08-1 Частотные характеристики ЦФ (1044900), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

H()=cos(T/2)

Используя четыре соседние точки, получим формулу, которая удовлетворяет всем кубическим уравнениям:

u(nT)=[-u[(n-³/₂)T] + 9u[(n-¹/₂)T] + 9u[(n+¹/₂)T] -

- u(n+³/₂)T]/16

или в символическом виде: 1/16 {-1; 9; 9; -1}

Формула приводит к передаточной функции

H()=[9cos(T/2)-cos(3T/2)]/8

Рис. 4.4. Передаточные функции среднеточечной интерполяции данных полиномом 1-го порядка (1); 3-го порядка (2)

Для полиномов пятого (шесть точек) и седьмого (восемь точек) получаются алгоритмы интерполяции, указанные коэффициентами цифрового фильтра в символическом виде:

1/256 {3, -25, 150, 150, -25, 3}

1/2048 {-5, 49, -245, 1225, 1225, -245, 49, -5}

Обратим внимание на то, что коэффициенты фильтров являются симметричными, поэтому передаточные функции выражаются через действительные косинусы.

Можно показать, что чем выше порядок многочлена, тем выше степень касания в точке максимума передаточной функции и тем ближе он к характеристике широкополосного фильтра.

Все эти фильтры относятся к нерекурсивным линейным гладким (не осциллирующим, монотонным в полосе пропускания) фильтрам. В дальнейшем мы рассмотрим другой способ интерполяции.

1. Синтез цифровых нерекурсивных фильтров методом разложения передаточной функции в ряд Фурье

Для изучения темы нам потребуются известные результаты, которые приведены ниже в краткой форме.

Было показано, что любую функцию s(x) можно представить в виде суммы четной и нечетной функций, что позволит обобщить результаты выводов на произвольные передаточные функции:

s(x)= ¹/₂ [s(x)+s(-x)] + ¹/₂ [s(x)-s(-x)] (C.1)

Конечно, потребуется формула Эйлера и свойства преобразования Фурье для симметричных функций:

- преобразование Фурье для четной вещественной функции выражается действительным изображением (имеются ввиду или коэффициенты комплексного ряда Фурье для периодических, или спектральная плотность для непериодических функций);

- преобразование Фурье для любой нечетной вещественной функции является чисто мнимым, при этом всегда С₀=0, т.е. среднее равно нулю;

- несимметричный оригинал имеет комплексное изображение (для обобщения см.(С.1)).

В полной мере потребуются теоремы о спектрах, особенно теорема о запаздывании, теорема о произведении сигналов (теорема о свертке), теорема о линейности преобразования Фурье, а также стробирующее свойство -функции.

Понадобятся ранее найденные спектры для постоянного, прямоугольного, треугольного, косинусоидального и гауссовского сигналов (далее амплитуда А=1):

1  2 ()

П(t,_и)  _и sinc(_и/2)

( t,_и)  (_и/2) [sinc(_и/4)]²

cos(_ot)  (-_o) + (+_o)

sin(_ot)  -j [(-_o) + (+_o)]

__

exp(-t²/2a²)  a2 exp(-²a²/2)

В качестве наглядного примера рассмотрим, чем являются коэффициенты четно-симметричного сглаживающего и нечетно-симметричного дифференцирующего полиноминального нерекурсивного цифрового фильтра по методу наименьших квадратов для полинома второго порядка.

Для сглаживания имеем четно-симметричный набор коэффициентов:

¹/₃₅{-3;12;17;12;-3}

и частотную характеристику:

H₁()= ¹/₃₅ [17 + 24cos(T) - 6cos(2T)]

Для сглаженной производной коэффициенты нечетные: ¹/_10T{-2;-1;0;1;2}, а соответствующая частотная характеристика:

H₂() = ^j/_10T [2sin(T) + 4sin(2T)]

Видно, что коэффициенты разложения периодической частотной характеристики цифрового фильтра непосредственно связаны с коэффициентами цифрового фильтра следующим образом:

H₁() = С₀+2С₁cos(T) + 2С₂cos(2T)

H₂() = j [ 2С₁sin(T) + 2С₂sin(2T)]

Таким образом, вещественная часть коэффициентов С_n комплексного ряда Фурье определяет четные коэффициенты цифрового фильтра, а мнимая часть определяет нечетные коэффициенты цифрового фильтра.

В задачах обработки биомедицинских сигналов наиболее часто возникает потребность удалить сигналы в некоторых частотных диапазонах. Подавляемые сигналы обычно связывают с техническими или биологическими помехами, при этом стремятся выделить полезную, информативную часть спектра исходного сигнала. Поэтому особенно важны методы синтеза полоснопропускающих (полосовых) цифровых фильтров, которые рассмотрим на примерах с прямоугольной, треугольной, косинусоидальной форм целевых передаточных характеристик.

Примем следующие обозначения:

f_d - частота дискретизации, f_d=1/T, Гц;

f_o - арифметич. "центральная" частота;

f - условная ширина полосы, Гц;

n=-N...N - порядковые номера членов ряда Фурье, N определяет качество аппроксимации и число членов.

1. Прямоугольная форма П(f,f)

f_d=100, f_o=20, f=10, N=20.

Возьмем одиночный четный непериодический униполярный прямоугольный импульс единичной амплитуды П(f,f) c длительностью f. Его спектральная плотность по (3.71): S()=f sinc(f/2). Используя теорему запаздывания, определим спектры для П(f-f_o,f) и его четного отражения П(f+f_o,f):

exp(-jf_o) f sinc(f/2)

exp(jf_o) f sinc(f/2)

Применяя формулу Эйлера для суммы импульсов, находим общую спектральную плотность:

П(f-f_o,f) + П(f+f_o,f) 

 2cos(f_o) f sinc(f/2)

т.е. спектр одиночного импульса умножен на 2cos(f_o) при четной симметрии.

Зная период T повторения частотной характеристики, который равен частоте дискретизации f_d и используя связь между спектром одиночного импульса и периодической последовательности импульсов (3.58), определим С_n по известной S():

С_n=( 1/T) S(2n/T)

коэффициенты разложения в ряд Фурье:

Для получения вида передаточной функции (и для проверки) нужно вычислить сумму конечного ряда Фурье:

Если бы мы взяли нечетно - симметричный импульс, т.е. П(f-f_o,f)-П(f+f_o,f), то результат получился бы иным:

т.е. спектр исходного импульса умножен на -2j sin(f_o) для нечетной симметрии, и обратное восстановление усеченной передаточной характеристики выполняется следующим образом:

2. Треугольная форма (f,f)

f_d=100, N=20, f_o=20, f=10

Возьмем одиночный четный непериодический униполярный треугольный импульс единичной амплитуды (f,f) c основанием f. Его спектральная плотность по (3.75):

S()=f/2 sinc²(f/4).

Используя теорему запаздывания, запишем для четной суммы спектральную плотность:

[exp(-jf_o)+ exp(jf_o)] f/2 sinc²(f/4)

Общая спектральная плотность:

(f-f_o)+(f+f_o)  cos(f_o) f sinc²(f/4)

Зная период T частотной характеристики (равный по-прежнему f_d) и используя связь спектральной плотности с коэффициентами ряда Фурье С_n по (3.58), находим С_n и H(f):

Для нечетной симметрии получаем:

(f-f_o)-(f+f_o)  -2j sin(f_o) f sinc²(f/4)

чисто мнимые коэффициенты:

Полученная усечением бесконечного ряда Фурье передаточная характеристика:

Как ранее отмечалось, наблюдается лучшая сходимость ряда Фурье для треугольного сигнала по сравнению с прямоугольным, для которого явление Гиббса выражено наиболее отчетливо.

3. Косинусная форма cos(f,f)

f_d=100, N=20, f₀=20, f=10

может быть представлена как произведение периодической функции, постоянной составляющей и униполярного прямоугольного импульса длительностью f:

¹/₂[1+cos(2f/f)] П(f,f).

Используя спектральные плотности постоянной составляющей и сигнала cos(f) в виде суммы -функций, получим в результате свертки со спектром прямоугольного импульса П(f,f):

После четного размещения импульса в f₀ получим для спектральной плотности:

S_четн() = 2 S() cos(f₀)

Для нечетного размещения импульсов с центрами в f₀, получим для спектральной плотности:

S_неч() = -2j sin(f₀) S()

Переходя к выборочным значениям спектральной плотности для частот =2n/f_d и учитывая множитель 1/f_d, получим искомые коэффициенты разложения C_n в ряд Фурье, по которым определяются коэффициенты цифрового фильтра (odd=нечетный, even=четный):

H_even(f) = H_cos(f-f₀) + H_cos(f+f₀)

H_odd(f) = H_cos(f-f₀) - H_cos(f+f₀)

Все рассмотренные фильтры в системах реального времени задерживают выходные сигналы на N тактов относительно входных. Кроме того, являясь линейно-фазовыми, т.е. обеспечивающими постоянство группового времени запаздывания, нечетные фильтры помимо задержки NT обладают дополнительным фазовым сдвигом /2 для всех частот.

Аналогично рассмотренным способам возможно построение цифровых фильтров других типов - высоких, низких частот, полосноподавляющих (заграждающих).

4. Гауссовская форма Г(f,2f)

f_d=100, N=20, f₀=20, f=10

Гауссовский имульс c центром в f=0, единичной амплитуды и полушириной f, которая определяется по уровню 1/e от амплитуды импульса (0.606), описывается выражением:

Используя спектральную плотность для одиночного (непериодического) гауссовского импульса, получим

После четного размещения импульса в f₀ получим для спектральной плотности:

S_четн() = 2 S() cos(f₀):

После нечетного размещения импульса в f₀ получим для спектральной плотности:

S_четн() = -2j S() sin(f₀) :

Переходя к выборочным значениям спектральной плотности S() для частот =2n/f_d и учитывая множитель 1/f_d, получим искомые коэффициенты разложения C_n в ряд Фурье, по которым определяются коэффициенты четного цифрового фильтра:

Для построения графика частотной характеристики:

Характеристики

Список файлов лекций