Кук Д., Бейз Г. - Компьютерная математика (1048841), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Их доказательство можно найти в большинстве книг по математичесвому анализу. Если /(х)- / и л(х) ° ж при х- а, то (/+ л) (х) /(х)+ я(х)- в+ и, (/з)(х) /( )з( ) (//б)(х)- /(х)/й(х)- 1/лв прп условии ив чь О, (Ч) (х) - Ч(х)- И для все* Х аа В. Пример 5.3. Функция г'(х)=1х~ не диффереяцпрусма в точке х = О, так как т 1о ь ы г(о1 ~ ц л е где )л1 )'+ 1, если Ь)О, л ( — 1, если Ь< О. Следовательно, в любоог интервале ) — Ь, Ь[, где Ь пропзвольнов, функции ~Ь~/Ь принимает оба значения 1, и позтому предел при Ь - О по существует.
у П р и м е р 5.4. 1. Пусть /: К К вЂ” постояппая функция, т, е, 1(х) с для всех х оп В. Тогда 11х-ЬЫ вЂ” 1(х) ' — о О л л и 1пп О = О. Таким образом, 1'(х)= О для всат хон В. Обо о ратно, если У'(х) = О для всех х ю Р, тогда У вЂ” постоянная. 2. Пусть 1(х)'= хт для всех х ~и К. Тогда ГЬтЫ вЂ” 11Ы <о+Л) — о о +2га-'-Л вЂ” о Ь л л 2х+ Ь~ 11ш(2х+ й) =-11оо йх+ 11щ Ь = 2х. л о лоло Следовательно, 1'(х)'= 2х для всех х ю К.
У Предлояоеи не. Ясли 1 дкффереябируава в х и Х ю К, го Ц диуооферекбиуувгча в х и (Л() '(х) = й('(х). Д о к а з а т е л ь с т в о. И1х+Ы вЂ” а~Ю ... Г~о ' Ы вЂ” 1(Ы Р.)) (х)- 11щло а ло ! Ц'(х). у Следующие результаты оказываются полезными при дифференцировании функций, которые определены через другие функции. Предлоги е пи о. Если ) и д дкЯ>ерсябпруемог в х, то а) т'+ д дпЯэерслбируе.та в х и Ц+ у) '(х) = У'(х)+ у'(х); 7 и Кто, Г, Боло б) /в дифференцируема в х и (/у)'(х) =(/ й) (х)+(/й') ( ); в) //с дифференцируежа в х при й(х)Ф 0 и (/ ),( ) 1/е100 — </вЭ(.1 ве(х) Доказательство оставляем в качестве упражнения.
Эти формулы могут использоваться при доказатель- стве иекоторыл, возможно, анакомыл простыл резуль- татов. П р и и е р 5.5. 1. Пусть /: К вЂ” К, где /(х) = 1/х. Тогда /'(х) — 1/х' и йй~ — — Я)р = К",(0). 2. Пусть /: К- К задано формулой /(х)=х" (нжХ). Тогда /'(х)= пх"-'.
р П р е д л о ж е н и е (правило дифференцирования слож- ной функции). Если / дифференцируела е х и Л диффе- ренцируема в у /(х), то в ° / дифференцируежа в х и (в ~ /) '(х) =(в(/(х) ) ) ' й'(у)/'(х), Доказательство. Пусть и в(у) = д(/(х) ) в(г /) . бм . бебе -д /(х). Тогда — =11ш — = Иш — — (при условии вх бх бу бх бр~О) = Пш — 11ш — (см. п.
51). Однако / дпфференбм. бу е~-обе ы обе цируема в точке х, и поэтому бе е'/, 1пп— ы обе аналогично бм ве 1пп —. ее- об" Поэтому — — — и (д /)'= д (у)/'(х). // Производную от / записывают в виде /' плп с('Яхз и называют второй производной функции /.
Аналогично производная от и" '//с(х" ' (н > 3) записывается как /оо или о"//г/х" и называется и-й производной функции Если /' существует и непрерывна, то говорят, что / принадлежпт классу С', /'принадлежит классу С", если /оо существует и непрерывна, и классу С", если /оо существует длн всех п ж М, 98 5.4. Интегрирование.
Пусть г: [а, Ь) - В, пана, 'Ь (Ь вЂ” а)1п н х, а+ай прн 0<й(п. гогда можно определить последовательность (г„(1) ): а — 1 (га(/)) — Х йхь) Ь. ь=ь Еслп (г.(()) имеет предел, то будем говорить, что 1 нптегрпруеиа па [а, Ь), и обозначать Нш..(,) 1((х),х п.ааа а что эаштрвтованпан площадь будет хорошо аппроксимировать площадь под графиком между х = а п х Ь и ограняченпым аначенпем (еслп опо существует) этой площадп. Если У обозначает мно- ,/ и ь х Рпс. ЗЛО жество всех вещественных Функций на [а, Ь), то иптегрпрование моя'ет рассматриваться как функция бт — В, область определения которой есть ! ь ! ~ 1!(а~* уа у ).
а Некоторые важные свойства ннтеграла приводятся ниже. П р е д л о ж е н п е. а) Если 1 непрерывна на [а, Ь), то она интегрируема на этом отрезке; б) если 1' иптегрируема на [а, Ь) и х ш [а, Ь), тогда 1' интегрируелш на [а,х) и [х, Ь[ и ь а ь ) 1(х) Нх ) 1(х) г(х + ) 1(х) Их; ь Велпчипу ) 1(х) сгх называют интегралом римана функ- а цпн 1(х) на [а, Ь). Заштрихованная плоп|адь на рпс.
3.10 является графическим представлением гь(~) для непрерывной функция 1 на [а, Ь). Для пеогранпчепно больших аначений и интуитивно можно ожидать, 99 в) если 1 интегрируема на [а, Ь) и Хш К, тогда а1 интегрируема на [а, Ь) и г) если 1 и у интегрируемы на [а, Ь1, то 1+ у интегрируема на [а, Ь) и ~(1+ у)(х) сЬ = ) 1(х)дх+ ) у(х) Ых. Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае а) формальное докавательство давать но будем.
Заметим, однако, что для непрерывной Функции 1 интуитивно ясно, что площадь под графиком 1 является хорошо определенным понятием, и, следовательно, мо>кно ожидать, что интеграл от 1 существует. Доказательства б)-г) следуют пз соответствузощнх свойств последовательностей. Рассмотрим, например, случай г). Если 1 и у интегрпруемы па [а, Ь[, то последоватольпостп е -1 ь-т г„(!) ~ 1(х„) й и г„(у) ~ у(х„) Ь ь-о з з имеют предолы. Рассмотрим последовательность г„(1)+ + г„(у). Тогда 11ш (г„(1) + г„(у)) 1нп ге(Д + Иш г„(у). Р' Чтобы вычислить интеграл, редко используют определение и вычисляют предел. Следующая теорема является основнои. (Она устанавливает тот факт, что интегрирование и дифференцирование — взаимно обратные процессы.) Теорема. Пусть 1: [а, Ь[- К непрерывна. Определим 4ункцию Г: [а, Ь) - К 4ормулои Тогда Р ди44еренцируема на [а, Ь[ и Р' *1.
Доказательство. Будем лишь фиксировать основные моменты доказательства. Использун результаты г00 предыдущего предлоксепия, имеем с+а с ) 1 (х) с(х — ) Дх) с(х Р(с+ л) — )с(с) с ьсл с ) 1(. ) с(х + ) С (х) с(х — ) с (х) Сх а с а à — л ) /(х)ссх, с Рассмотрим с+а 11пс — ) Ях) (х. Г „.,л.) Из определения интеграла и его интерпретации как плос+л щади ясно, что длн малых Л интеграл ) 1(х)дх стремится к 1(с) Й и с+л 1пп — ) 1(х)с(х=)((), Г с, Ол с Следовательно, Р'Я=!(() для всех (си [а, Ь). Х Пусть Ф вЂ” произвольная функция, для которой Ф' ). Тогда Р— Ф является постоянной, так как Р'(с) с(с) Ф'(с), Следовательно, (Р— Ф)'(() ° О для всех (си(а, Ь), и из и.
5.3 ааключаем, что Р- Ф Х, Х сн В, Таким образом, Ф (с) ) 1(х)с(х + Х, О Функцию Ф называсот неопределенным интегралом от с и обозначают ) 1(с)с(с. Неопределенный интеграл определен с точностью до постоянного слагаемого. Он определяет класс аквивалентностн функций (Ф): Фс Фс тогда и только тогда, когда Фс и Фс — неопределенные интегралы от 1. 10$ Предлонсение. Если Ф вЂ” неопределенный интеграл от /, то ь ~ /(х) ссх = Ф(Ь) — Ф(а). Доказательство.
Ф(Ь) — Ф(а) (Г(Ь) + Х) — (Г(а) + Х) Г(Ь) — Г(а) ь а ь ) /(х)с)х — ) /(х)с(х ) /(х)с/х. // Как и при исследовании дифференцирования, зтп результаты могут быть использованы для вызволении интегралов, некоторые примеры которых даны ниже. П р и м е р 5.6. с 1. Если Р(1) = ) хосх, то Р'(1) = 1, и пеопределенпыо ь интегралы от функции /: х х есть Ф(1) 11/2+ Х, Х си В. Таким образом, Г(1) Ф(1) — Ф(0) = 1з/2. 2.
В более обсцем случае, если/:х х"длнпсн2Ч-1) с и Р(1) ) х ссх, то Р'(1) 1", и неопределенный иптега рал есть си+с Ф(1) — + р, р ея В. в+1 Тогда Сп+1 зь+с Г (1) Ф (1) — Ф (а) в+1 и+1' Очевидно, что вто соотношение неверно при и — 1. Этот случай будет рассмотрен в п. 5,5, 5.5. Некоторые специальные фупссции.
Мы предпо- лагаем, что читатель знаком с геометрическими опреде- лениями функций в)пх и совх, пз которых следует, что в)п: В- 1-1, 1), сов: В- (-1, 1), где 5() ° са ~ сз)с~с ~® Вс 22>сь "" 52сюс [ 1с 11* 102 Мы также предполагаем знакомство с перподичесиими свойствами этих фуннцнп. Некоторые другие злементар ные свойства приведены в следующем предложении. П р е д л о ж е н и е. Для всех х, у и К имеелп а) з1п(х+ у)- ип(х)сов(у)+ соз(х)ип(у); б) ип (х — у) — з1п (х) сов (у) — сов (х) в1п (у); в) соз(х+ у) = сов(х) соз(у) — ип(х) з1п(у); г) соз (х — у) = соз (х) соз (у) + з! и (х) ип (у); д) э(пел+сов'х = 1; е) „— (з(п(х)) = соз(х),— (соз(х)) = — з(п(х).
р Эти ревультаты непосредственно следуют из определений. Их доказательство оставляем читателю в качестве упражнения. Мы не будем касаться обоснования этих понятий (можно принять их в качестве допущений). В п. 5.4 был определен ) х" дх при л чь — 1. В дейстГ~ вительности пнтеграл ] — дх существует для всех 1 > 0 1 и равен 1п г. Функцпя 1и является отображением ]О, »( - В н обладает свойством 1п(ху) 1пх+1п у для всех х, у ж ]О, ао1, так нак ч 4 И вЂ” 1п (ху) = — = — = — 1п х. ел еу з Нх Из результатов п. 5.4 имеем 1п(ху) — 1п х = Х, где х и и]0, [ п ХжВ, В частности, при х=1 имеем 1пу— — 1п1 Х н 1п1=0; поэтому 1пу=Х.
Следовательно, 1п(ху) 1пх+1пу. Можно показать, что 1п бпективна и, следовательно, существует функция ехр: В- ]О, такая, что 1п(ехрр) =р для всех р~а В и ехр(1п д) д для всех у ~и ]О, а (. Из свойств фупнцпп 1п следует, что ерх(х+ у) ехрхехру для всех х,у~В, ехрО = 1, е — ехр х = ехрх. е'е Удобно обозначить 1пх через 1ой, х, а ехр х через е*. 103 Функцию 1оя, х называют натуральным логарифмом числа х, в функцию х е" — гнсноненциальной функцией.
Если при а ° 0 функция /: )-а, а[- Н принадлежит С и хж) — а, а(, то ряд ;1; /" (о) — *„ ь-г называют рядом Маклорена для / в точке х. Для некоторых функций можно показать, что ряд Маклорена сходится к аначепию функцпи / в точке х. Другими словами, для /имеем /(х) = 1пп,)~ /!"! (0) —.
з ю В частности, зто справедливо для функций з)ах, созх, е, для которых (Ю гзз+! гз гз гт з1п (х) ~к~~ ( — 1) (2з+ 1)! 3! 3! 7! =х — — + — — — +. у з ггз соз(х) = т ( — 1) — =1 — — + — ' — — + ...° (2Ь) ! 2! 4! 6! 4Ю чгч з з з ехр(х) = 7, — 1+ х+ — + — + ... ="ы 2! 3! для всех хж В. У п р а ж н е н в е 3.5. 1. Показать, что последовательности, определенные ниже, сходятся, и найти пх пределы: а) г„1/нг; б) г„Зн/(и + 3) ! в) г„-1+1/2" 2. Пусть (г,) и (!.)- последовательности, 1!го г з и и и )1„1(!г„! для всех н~нХ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
