01-1 Глава3 Анализ детерменированных сигналов (1044895), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обобщенный ряд Фурье обладает важным свойством:

- при заданной системе функций {_n(x)} и конечном числе N членов суммы ряда Error: Reference source not found он обеспечивает наилучшую аппроксимацию (в смысле минимума средне­квадратической ошибки) заданной функции f(x).

Это значит, что среднеквадратическая ошибка достигает минимума, когда коэффициенты ряда Error: Reference source not found вычислены по формуле Error: Reference source not found, то есть явля­ются коэффициентами ряда Фурье.

Среднеквадратическая ошибка имеет
следующий вид:

(3.9)

Действительно, подставляя d_n = с_n + e_n и
использовав равенства Error: Reference source not found и Error: Reference source not found, получим:

Отсюда следует, что ошибка М достигает
минимума при e_n = 0, то есть при d_n = с_n. Тогда ошибка для конечного числа членов ряда Error: Reference source not found принимает вид:

(3.10)

Замечая, что первая часть разности Error: Reference source not found есть квадрат нормы функции f(x), а min(М) неотрицателен, на основании равенства Error: Reference source not found можно записать:

(3.11)

Это основное неравенство, называемое
неравенством Бесселя, справедливо для любой ортогональной системы и является весьма эффективным при оценке приближения по мере постепенного увеличе­ния числа членов ряда Фурье.

Ортогональная система называется полной, если увеличением числа членов в ряде среднеквадратическую ошибку М можно
сделать сколь угодно малой.

Условие полноты системы можно выразить следующим образом:

(3.12)

При выполнении Error: Reference source not found считают, что ряд Error: Reference source not found сходится в среднем, то есть:

(3.13)

Из этого, однако, еще не следует, что сходится к f(x) при любых значениях x, то есть что:

В отдельных точ­ках на оси Х ряд Error: Reference source not found может отличаться от f(x), хотя равенство Error: Reference source not found имеет место (когда f(x) терпит разрыв 1^го рода в конечном числе точек х_0n). В част­ности­, если функция f(x) имеет разрывы так, что в некоторой точке x₀:

f(x₀ - 0)  f(x₀ + 0),

то тогда ряд Фурье в этой точке сходится к среднеарифметическому значению:

½[f(x₀ - 0) + f(x₀ + 0)].

Равенство нулю среднеквадратической погрешности разложения при этом возможно лишь потому, что мы имеем конеч­ную погрешность, но на бесконечно малом промежутке изменения аргумента.

Для системы функций {_n(x)}, принимающих комплексные значения, приведенные выше условия и определения обобщаются следующим образом:

- условие ортогональности:

(3.14)

- квадрат нормы функции:

(3.15)

- коэффициенты Фурье:

(3.16)

Здесь ^*(x) - функция, комплексно сопря­женная c (x).

Наиболее часто приходится обрабатывать сигналы, представляющие собой функции времени t, поэтому для таких сигналов s(t) выражение Error: Reference source not found будем записывать в виде:

(3.17)

Понятно, что этот ряд справедлив для функций аргумента, имеющего любую природу. В новых обозначениях квадрат нормы функции s(t) по аналогии с (3.4) будет иметь вид:

(3.18)

где Э- энергия сигнала s(t) на интервале [t₁, t₂].

(интеграл от мгновенной мощности p(t) на интервале [t₁, t₂]). Или, в соответствии с Error: Reference source not found, энергия сигнала

(3.19)

При использовании ортонормированной
системы функций {_n(t)}:

(3.20)

При этом имеется в виду, что промежуток времени (t₂-t₁), в котором определяется энергия Э, является интервалом ортогональности для системы функций {_n(t)}.

Очевидно, что средняя за время (t₂-t₁) мощность сигнала

(3.21)

Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. Среди задач, требующих разложения сигнала, наиболее важными представляются:

1. Точное разложение на простейшие ортогональные функции;

2. Аппроксимация сигналов, процессов или характеристик по возможности минимальным числом членов ряда (при задан­ной допустимой погрешности).

При первой постановке задачи среди всех возможных видов базовых функций, несомненно, самыми распространенными являются гармонические. Это объясняется тем, что только гармонические (синусои­да­ль­ные) сигналы являются единственными функциями времени, сохраняющими свою форму при прохождении через любую линейную цепь (с постоянными параметрами): может измениться амплитуда и/или фаза, но форма и частота синусоидального сигнала не изменяются. Таким образом, гармонические функции являются собственными функциями для линейных преобразований. Кроме того, такое разложение позволяет использовать символический метод анализа передачи гармонического колебания через линейную цепь.

При второй постановке задачи - приближенном разложении функций - применяются разнообразные ортогональные системы функций: полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра, кусочно-постоянные функции Уолша, Хаара и многие другие.

3.3.Гармонический анализ периодических сигналов

При разложении периодического сигнала s(t) в ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут гармонические функции вида :

1, cos ₁t, sin ₁t, cos 2₁t, sin 2₁t,...

..., cos n₁t, sin n₁t,... (3.22)

или: ... , , 1 , , ... (3.23)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом T = 2/₁ функции s(t).

Система функций Error: Reference source not found приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система Error: Reference source not found - к комплексной форме. Между этими формами существует простая связь.

Воспользуемся системой комплексных гармоник Error: Reference source not found, тогда ряд Фурье будет иметь вид:

(3.24)

Совокупность коэффициентов C_n ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала, а целью гармонического анализа как раз является нахождение коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты ряда Error: Reference source not found легко определяются с помощью ранее встречавшихся формул - из формулы Error: Reference source not found следует, что квадрат нормы равен:

(3.25)

Таким образом, независимо от n, норма базисной функции .

Используя формулу для коэффициентов ряда Фурье Error: Reference source not found получим:

(3.26)

В Error: Reference source not found и Error: Reference source not found учтено, что для e^jn1t комплексно-сопряженной является функция e^-jn1t.

Коэффициенты C_n в общем случае являются комплексными величинами. Воспользуемся формулой Эйлера e^jx = cos x  j sin x,

, получим:

(3.27)

Отсюда косинусная - действительная часть коэффициента C_n:

(3.28)

а мнимая - синусная часть:

(3.29)

Коэффициенты С_n часто бывает удобно записывать в форме:

,

где (3.30)

(3.31)

Модуль C_n является четной функцией относительно n, а аргумент _n - нечетной (это следует из Error: Reference source not found и Error: Reference source not found). Используя модуль и аргумент, ряд Error: Reference source not found может быть записан:

(3.32)

Отсюда нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда Error: Reference source not found пару слагаемых, соответствующих n (например, n=2) и учитывая что _-2=-₂,
а C_-2=C₂, получим для суммы:

(3.33)

Окончательно ряд Error: Reference source not found в тригонометрической форме записывается:

(3.34)

Смысл удвоения коэффициентов Фурье C_n в тригонометрическом ряде при n1 становится ясным, если представить себе сумму двух векторов равной длины и с противоположными аргументами (векто­ры вращаются с одинаковой скоростью n₁, но в разные стороны для положительных и отрицательных частот), и вычислить проекцию этой суммы на ось абсцисс.

После перехода к тригонометрической форме понятие "отрицательных частот" теряет смысл.

Нередко встречается другая форма записи:

(3.35)

где

Сравнивая Error: Reference source not found и Error: Reference source not found между собой, можно увидеть, что амплитуда n-й гармони­ки A_n связана с коэффициентом C_n  ряда (3.32):

A_n = 2C_n ; a_n= 2C_{n cos} ; b_n = 2C_{n sin}

Таким образом, для всех положительных n, включая и n=0:

(3.36)

Если сигнал представляет собой четную относительно t функцию, т.е. s(t)= s(-t), то в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как
коэффициенты b_n в соответствии с Error: Reference source not found обращаются в нуль.

Для нечетной относительно t функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты a_n и ряд состоит только из синусоидальных членов. Другими словами, четные функции имеют вещественный спектр, а нечетные - чисто мнимый.

Две характеристики - амплитудная и фазовая, то есть модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частот­ного спектра периодического колебания.

Характеристики

Список файлов лекций