Электронные лекции (1043774), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

L {f(t)} = F(p) – прямое преобразование;

L {F(p)} = f(t) - обратное преобразование.

Свойства преобразования Лапласа:

1. L{f1(t)+f2(t)+….+fn(t)} = F1(p)+F2(p)+…+Fn(p)

2. L{A·f(t)} = A·F(p) , A=const

3. L{f(t – τ)} = e · F(p).

Теоремы Лапласа о начальном и конечном значениях функции:

Начальное значение функции:

f(0) = lim f(t) = lim p·F(p)

t→0 p→∞

5

Конечное (установившееся) значение функции:

f(∞) = lim f(t) = lim p·F(p)

t→∞ p→0

Таблица преобразований Лапласа

§ 3 Передаточные функции линейных звеньев

Рассмотрим динамическое звено, которое находится под воздействием полезного сигнала х(t) и возмущение f(t).

Рисунок 1 Динамическое звено

Тогда его динамика описывается линейным неоднородным дифференциальным уравнением вида:

(1)

преобразуем (1) по Лапласу при нулевых начальных условиях:

(2)

(3)

6

N(p), M(p), R(p) -операторные полиномы с постоянными коэффициентами;

Y(p),X(p),F(p)- изображение функций y(t),x(t),f(t) соответственно.

Передаточной функцией звена, по какому либо внешнему воздействию называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу рассматриваемого воздействия, при этом все другие внешние воздействия полагаются равными нулю.

Из определения следует, что для любого звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий.

Тогда для рисунка1 передаточная функция звена по полезному сигналу, при F(p)=0:

= (4)

передаточная функция звена по возмущающему воздействию , при X(p)=0:

(5)

из уравнений (4) и (5) следует, что

(6)

Многочлен N(p),фигурирующий в знаменателе передаточных функций звена, называют характеристическим полином этого звена, а уравнение

называется характеристическим уравнением звена. Оно представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени и имеет n корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексно-сопряженные.

Корни характеристического полинома называют полюсами передаточной функции, корни многочлена стоящего в числителе передаточной функции – нулями этой передаточной функции

Если известны передаточные функции для звена на рисунке 1, то изображение выходной величины, согласно принципу суперпозиции:

или (7)

Соотношение (7) удобно представить в виде структурной схемы звена (рисунок 2).

Рисунок 2 Структурная схема звена

ПРИМЕР 1: Дифференциальное уравнение звена имеет вид:

(8)

Найти передаточные функции звена. Получить структурную схему.

РЕШЕНИЕ: По дифференциальному уравнению (8) составим операторное уравнение, используя преобразование по Лапласу и его свойства.

Полагая F(p)=0, найдем передаточную функцию звена по полезному сигналу.

7

Полагая X(p)=0, найдем передаточную функцию звена по возмущающему воздействию:

Структурная схема звена представлена на рисунке 2.

ПРИМЕР 2. Структурная схема звена имеет вид (рисунок. 2). Передаточные функции определяются по выражениям:

Найти дифференциальное уравнение звена.

РЕШЕНИЕ:

Операторное уравнение звена:

Применяя обратное преобразование Лапласа и его свойства, получим дифференциальное уравнение:

§ 4. Алгебра передаточных функций (ПФ). Основные соединения линейных звеньев.

Правила, позволяющие определить ПФ системы в целом по ПФ отдельных элементов, составляют алгебру ПФ.

Существуют три типа основных соединений звеньев: последовательное, параллельное и встречно-параллельное (обратное).

Последовательным, называют такое соединение двух или нескольких звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной для последующего (рис 4.1)

Рисунок 1 Последовательное соединение двух звеньев

По рисунку 4.1 получим операторные уравнения выходных сигналов элементов соединения (уравнения связи):

Исключая из уравнений промежуточную переменную получим:

Откуда ПФ соединения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ПФ последовательного соединения элементов равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

,

где ПФ i-го звена,n- количество звеньев.

Параллельным называют такое соединение двух или нескольких звеньев, при котором входная величина у всех звеньев одна и та же, а выходные величины их суммируются (рис 4.2).

8

Рисунок 4.2 Параллельное соединение

Найдем операторные уравнения для выходных сигналов элементов соединения:

(

Следовательно

В общем случае при параллельном соединении n элементов:

ПФ параллельного соединения равна сумме передаточных функций отдельных звеньев.

Обратным соединением двух звеньев или соединением с обратной связью (ОС) называют соединение, при котором выходная величина одного звена подается обратно на его вход через другое звено (рис 4.3).

Рисунок 4.3 Соединение с обратной связью

Звено с ПФ , стоящие в прямой цепи, называется звеном, охватываемым ОС.

Звено с ПФ , стоящее в цепи обратной связи называют звеном обратной связи.

«+»

Для ООС

«-» для ПОС.

Важным частным случаем является единичная ООС когда .

§5. Алгебра ПФ . Многоконтурная линейная одномерная САУ

Сложные системы содержат в своей структуре все типы соединений, рассмотренные выше. Если в САУ имеется более 1-го обратного соединения, то она является многоконтурной. Сложность получения ПФ таких систем определяется наличием перекрестных связей, элементов (сумматоров, звеньев, узлов).

9

1. Метод структурных преобразований.

Если известна структурная схема системы, то можно, пользуясь аппаратом структурных

преобразований (табл. 2), найти ПФ замкнутой САУ.

Правила переноса точки разветвления (узла).

Если узел переносится против направления прохождения сигнала, то в переносимую ветвь нужно включить элементы с передаточными функциями всех обойдённых звеньев.

Если узел переносится по направлению прохождения сигнала, то в переносимую ветвь нужно включить элементы с обратными передаточными функциями всех обойдённых звеньев.

Правила переноса сумматора.

Если сумматор переносится по направлению прохождения сигнала, то в переносимую ветвь нужно включать элементы с передаточными функциями всех обойдённых при переносе звеньев.

Если сумматор переносится против прохождения сигнала, то в переносимую ветвь нужно включать элементы с обратными передаточными функциями всех обойдённых звеньев.

Приведённые правила отражены в таблице 2.

1. Метод сигнальных графов.

Для систем со сложными взаимосвязями параметров состояния метод структурных преобразований может оказаться трудоемким. Метод сигнальных графов, разработанный Мэзоном, позволяет избежать операций по упрощению структурных схем и воспользоваться формулой расчета передаточной функции.

Сигнальный граф-это диаграмма, состоящая из точек (узлов), соединенных направленными ветвями, и являющаяся графическим представлением дифференциальных уравнений или ПФ, описывающих работу системы.

10

Узлы графа – точки, соответствующие параметрам состояния процессов в системе (сигналам).

Ветвь – линия, соединяющая два узла.Каждая ветвь W_i характеризуется передаточной функцией.

Характеристики

Список файлов лекций