Электронные лекции (1043774), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Путь – ветвь иди последовательность ветвей, связывающих два узла графа.

Контур обратной связи – замкнутый путь, состоящий из ряда ветвей, возвращающихся в исходный узел.

В общем случае ПФ - ия W м/б неизвестной или переменной Х_i и Х_j задается формулой Мэйзона

W_ij= ,

где Р_ijk – передаточная функция к – го пути от х_i к x_j .Определяется последовательным перемножением ПФ всех ветвей данного пути.

- определитель графа; _ijк – адьюнкт к – го пути.

Определитель определяется по следующему правилу:

∆ = 1- (сумма передач всех контуров)+ (сумма передач всех контуров, не касающихся друг друга, перемноженных попарно) – (сумма перемноженных передач из трёх не касающихся друг друга контуров) + ….

Два контура не касаются друг друга, если они не имеют ни одной общей вершины.

Адьюнкт к-го пути определяется по правилу:

=1-(

Пример. Для рассмотренных типовых соединений линейных звеньев сигнальные графы имеют вид (рис 5.1 а, б, в, г.).

Рисунок 5.1 Сигнальные графы для типовых соединений звеньев

Пример. Структурная схема системы имеет вид (рисунок 5.2). Найдем ПФ, пользуясь методом сигнальных графов.

Рисунок 5.2 Пример многоконтурной САУ

11

Рисунок 5.3 Сигнальный граф многоконтурной САУ

На рисунке 5.3 изобразим сигнальный граф системы (рисунок 5.2). Имеется 2 пути от точки входа Х(р) к точке выхода У(р):

P₁=W₁W₂W₃W₄ ; P₂=W₁W₂W₅ .

На приведённой схеме пять контуров:

L₁=-W₄W₆ ; L₂=-W₂W₃W₄W₇; L₃=-W₁W₂W₃W₄W₈; L₄=-W₂W₅W₇; L₅=-W₁W₂W₅W₈ .

Так как все контура касаются как первого так и второго пути, то адьюнкты данных путей равны ∆₁=∆₂=1.

Так как в приведённой схеме отсутствуют контура не касающиеся друг друга, то формула Мэзона для данного примера примет вид:

Окончательно, передаточная функция замкнутой системы:

§ 6. Передаточные функции линейных систем

Рассмотрим линейную систему, находящуюся под влиянием задающего g(t) и возмущающегоf(t) воздействий (рис 6.1).

Рисунок 6.1 Структурная схема САР.

Передаточная функция регулятора:

ПФ объекта по регулирующему воздействию:

ПФ - ия объекта по возмущающему воздействию:

Операторное уравнение динамики объекта:

(1)

С учетом 1 структурная схема (рисунок 6.1) может быть представлена в виде (рис. 6.2).

12

Рисунок 6.2 Упрощённая структурная схема

Если разорвать главную обратную связь и положить F(р)=0, то получим ПФ разомкнутой системы по задающему воздействию:

При этом структурная схема ( рис 6.2) упрощается (рис 6.3).

Рисунок 6.3 Структурная схема САР

Если разорвать главную обратную связь, то при , получим ПФ разомкнутой системы по возмущающему воздействию:

Рассмотрим теперь замкнутую систему (рисунок 6.3).

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию(при F(p)=0):

Ф(p)

Учитывая, что

где N(p)- характеристический полином разомкнутой системы;

D(p)- характеристический полином замкнутой системы.

Рассмотрим возможные ПФ замкнутой системы. На основе схемы (рис. 6.3) составим сигнальный граф, где отобразим параметры системы .

Рисунок 6.4 Сигнальный граф САР

13

При , получим ПФ- замкнутой системы по возмущающему воздействию:

.

По формуле Мэзона имеем:

; ; ; .

.

По полученным ПФ можно записать операторное уравнение относительно регулируемой величины:

.

Если в качестве выходной величины рассматривать сигнал ошибки , а в качестве входной - сигнал задающего воздействия получим передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия.

Из рисунка 6.4 следует:

; ;

.

Найдем связь между и :

.

Учитывая, что возмущение также влияет на отклонение регулируемой величины, а, следовательно, и на сигнал ошибки, то определим ПФ замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия:

.

Из рисунка 6.4:

; ;

.

Таким образом, результирующая ошибка системы имеет две составляющие:

.

§7 Временные характеристики линейных звеньев

В реальных условиях входные сигналы имеют произвольный характер. Для исследования динамических свойств звеньев (систем) следует выбирать такие типовые сигналы, которые по возможности наиболее близко отражали бы наиболее существенные особенности реальных сигналов. Кроме того, для сравнения отдельных элементов и систем между собой их также следует подвергать однотипным воздействиям. К числу наиболее часто применяемых типовых сигналов относятся:

- единичная ступенчатая функция 1(t);

- единичная импульсная функция ;

- гармоническая функция .

Временной характеристикой звена (системы) по какому-либо внешнему воздействию называют закон изменения выходной величины звена при изменении внешнего воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения внешнего воздействия звено находилось в покое (нулевые начальные условия).

1. Реакцию звена на воздействия в виде единичной ступенчатой функции при

14

нулевых начальных условиях называют переходной функцией (рис. 7.1).

Графическое изображение переходной функции называют переходной характеристикой.

x(t)=1(t)

x

t

0

1

h(t)

t

Рисунок 7.1 Переходные характеристики линейных систем

Единичная ступенчатая функция определяется следующими условиями:

.

Согласно определению ПФ изображение выходного сигнала:

.

Учитывая, что ,

,

.

2. Реакция звена на воздействие в виде единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях называется весовой или импульсной переходной функцией (рис 7.2).

Графическое изображение функции называется импульсной переходной характеристикой.

15

x(t)

t

-δ(t)

ω(t)

t

0

Рисунок 7.2 Импульсная переходная характеристика

Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности (рис. 7.2а).

;

Математически дельта - функцию можно представить как производную от единичной ступенчатой функции:

,

отсюда следует

Таким образом, площадь импульса имеет конечную величину, равную единице.

и являются математической абстракцией реально существующих сигналов.

При экспериментальном исследовании систем за -функцию принимают всякое кратковременное ударное воздействие продолжительностью , которая значительно меньше длительности переходного процесса. В этом случае амплитуда импульса будет . При таком подходе можно трактовать как предел прямоугольного импульса (рис. 7.3), у которого амплитуда стремится к бесконечности, а время его действия :

δ(t)

S=1

t

Δt→0

Рисунок 7.3 Экспериментальная трактовка -функции

.

Учитывая, что входной сигнал или ,

16

Переходная и импульсная связаны соотношением:

или

Если момент приложения импульсной функции к звену принять за начало отсчета, равное (рис. 7.4), то при или .

x(t)

δ(t-τ)

τ

t

y (t)

τ

-ω(t-τ)

t

Рисунок 7.4 Изображение запаздывающих функций

Это условие является очевидным, так как выходной сигнал звена не может возникнуть раньше входного .

Обе временные характеристики и являются динамическими характеристиками и также полностью описывают свойства звена как ДУ и ПФ.

§8 Частотные характеристики линейных систем

При подаче на вход линейного звена гармонического воздействия на выходе этого звена в установившемся режиме также будет получена гармоническая функция той же частоты , но отличающаяся от входной по амплитуде и по фазе (рис. 8.1)

Рисунок 8.1 Гармонические сигналы

Изменения амплитуды и фазы зависит как от свойств самого звена, так и от угловой частоты входного воздействия.

Отношение выходной величины звена (системы) к входной, выраженных в комплексной форме, называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ или АФХ).

(1)

где:

= - модуль КЧХ;

- аргумент КЧХ.

17

Как видно из (1) КЧХ не зависит от времени, в этом ее принципиальное отличие от временных характеристик. Если временные характеристики определяют поведение звена в переходном процессе, то КЧХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от тех же параметров входных колебаний при различных угловых частотах .

КЧХ полностью определяет и динамические свойства системы, подобно временным характеристикам и ДУ.

Для получения КЧХ достаточно в передаточной функции W(p) заменить комплексную переменную p на .

Зависимость отношения амплитуды выходной величины к амплитуде входной величины от угловой частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

А= =А( )

Характеристики

Список файлов лекций