Электронные лекции (1043774), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

АЧХ показывает, что линейный элемент или система изменяет амплитуду гармонического сигнала: амплитуда уменьшается или увеличивается в А раз при изменении частоты.

АЧХ является модулем КЧХ.

А( )=

Зависимость сдвига по фазе выходного сигнала относительно входного от угловой частоты называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ):

ФЧХ показывает, что линейное звено или система изменяет фазу гармонического сигнала: сдвиг по фазе увеличивается или уменьшается на градусов (или радиан).

ФЧХ является аргументом КЧХ.

=argW( )

Частотные характеристики линейного звена (системы) зависят только от свойств этого звена и не зависят от амплитуды и фазы входных гармонических сигналов.

Частотные характеристики связаны между собой соотношением:

Функция при каждом значении частоты является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в алгебраической форме:

=U( )+jV( )

где U( ) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

V( ) – мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Годограф вектора при изменении частоты от 0 до называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ).

Ее строят на комплексной плоскости. По оси абсцисс откладывают величину U( ), а по оси ординат V( ).

На рисунке 8.2 представлены типовые КЧХ, АЧХ и ФЧХ системы:

Между частотными характеристиками имеются следующие очевидные соотношения:

Частотные характеристики определяются следующими показателями:

- Показатель колебательности , характеризует склонность системы к колебаниям; чем выше М, тем менее качественна система; в реальных системах 1,1 1,5;

- Резонансная частота - частота, при которой АЧХ имеет максимум, на этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление;

18

ω

ω=∞

ω=0

W(ω₁)

φ(ω₁)

V(ω₁)

A(ω₁)

U(ω)

jV(ω)

A(ω)

A_max

A(0)=1

0,707A(0)

ω_р

ω_ср

ω₀

ω

АЧХ

ФЧХ

ω

φ(ω)

Рис. 8.2 Частотные характеристики системы

- Полоса пропускания системы – это интервал от =0 до , при котором выполняется условие:

;

- Частота среза - частота, при которой АЧХ системы принимает значения, равные А(0), т.е. =А(0). (На рисунке 8.2 условно принято, что А(0)=1)

Частота среза косвенно характеризует длительность переходного процесса:

Чем шире полоса пропускания, тем система является более быстродействующей.

§ 8.1. Экспериментальный и аналитический методы получения частотных характеристик

Экспериментальный метод определения частотных характеристик заключается в подаче на вход звена гармонических сигналов различных частот с последующим сравнением их с получаемыми выходными сигналами.

Если на вход системы подается синусоидальный сигнал вида: с амплитудой , то на выходе в установившемся режиме имеет место также синусоидальный сигнал с той же частотой , но уже с другими амплитудой и фазой.

Амплитуда выхода равна , а сигнал имеет сдвиг фазы .

Одна точка АЧХ ( и ) определяется зависимостями:

- сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к входу. Аналогично можно построить все точки АЧХ и ФЧХ (рисунок 8.3).

19

y₀

1

x(t),

y(t)

x₀

T

t_φ0

T_y

x(t)

y₀=A(ω₀)·x₀

t

Рис.8.3 Экспериментальное определение частотных характеристик

Рассмотрим аналитический метод получения частотных характеристик на примере RC-цепи:

Дифференциальное уравнение RC-цепи:

где

Операторное уравнение RC-цепи:

Тогда передаточная функция цепи:

Для получения КЧХ произведём замену :

Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряжённую функцию знаменателя:

Отсюда находим ВЧХ и МЧХ:

;

Фазо-частотная характеристика:

Амплитудно-частотная характеристика:

Рассмотрим получение частотных характеристик по показательной форме записи ( по формуле Эйлера):

20

§9 Типовые звенья линейных систем и их динамические характеристики

Типовым элементарным динамическим звеном называется звено, динамика которого описывается диффернциальным уравнением не выше второго порядка.

Типовые звенья классифицируются в зависимости от вида дифференциального уравнения на позиционные, интегрирующие, дифференцирующие, запаздывания.

Позиционными называются звенья в левой части дифференциального уравнения которых выходная величина и её производные, а в правой – входная величина.

§9.1 Позиционные звенья

1)Усилительное звено:

уравнение звена имеет вид у(t)=kx(t) (1)

передаточная функция звена: W(p)=y(p)/x(p)=k;

переходная функция: h(t)=L^-1{W(p)/p}=L^-1{k/p}=k∙1(t).

Весовая функция представляет собой импульс, площадь которого равна к, т.е. при x(t)=δ(t); y(t)=ω(t)=k∙ δ(t)

Получим частотные характеристики усилительного звена.КЧХ:

W(jω)=k

AЧХ : А(ω)=к ; ФЧХ: φ(ω)=0 на всех частотах.

Рис 9.1 Динамические и частотные характеристики усилительного звена

2) Апериодическое звено I-го порядка

Звено, в котором при скачкообразном изменении входной величины выходная величина апериодически (по экспоненте) стремится к новому установившемуся значению, называется апериодическим (инерционным).

Пример (рис. 9.2):

Рис. 9.2. Примеры инерционных звеньев

Дифференциальное уравнение звена имеет вид:

(1)

где Т – постоянная времени [c],

k – коэффициент передачи.

Операторное уравнение звена:

21

Тогда передаточная функция звена:

.

Переходная функция звена:

Весовая функция звена:

Рис 9.3 Временные характеристики инерционного звена

Постоянная времени Т представляет собой интервал времени, в течение которого выходная величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости её изменения в начальный момент времени после поступления на вход единичного входного сигнала.

Чем >Т тем медленнее переходный процесс. Теоретически, переходный процесс в апериодическом звене длится бесконечно долго.

Под временем переходного процесса понимают промежуток времени, по истечении которого входная величина достигнет 0,95 от установившегося значения.

При t=3T

, т.е .

При t=T

Т можно определить как время, за которое входная величина изменяясь от 0 достигла 0,63 от установившегося значения, при подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия.

Для весовой функции при t=T:

.

Получим частотные характеристики звена.

КЧХ:

- АЧХ

- ФЧХ

22

В §.8. определяли ВЧХ и МЧХ:

;

1. Апериодическое звено 2-го порядка

Дифференциальное уравнение звена имеет вид:

Операторное уравнение:

Разложим левую часть на множители:

, где и Т₄>Т₃

Тогда передаточная функция звена:

(1)

Очевидно, что Т₃, Т₄ могут быть как вещественными, так и комплексными.

При ; , корни будут вещественными, звено апериодическим 2-го порядка.

При <0; Т₁<2Т₂, корни будут комплексными, звено колебательным.

При Т₁=0 корни будут мнимыми, звено консервативным.

Из выражения (1) следует, что апериодическое звено 2-го порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям 1-го порядка, соединённым последовательно.

Переходная функция звена:

23

Рис. 9.6. Временные характеристики апериодического звена 2-го порядка

Получим частотные характеристики:

1. Колебательное звено

Дифференциальное уравнение звена такое же как и у апериодического 2-го порядка:

.

Рис. 9.8. Примеры колебательных звеньев:

а) R,L,C – колебательный контур;б) механическая система ( m – масса;с – коэффициент упругости пружины;λ – коэффициент демфирования).

Характеристическое уравнение звена:

при <0 или Т₁<2Т₂. В этом случае отношение называют постоянной затухания ( коэффициент демпфирования) колебательного звена.

При - колебательное звено; λ≥1 – апериодическое 2-го порядка; при λ=0 – консервативное.

Корни характеристического уравнения:

24

где - коэффициент затухания;

;

ω – частота собственных колебаний звена;

ω_с=1/Т₂ – угловая частота свободных колебаний при отсутствии затухания (λ=0).

Переходная функция колебательного звена:

(2)

Весовая функция:

(3)

Рис. 9.9 Временные характеристики колебательного звена.

Уравнения (2), (3) характеризуют затухание во времени синусоидальных колебаний выходной величины с частотой .Затухание этих колебаний определяется величиной коэффициента затухания α..

Из рисунка 9.9 следует, что чем меньше α, тем больше колебательность переходного процесса.

Колебательность можно оценивать по степени затухания Ψ, равной отношению разности двух соседних положительных амплитуд к большей из них (рис. 9.9):

,

Из рисунка 9.9 => => (4)

Чем ближе к единице Ψ, тем быстрее затухают колебания переходного процесса.

Характеристики

Список файлов лекций