Уидроу, Стирнз - Адаптивная обработка сигналов (1044225), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Будем считать, что каждый из этих фильтров имеет единичный коэффициент передачи на центральной частоте полосы пропускапия приемника атс. Как и на рис. 12.6, для регулирования амплитуды и фазы сигнала на частоте ато адаптивный фильтр должен иметь только синфазный и квадратурный весовые коэффициенты. Предположим, что шумы приемника и, н и в схеме на рис. 13.3,а являются независимыми, в том числе относительно составляющих сигнала, а о,' — мощность каждого из них в полосе про- Рнс, И 3 Схема настроенного устройства подавления боковых лспсстно д нап авлення приема сигнала под углом 8=0' (а) н сс упр тп р а р для опрсделення ДН устройства подавления боковых лепестков лепестков после сгп адан.
тапнн (б) (13. 12) Со 2о~+ С' (13 7) 0 где А = [1+пи~ — 2в~ соя(бво))ы' (!зА5) вн 5!и (бвн) а=1ц ' 1 — он, соо (бонн) ([ЗАО) (13.15) (13.1Ц пускания, Тогда из (13.3) вектор автокорреляционной функции эталонного сигнала [ф„„(п)1 =- [(оя + Со!2) 0[т (13.4) Отметим, что ф,(1) =О, так как является корреляционной функцией сигнала (13.3) и его квадратурной составляющей, а среднее значение их произведения равно нулю. Аналогично этому вектор взаимокорреляционной функции для произвольного угла прихода Оо р ~ фо~ (О) ~ ~[Е [С соя й во С соя(75 + бо) во) 1 ~фа„(1)! [Е[СсояйвоСя1п(й+бо)во)3 — (13.5) На основе э5нх выражсний из (2.!7) находим оптимальный вектор весовых коэффициентов для схемы на рис. !З.з,а: пноо 2,'+ С' я!и 6 во который является общим решением. Пусть для рассматриваемой схемы Оо=О, тогда 65=0, н оптимальный вектор весовых коэффи- циентов В этом случае можно определить отношение сигнал-шум на входе как отношение мощностей входного нлн эталонного сигналов к мощности шума приемника в полосе пропускания: ОСШ д (Со/2)/о~ .
(13.8) Соответственно из (13.7) получаем * ОСШ ! + ОСШ и, =-О. (13.9) Этот результат аналогичен выражению (12.81). Из (13,1) и (13.7) можно найти выражение для выходного сигнала; выходной сигнал= С соя(ов,— ш1Ссояаш = 2оо С соя йво. 2оо+ С Для мощного входного сигнала, т. е. при С'/2о~ )) 1, 338 выходной сигнал можно записать в виде аР выходной сигнал= — 'соя йв . с о.
Из приведенного выше анализа видно, что при слабом, по сравнению с шумом приемника в эталонном канале, входном сигнале отношение сигнал-шум мало, значение весового коэффициента цн,* почти равно нулю, выходной сигнал приближенно сов. падает с входным, т. е, сигнал почти не подавляется. Однако при мощном, по сравнению с шумом приемника, входном сигнале имеем высокое отношение сигнал-шум, близкое к 1 значение весового коэффициента и небольшой уровень выходного сигнала, примерно равный уровню входного сигнала, деленному на отношение сигнал-шум. В этом случае амплитуда выходного сигнала, как следует из (13.!2), обратно пропорциональна амплитуде входного сигнала, и происходит значительное подавление сигнала. Если угол прихода сигнала не равен нулю, то имеет место соотношение (13.5).
Весовой коэффициент оэн не стремит~я к нулю, а ш, принимает другое значение, однако амплитуда выходного сигнала определяется аналогично выражением (13.10). Кроме того, представляет интерес определение чувствительности приемной системы на рнс, !З,з,а для всех углов при Он=О. Пусть после адаптации к сигналу, прнходягцсму под пулевым углом, весовые коэффициенты имеют значения, соответствующие (!3.9). На рис. !з.з,б приведена упрощенная схема, удобная для определения зависимости чувствительности от угла прихода, Подобную зависимость для решетки после адаптации обычно называют диаграммой направленности (ДН).
Положим, что контрольный сигнал на частоте во приходит под углом О. Пусть, как и в (132), 6= (1я[пО)7сТ, а соответствующая составляющая контрольного сигнала на входном элементе равна сояФ во при С=!, ~огда в соответствии с рис. 13.3„б составляющая на эталонном элементе равна соя [(75 + 6) во[; (!злз) выходной сш пал= соя (ово — ш~ соя(й+ 6) во = = А соя (йово — со), (13.
14) Пусть по определению коэффициент передачи решетки по ампли- туде есть отношение амплитуд выходного и входного сигналов. 332 П оскольку амплитуда контрольного .,додного сигнала созкгоо равна единице, коэффициент передачи решетки по амплитуде = амплитуда выходного сигнала А в (13.14).
(13,17) амплитуда входного сигнала Пусть, кроме того, по определению коэффициент передачи решетки по мощности равен квадрату упомянутого выше коэффициента, т, е. коэффициент передачи решетки по мощности л (' амплитуда выходного сигнала 1а 1 аэ 2, ° ) — А'.=! + па',~ — 2ыа," соз (бот ). (13.18) В соответствии с (7.20) значение этого коэффициента в децибелах 10 !йао А' = 201ойдз А. (13.19) Пусть теперь по определению фаза выходного сигнала решетки есть разность фаз выходного и входного сигналов, тогда из (13.14) имеем фаза выходного сигнала решетки д сс в (13.!6), (13.20) Для рассмотрения (13.18) и (! 3.20) напомним, что гэг* — функция отношения сигнал-шум (13.9) и первоначальный входной сигнал, относительно которого проведена адаптация решетки, представляется выражением (13.1) и имеет направление прихода с 0=0, Коэффициент передачи решетки принимает минимальное значение при 0=0, что равносильно пространственной режекции в направлении прихода первоначального сигнала.
Фактически адаптивный процесс стремится к подавлению входного сигнала. При этом чем мощнее сигнал, тем выше уровень режекции. По мере роста отношения сигнал-шум (которое больше единицы) происходит быстрое увеличение уровня адаптивной режекции, и, как это следует из (13.12), коэффициент передачи становится обратно пропорциональным уровню сигнала. На рис.
13.4 построена зависимость коэффициента передачи решетки по мощности от угла 0 в полярных координатах, в пред- положении, что угол прихода первоначального сигнала Во=0. Приведенные кривые построены в соответствии с (13.9) и (13.18) для различных значений отношения сигнал-шум. Для этих кривых апертура решетки 1=спТ(соа —— 'хо(2, Отметим, что это значение 7 в некотором смысле является оптимальным, так как приводит к двум различным областям режекции и максимальному значению в (13.18).
,Полагая 0=0, из (13,18) и (13.9) находим коэффициент передачи решетки по мощности для направления режекции: (коэффициент передачи решетки по мощности )0=0= (1 — ыг',)2= (13.21) (1, ОСШ)а ' На рис. 13,5 приведена зависигмость минимального коэффициента передачи решетки по мощности от отношения сигнал-шум. Фактически, как видно из рис, 13.5, адаптивное устройство подавления боковых лепестков производит оценку мощности. Мощные сигналы подавляются, в то время как слабые сигналы, приходящие по другим направлениям, пропускаются по существу с единичным коэффициентом передачи.
Снова отметим, что «мощный» и «слабый» сигналы определяются относительно уровня шума приемника. Рассматриваемое устройство нормально работает тогда, когда полезные входные сигналы являются слабыми, а помехи — мощными, Однако иногда полезный сигнал может быть достаточно мощным по сравнению с шумом приемника и при этом подавляться. Для того чтобы предотвратить такое подавление, для увеличения шума приемника можно специально прибавить к сигналу эталонного элемента независимый шум. Однако такой метод имеет недостаток, который заключается в том, что увеличивается шум системы в целом и в конечном итоге увеличивается шум в выходном сигнале.
Более эффективным способом адаптации для этого случая является применение упрощенного алгоритма наименьших квадратов, ,ао ;а о * Сигнал аффиииа г радааи мпааноо и аан 10 дп 340 311 Рис. 13.4. Диаграмма направленности (зависимость коэффициента передачи по мощности в децибелах от угла 0) двухэлемснтного устройства подавления боковых лепестков при гиа)г=си. Отношение сиг. пал-шум на входе равно б дБ для внешней кривой, 10 дБ для средней и !00 дБ для пнутренней. Основной сигнал приходит под углом 0=0' Рнс, 13,3. Зависимость коэффициента передачи по мощности двухэлементного устройства подавления боковых лепестков по паправлениго режекции от отношения сигналшум на входе О» г 3 и Ю ,.
и о а й и о 9 о о ы -200 а ЬО юо Виодноа о ома а с ап.гиум, дз Вывод этого алгоритма начнем с самого алгоритма наименьших квадратов, Из (6.3) для данного алгоритма можно записать %д+, =%в+ 2[дед Хд =%а+ 2[дХд(ггд — Хт%д) = = (! — 2РХд Хт) %д -1- 2РХд б[д. (13.22) Полагая, что Хд и %д пекоррелированны, можно найти математическое ожидание от (13.22): Е [%а+1] = (1 — 2[ай) Е [%д] + 2[дР. (13. 23) Математическое ожидание вектора весовых коэффициентов после адаптации для р, соответствующего области устойчивости, ВгпЕ [%д] =%*= ц — ~ Р. (13.
24) д На рис, 13.6,а приведена схема адаптивного фильтра, работающего по алгоритму наименьших квадратов. К входному сигналу хд прибавляется белый шум мощностью а'. Для такого случая (13.23) принимает вид Е [%д+г] = (! — 2р (К+ а' !)) Е [%д] + 2[ар, (13,25) а математическое ожидание вектора ! [гп Е [%д] =- (]! + а' 1) — ' Р. (13.26) д-ьщ Упрощенный алгоритм наименьших квадратов зададим следующим образом: %д+г = у%а+ 2ре Х, (13.27) где параметр у — положительная константа, принимающая значения в интервале 1)у= О.
(13.28) Если Р=О в обычном алгоритме наименьших квадратов (13.22), то вектор весовых коэффициентов остается постоянным в течение неограниченного времени. Однако в упрощенном алгоритме даже если у чуть меньше единицы, при Р=О вектор весовых коэф- Алапт нный фильтр, работающий па алгоритму аименьщих иаалратав (Л! Алаптивиый фильтр, рабащющий по упраще аму алгоритму на а~ туг,, —. Мхг гле и в„, = ум, - грг, х, Рис. 13.6. Схемы эквивалентных адаптивных фильтров, работающих по алгорит- му наименьших квадратов: а — фильтр с гпуион на вхале; д — аквивалеитиый фильтр, работающий но упрощенному алгоритму наимевьшнх каааратав 342 фнциентов постепенно, по закону геометрической прогрессии, стремится к нулю. Чтобы этот алгоритм был работоспособным, он должен находиться в процессе адаптации подобно тому, как акуле для дыхания необходимо находиться в движении.
Влияние параметра у на оптимальное решение можно определить следующим образом, Аналогичное (13.22) уравнение для упрощенного алгоритма наименьших квадратов имеет вид %дчй = у %а+ 2ред Хд = 7 %а + 2[а Ху (б(г, — Хт%а) = = (У! — 2УХдХт)%д 1 2[дХд а(д. (13 29) Здесь также Х„и %д — нскоррелированы. Математическое ожидание для (13.29) Е [%д+г] = (у 1 — 2р!!) Е [%д] + 2ы Р = Р = г ! — 2Р ()(+ — т1)) Е[%д]+ 2ыР, (13 30) Из сравнения (13.30) и (13.25) видно, что для упрощенного алгоритма можно получить такое же оптимальное решение, что и для схемы с шумом на рис, 13.6,а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
