левые (кравые) обратные элементы относят к левой (правой) единице, однако, как мы скоро увидим, в большинстве случаев единицы являются двустороншгхш и, следовательно, не требуется делать нпкакпх различий. Для решения уравнений необходимо существование и единственность единиц и обратных элементов. Менее общим свойством операций является идемпотентность, хотя оно используется в алгебре логики. Определение, Пусть операция С») па множестве А и произвольный элемент хшА таковы, что х®х х.
Тогда говорят, что х идегзпотвнтвн по отношению к О». р Очевидно, что любое подмножество идемпотентно по отношению к операциям пересечения и объединения. Определение. Пусть дано множество А, па котором определены две операции 69 и йв. Тогда, если а0»(Ьйвс) =(а®Ь) 9(а0»с) для всех а, Ь,сел А, то говорят, что ® дистрибутивна по отношению к 1И. 111 Если сказзппое выше не совсем понятно, следует провести соответствие между этим тождеством и обычной арифметикой ва В, например, 3» (1+ 2) =(3» 1)+ (3» 2). Может вызвать удивление, что в 3 5 рассматривались только несколько специальных свойств, и можно прийти к выводу, что практически ничего нельзя вывести иа того факта, что множество п связанные с пим операции обладают некоторыми пз этих свойств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
