01-1 Глава3 Анализ детерменированных сигналов (1044895), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Спектр периодической функции называют линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам 0, ₁, 2₁, 3₁ ... и так далее.

3.4.Спектры простейших периодических сигналов

3.4.1.Прямоугольное колебание - меандр

Рис. 3.1. Меандр с четной симметрией

Рис. 3.2. Меандр с нечетной симметрией

Соответствующим выбором начала отсчета времени меандр можно представить в виде четной (Рис. 3 .1) или нечетной (Рис. 3 .2) функции.

Для нечетной функции применяя формулы Error: Reference source not found и Error: Reference source not found находим при s(t)=e(t):

Учитывая, что T₁=2, получаем:

Начальные фазы _n в соответствии с Error: Reference source not found, равны -2 для всех гармоник.

На Рис. 3 .3 показаны коэффициенты комплексного, а на Рис. 3 .4 тригонометрического ряда Фурье для меандра единичной амплитуды (Е=1).

В тригонометрической форме ряд Фурье:

(3.37)

Рис. 3.3. Комплексный ряд Фурье, E=1

Рис. 3.4. Тригонометрический ряд Фурье, E=1

При отсчете времени от середины импульса, функция является четной относительно t и ряд для нее содержит только косинусные члены:

(3.38)

Для конечной суммы ряда, с увеличением числа суммируемых гармоник, сумма ряда приближается к функции e(t) всюду, кроме точек разрыва функции, где образуются выбросы. При n величина этого выброса равна 1.18Е, то есть сумма ряда отличается от заданной функции на 18%.

Этот дефект сходимости в математике получил название явления Гиббса в честь Дж. Уилларда Гиббса. Открытие этого эффекта не принадлежит Гиббсу, однако он первый «разрекламировал» этот эффект. Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции e(t) в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при n выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в интеграл Error: Reference source not found.

На Рис. 3 .5 представлено формирование меандра суммой 1-ой и 3-ей гармоник, а на
Рис. 3 .6 - сумма 1-ой, 3-ей и 5-ой гармоник.

Рис. 3.5. Сумма 1^ой и 3^ей гармоник

Рис. 3.6. Сумма 1,3 и 5^ой гармоник

Вычисление интеграла:

3.4.2. Периодическое колебание пилообразной формы

Рис. 3.7. Пилообразное колебание

Подобные сигналы наиболее часто используются в устройствах развертки изображения - в осциллографах, мониторах, телевизорах, широтно-импульсных модуляторах, аналого-цифровых преобразователях, и пр.

Получить такое колебание можно заряжая конденсатор источником стабильного тока, завершая период цепью сброса (разряда) на аналоговых ключах. Достаточно просто синтезировать пилообразное колебание при помощи ЦАП и двоичных счетчиков, обеспечивающих линейное нарастание цифрового кода. Иногда близкую форму получают с помощью RC-цепи, используя пологий участок экспоненциального процесса заряда емкости.

Представленная на Рис. 3 .7 функция является нечетной, поэтому ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены.

По формулам Error: Reference source not found...Error: Reference source not found нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская
выкладки, напишем результат:

(3.39)

Заметим, что амплитуды гармоник убывают обратно пропорционально частоте - по закону 1/n, где n=1,2,3,... – целые числа.

Восстановление пилообразного колебания пятью первыми гармониками показано на
Рис. 3 .8.

Рис. 3.8. Восстановление пилообразного колебания 5^-ю гармониками

3.4.3.Последовательность униполярных треугольных импульсов

Рис. 3.9. Треугольное колебание, сумма первых пяти гармоник и ошибка аппроксимации -
на нижнем графике, для наглядности увеличена в 10 раз

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

(3.40)

В нем так же отсутствуют четные гармоники.

Отметим, что амплитуды гармоник убывают более быстро, чем в предыдущих случаях. Это объясняется отсутствием точек разрыва (скачков) функции.

Примечание: Симметричный (середина
импульса при t=0) импульс длительности T_u, амплитуда которого равна 1, обозначают (t,T_u). Такой импульс можно представить в виде свертки двух одинаковых прямоугольных импульсов длительностью Т_и/2:

3.4.4.Последовательность униполярных прямоугольных импульсов

Рис. 3.10. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Найдем постоянную составляющую как среднее значение сигнала за период:

Коэффициент n -той гармоники:

(3.41)

Так как функция e(t) - четная, то b_n=0 и A_n=a_n:

(3.42)

Величину =T/_и называют скважностью импульсной последовательности. При больших значениях  спектр сигнала содержит очень большое число медле­н­но убывающих по амплитуде гармоник.

При этом расстояние между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Это следует из формулы Error: Reference source not found, которую в данном случае удобно представить в измененном виде:

При малых значениях n можно считать что

Постоянная составляющая, равная , вдвое меньше амплитуды первой гармоники.

На Рис. 3 .11 показан спектр импульсной последовательности при Т=1, _и=0.05.

Рис. 3.11. Спектр последовательности

3.4.5.Трехуровневый симметричный периодический импульс

Часто в задачах проектирования приборов медицинского назначения требуется сформировать один или несколько сигналов гармонического вида (напри­мер, в электростимуляторах, реографах, синхронных детекторах, генераторах тональных сигналов в модемной связи и т.п.). Еще более сложной является задача создания нескольких сигналов, находящихся в определенных фазовых соотношениях.

При повышенных требованиях к стабильности частоты, фазы или амплитуды сигналов рационально синтезировать цифровыми методами гармонические или близкие к ним по частотному спектру сигналы. При этом применяют
различ­ные методы разложения (например, кусочно-постоянные функции Уолша).

Синтез колебаний выполняют с помощью цифровых схем или на основе микропроцессорных систем.

Простым, но в тоже время эффективным и наглядным примером является аппроксимация гармонического колебания трехуровневым периодическим импульсом. На Рис. 3 .12 показан пример такого подхода для импульсов с единичными амплитудой и периодом (A=1; T=1).

Один период такого колебания можно представить в следующем виде (Рис. 3 .12):

Рис. 3.12. Трехуровневый импульс

Коэффициенты ряда Фурье для положительных и целых n определяются следующим образом:

Здесь для упрощения в квадратных скобках приведены относительные амплитуды гармоник трехуровневого периодического колебания.

Все синусные коэффициенты b_n в данном случае равны нулю из-за четной симметрии сигнала. Тогда ряд Фурье имеет вид:

Спектр этого колебания (Рис. 3 .13) не
содержит гармоник от основной до пятой, которая относительно основной уменьшена на 14 дБ.

Рис. 3.13. Модуль спектра трехуровневого колебания (по оси абсцисс указаны номера гармоник)

Это существенно ослабляет требования к фильтру, выделяющему основную гармонику и подавляющему гармоники высших порядков, по сравнению с фильтрацией меандра т.к. в спектре трехуровневого колебания отсутствует 3-я гармоника и ряд более высокочастотных гармоник.

3.5.Распределение мощности в спектре периодического сигнала

Пусть сигнал s(t) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т.

Энергия такого сигнала, определенного на бесконечном интервале t-; , бесконечно велика. Определенный интерес представляет средняя мощность периодического сигнала и распределение этой мощности между отдельными гармониками.

Очевидно, что средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно воспользоваться формулой Error: Reference source not found, в которой под коэффициентами С_n следует подразумевать коэффициенты ряда Error: Reference source not found, под интервалом ортогональности [t₁; t₂] - величину периода Т, а под нормой _n - величину . Таким образом, средняя мощность периодического сигнала:

(3.43)

Используя тригонометрическую форму ряда Фурье и учитывая, что

и , получаем:

(3.44)

Если s(t) представляет собой ток i(t), то при прохождении его через сопротивление r выделяется средняя мощность:

где - постоянная составляющая, а I_n=A_n -амплитуда n-й гармоники тока i(t).

Полная средняя мощность равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей I₀ и гармониками с амплитудами I₁, I₂ ,...

Это значит, что средняя мощность не зависит от фаз отдельных гармоник, что вытекает из ортогональности спектральных составляющих, в данном случае - на интервале Т.

3.6.Аппаратная реализация ортогонального разложения сигналов

Рассмотрим структурную схему для экспериментального определения коэффициентов разложения аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье по заданной системе ортогональных базисных функций.

Характеристики

Список файлов лекций