Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Особый интерес в аадачах, связанных с трансляцией языков программирования, представляют функционалы. Существуют функции, которые определены не на множествах простых объектов (такпх, как числа), а, например, на множестве функций. Определение. Пусть даны множества А, В п С. Обозначим через [ — С) множество всех функций из В в С. Функция 1: А - [В - С) называется фунявионалоль Следовательно, а ~и Я>, ~ 1(а) — функция, и 1(а): В- С.
Далее, ЬаЫп„~-1(а) (Ь)жС. У На первый взгляд такая комбинация, как ~(а) (Ь), выглядит настолько необычной, что может казаться незаконной. Это в основном потому, что рассматриваемые функции попользовались как ооъекты особого рода, в ряде случаев отличные от элементов, которые были в области определения и области значения функций.
Конечно, множества функций могут рассматриваться так же, как и любые другие множества. В развитых языках программирования имена целых переменных не отличаются от имен переменных функций и могут научаться аналогичными способами. Хотя вти функции являются обычао довольно сложными, языки программирования редко дают примеры важности функционалов. Пример 4.4. Пусть Р— множество программ, т. е. текстов программ (строк символов), которые должны быть обработаны компилятором.
Аналогячно пусть 1 и Π— множества соответственно входных и выходных значений, которые доступны программе для ввода и вывода. Тогда компилятор (с соответствующего языка) является функционалом типа Р- [1- 0[; для данной р ж Р он пытается создать машинный код, который прп выполнении будет чнтать 1 ы 1 и выдавать о ж О, Из дальнейшего наложении будет видно, что определение функций (нлн функционалов) сложности компплятора длинное и сложное.
Тем не менее зтн понятия можно изучать в более простых ситуациях. П р и и е р 4.5, Пусть все данные принадлежат В. Тогда, если 1: а [л а + г], то 1(2); х 2 + х н ((2) (3) = 5, то время как 1(3): х 3+ х и ЯЗ) (3)= б и т, д, 1 Обрзщевве с функционалами не вызывзет трудностей прн условии, что ссылка делается нз основной функционал (т. е. А - В нли А (В- С]). Следовательно, в дальнейшем мы будем рассматривать пх просто как функции, имеющие нетривиальные областв значений, и будем обращаться с ними соответствующим образом. В эаключоние параграфа определим функции, которые сохраняют некоторые структуры.
Из дальнейшего будет видно, что в некоторых ситуациях желательно сохранить многие па алгебраических свойств, которьыгн множества могут обладать. Огранпчимся вначале рассмотрением простейшего случая. Определение. Пусть Х вЂ” множество, на котором задано отношение эквивалентности р. Тогда Х раебиеается отношением р на р-экеиеолентные классы; множество классов обозначается как Х/р. Определение. Пусть Х п У вЂ” множества, а р» и р» — отношения эквввалентвостн на них, и пусть 1: Х- У вЂ” отображение. Обозначим через 1 отношение 1: Х1р» У1рт такое, что 1= (((*), (1( )В: х Х), где (х) класс эквивалентности х.
Если 1 — функция, то х1р»хз 1((х1))-1((хз)), и 1 является отобразсением, сохраняющим зкеиеалентность, В этом случае говорят, что 1: Х- У индуцирует отображение 1: Х/Р» У1Р» Наглядный способ предстзвленвя такого отображения дзн нз рис, 3.7, Если рассмотреть отображение 1, согласованное с отношением эквивалентности, то можно переходить от х| к у~ или через хп используя соотношения уз 1(х~) в хзр»хи вли через уи используя соотношения у~ 1(х1) и уартуь Пример 4,6. Пусть Х (1, 2, 3), У ((, 4, 9), и пусть р» и рт таковы, что Х/Рл Н()~ (2ю ЗН~ У1рт '((!), (4, Я)), и 1: Х- У такое, что в лз. Тогда 1([(]) - [1(()]- [1]- И), 1([2]) =* [4] = (4 9), 1([3]) [9] = (4, 9).
В етом случае (2, 3) ~а Х/Рз =- 2рзЗ *' [2] — [3] и 1([2]) 1([3]). Поэтому 1 является функцией и 1 сохраняет отношения зквизалентности. 1 Пример 4.7. Пусть Х, У в 1 те же, что и раньше, и отношение эквивалентности аз и от индуцируют раз- биения (И), (2, ЗН и (И, 4), (9Н соответственно. В зтам случае индуцированные отношения дают 1([2]) [/(2)] - [4] ° И, 4), 1([3]) — [/(3) ] — [9) (9).
Так как 2озЗ, то [2] [3) в Х/оз, но (4, 9) Ф от, но. скольку [4]та[9) в У/от. По сравнению с рис. 3,7 этот пример дает отношения, локазанные на рис. 3.8. Так как бз ь * з 1 3 сг ° 1 р .Зй Рве. ЗЛ нельзя соединить стороны прямоугольника во всех случаях, то отношения эквивалентности не сохраняются. г В гл. 5 и далее будет показано, как зти диаграммы могут быть использованы для определения операций таким образом, чтобы соединить углы прямоугольника, После етого можно будет объединять диаграммы подобно строительным блокам.
$5. Аналитические свойства вещественных функций Этот параграф содержит материал, использующий теорию множеств из гл, (. Цель, которая при этом креследуется, состоит ве в развитии техники вычислений, а в создании строгих утверждений типа: «Предел 1(х) прк х, стремящемся к О, есть р», «Наклоп графика / в точке а равен 6», «/ имеет гладкий график» и т. п. (Два последних покятпя, очевпдко, откосятся к графике.) Ыы дадим основные определения, которые используются при получении некоторых результатов.
Этого достаточно для того, чтобы проиллюстрировать доказательства большинства теорем. 5.1. Последовагельиостп. Вещественной лоследоеательностью яазызается отобра;кение !«! иа К, Последователькость записывают в виде (а„), Если прп во»растаяли и члены а„стаиовятся «близкими» к некоторому фнксироваккому значению а ш К, то говорят, что последователькость (а„) имеет предел а илп что а. стремится к а при стремлении и к бесконечности. Дадим строгов определение сказаикому. Определение.
Если (а.) — вещественная последовательиость и для любого з ) О существует Х,»иХ такое, что !у ~ Ф, « !ак — а! ( е, то говорят, что (а ) имеет предел а, и записывают зто как 1!ш а„ = а или и се а. а при и- ь. (Здесь !х! обозиачает модуль числа х«а К,) Если (а„) имеет предел, то говорят, что последователькость сходится. Если последовательность ие имеет предела, то говорят, что ока расходится. Пример 5.1. 1. Последовательность (а„), где а„1/и, имеет предел О; для е > О можно выбрать /«', — любое ватуральиое число, большее 1/в.
Тогда !'«') У, ь !ак — О! 1/У ( 1/М, ( з; следовательно, Пш — =О, ! ь „п 2. Последовательность (а„), где а„( — 1)", расходящаяся. Предложение. Если (г„) и (1„) — лоследоеательности и Х»и К, тогда (г„+ г„), (г„г„) и (Хг„) также являются иоследоеательностями и если 11ш г„г и Иш 1„ т -«в ь-+« Ф, шо; а) 11га(г„+ г„) г+ 8! б) !!ш (гель) = гг! в) 1пп ().г„) — ).г; »» г) если С -т-- О, го з„/С„- г01 при иДока аательс тв о. Пусть е ) О. Тогда существует С», »и Х такое, что !㻠— г! ( е/2 п !С» — С', С е,'2 прп Х ) Х,. Так как прп Л') У, ! з»+ С» — (г+ С) ! - ! г, — г+ С» — С! ( ( !㻠— з! + !С» — С! < е, то Пш(з»+ С») — г+ С. Аналогично для случая б) !з»С» — гС! !з»С» — г»С+ г»С — гС! 4» ~ !г»С» — г»С! + )з»С — зС!»ь !з»! 1С» — С! + (зч — з! !С! ° Пусть задано е) О.
Тогда существует»', »н Х такое, что для Л ) Ж, справедливы неравенства 1 е !гл — з!( — —, 2! 1~+1' ! Сл — С ! ч-. 2 —,1 ° ! зл ! ( ! г ! + 1. е Следовательно, !зл!)Ск — С!+ (зл — з!!С!~((!з!+ 1)!Сл С!+ 1 1 е 1 1 + !зч — з(!С!( — е+ — !С!( — е+ — е е, 2 2 !щ —,1 2 2 откуда получаем (г„С»)- зС. Доказательство случаев в), г) предложения оставляем в качестве упражнения. р О п р е д е л е н п е. Пусть (а») — последовательность » в К. Последовательность з„=,,' а; определяет ряд ~а„.
ч»» з=! Прн атом г. называют и-й частичной сумгчой ряда. Если последовательность (г„) сходится, то говорят, что ряд сходящийся, и число 11ш з„ называют гульной ряда. Оно »»»» обозначается 5.2. Непрерывность. Понятие непрерывности почти полностью нгнорнруется прн изучении алементарных вы- числений. В неформальной математике это понятие счи- 93 тается очевидным. Однако при начальном изучении математики достаточно трудно найти нужный путь. На самом деле определение непрерывности базируется на понятии предела. В этом параграфе через 1 будем обозначать интервал действительной осп й. Если 1: 1- Б н 1(х) становится «неограниченно близ»им» к некоторому числу Ь прн х, «приближающемся» к а«и 1, то говорят, что предел 1(х) прн х, стремящемся к а, есть Ь. Дадим строгое определение этого понятия. Определение.
Функция 1: 1 И имеет предел Ь в точке а, если для любого е ) О существует б, ) О такое, что О< !х — а! <б.- !1(х) — Ы се. В этом случае будем писать Иш1(х) = Ь «-н~ или 1(х)- Ь при х- а. У Заметим, что в определение не втодит значение 1(х) в точке а. Пример 5.2. 1. Ишх = а; достаточно выбрать бо е, 2.
11ш хо 4, поскольку !х — 2! <б, «*с — б, <х — 2 < <б, 4 — б,<х+2с4+б, Следовательно, (хо- 4! ° !х+ 2! !х — 2! с б, !х+ 2! < б,(4+ 5.). Если выбрать б. ш(п(1, е/5), то !хз — 4! <55.<е, У Легко показать эквивалентность следующих утвер- ждевнй: Иш1(х) = 6, 1!ш(~(х) — Ь) = О, «« «-еа Иш1(а+ Ь) Ь, Иш(1(а+ Ь) — Ь) = О, л-о Л о Теперь мы готовы к изучению понятия непрерывно- сти для веществевныл функций. Грубо говоря, функция 1: 1- К непрерывна в точке а«а1, если точки, «близ- кие» к а, отображаются в точки, «блпзкие» к 1(а), Бо- 94 лее строго зто понятие может быть определеио следующим образом. Определение.
Функция /: 1- В непрерывна в аж/, если )!ш/(х) /(а). Говорят, что /(х) неирерыене, если опа кепрерывва в каждой точке своей области определения. У Иа определевия видно, что в дакком случае требуется, чтобы /(х) была определена при х а. Такое определение иепрерыввости соответствует интуитивному представлению. Поясним его ва рисунках.
На рис. 3.9, а даи график непрерывной функции /~.' ( — 2, 2)- В, / (х) !х!. На рпс. 3.9, б представлен график функции /в. "(О, 4) - В, где )х при О~х(2, (х+ 1 при 2(х(4. Фувкция /в непрерывка в каждой точке (О, 4), за исялючениевв точки х 2, так как не существует интервала вида 2 — 6 < х < 2+ б, для которого !/з(х)- /з(2) ! ( $. г 7! Рвс, йй В ааключение етого раздела сформулируем без докавательства несколько утверждений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
