09-1 Глава 5 Случайные сигналы (1044901), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Используя формулу (5.9) и учитывая равенства (5.24) и (5.25), получаем:
(5.0)
Для нулевого сдвига =0 справедливо:
Rxx(0)=x2, Ryy(0)=y2, Rxy(0)=Ryx(0).
Следовательно, дисперсия процесса s(t):
Ds = Rs(0)=Dx+Dy+Rxy(0)+Ryx(0)
Ds = Dx+Dy+2Rxy(0)
Если процессы x(t) и y(t) статистически независимы, то дисперсия (средняя мощность) суммы будет: Ds = Dx+Dy.
В противном случае, в зависимости от знака Rxy(0) мощность процесса s(t) может быть больше или меньше суммы дисперсий исходных слагаемых Dx и Dy.
Применим теперь к Rs() теорему Винера-Хинчина:
(5.0)
В этом выражении:
(5.0)
имеют смысл взаимных спектральных плотностей случайных процессов x(t) и y(t).
В отличии от спектральных плотностей мощности Px() и Py(), которые являются действительными положительными функциями , взаимные спектральные плотности Pxy() и Pyx() могут быть комплексными функциями. Это связано с тем, что взаимные корреляционные функции Rxy() и Ryx() не обязательно четные относительно . Подстановка в (5.32) соотношения (5.28) приводит к равенству:
Pxy() = P*yx() (5.0)
откуда следует, что:
Pxy()+Pyx()=2Re[Pxy()]=2Re[Pxy()]
Это выражение поясняет физический смысл взаимной спектральной плотности Pxy():
- если случайные процессы x(t) и y(t) статистически независимы, то Pxy()=0,
и спектр мощности суммы случайных сигналов s(t) = x(t) + y(t) равен сумме спектров мощности отдельных сигналов Px() и Py();
- если действительная часть взаимной спектральной плотности положительна, то Ps()>Px()+Py() и следовательно, корреляция между процессами приводит к возрастанию средней мощности суммарного процесса.
Очевидно, что при отрицательной действительной части Pxy() средняя мощность суммарного процесса меньше чем Dx+Dy. Если Ds=Dx+Dy, то процессы x(t) и y(t) являются независимыми, аддитивными.
В практике часто встречается случай суммирования процесса x(t) с процессом K·x(t-T), то есть с тем же процессом, задержанным на время T и усиленным в K раз.
Рис. 5.16.
Составим матрицу (5.29) для процессов x(t) и Kx(t-T):
Таким образом, корреляционная матрица имеет вид:
Теперь определим корреляционную функцию суммарного процесса, для чего подставим в (5.30) элементы матрицы R():
Дисперсию случайного процесса находим, приравнивая =0:
Ds = Dx+KRx(-T)+KRx(T)+K2Dx =
= (1+ K2)Dx+2KRx(T) =
= Dx[1+ K2+2K·rx(T)]
Здесь использована нормированная корреляционная функция процесса x(t):
rx(T) = Rx(T)/ Dx
Если задержка T значительно больше интервала корреляции процесса x(t), то:
rx(T)0
и Ds = Dx(1+ K2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
