3_POS_Na (1040802), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Аналогичным образом,учитывая, что, u0( T ) = uK( P ) , uK( T ) = u0( S ) и используя соотношение (23), получимвыражение для N 0( T ) :N 0( T ) = g21u0 + g22 N 0(25)89Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-c11 − a11( T )b11( P )c12 − a11( T )b12( P ),g=0,g=,1222a11( T ) + b12( R )a11( T ) + b12( R )Подставляя (25) в (24), (24) в (22), окончательно получим:VK = B ( S ) [B ( R ) (B ( P ) V0 − G) + F ]V0где F - матрица (2*2) со следующими коэффициентами:f 11 = 0, f 21 = a21( T )b11( P ) + a22( T ) g21 ,где g11 = 0, g21 =f 12 = 0, f 22 = a21( T )b12( P ) + a22( T ) g22 ,а значения коэффициентов матрицы G определены ранее.Далее,решениезадачиопродольныхколебанияхУЗКСспьезокерамическимикольцами и шпилькой, соединяющейнакладкипреобразователя, может быть выполнено по аналогии с вышеописаннымиалгоритмами.Таким образом задача о продольных колебаниях УЗКС с резьбовой стяжкойрешена в достаточно общем случае, т.к.
любой из элементов P, R или S можетсодержать произвольное количество участков в пределах каждого из которыхизменение площади поперечного сечения можно аппроксимировать одной изприведенных выше функций.3.2.6. Расчет круговых рабочих окончаний волноводов-инструментовОпределенную трудность при проектировании ультразвуковых инструментовдля травматологии (фрезерование костных тканей, грудины и пр),гинекологии(обработка шейки матки) и некоторых других приложений представляютволноводы-инструменты с дисковыми насадками.
Проектирование данного классаинструментов по методу пассивных насадок, при диаметре насадки D большемчем диаметр d регулярной части волновода вблизи насадки примерно в 1.2-1.3раза, приводит, к значительным погрешностям в определении резонансныхчастот.90Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-Рис.7.Точное решение для дисковых насадок как постоянной так и переменнойтолщины для случая поперечных осесимметричных колебаний изгиба, можнополучить решив систему дифференциальных уравнений, описывающихстационарные колебания круговой пластины переменной толщины. Вывод даннойсистемы уравнений содержится в [9]:dw= θ(r ),drd θ M (r ),=d r D( r )(26)d M D(r )(1 − μ 2 )1− μM (r ) − V (r ),=θ( r ) −r2rdrdQ= −ρh(r )ω 2 w(r ) − V (r ) r .drгде использованы следующие обозначения r - текущий радиус пластины,w(r) - поперечный прогиб пластины на расстоянии r от центра пластины, θ- уголповорота поперечного сечения пластины, M(r) - погонный изгибающий момент,V(r) - погонная поперечная сила, - цилиндрическая жесткость, - коэффициентПуассона, - плотность, - круговая частота, h(r) - текущая толщина пластины(рис.7).Для дальнейшего численного решения системы (26) проводимобезразмеривание для независимых переменных и текущего радиуса по формулам2θ~~ = w w , M = MR , V~ = VR ,ς = r R, θ =, w(27)02 πθ0D0D0где - константы, имеющие размерность, соответственно, перемещения, углаповорота и цилиндрической жесткости, R - внешний радиус пластины; безразмерный радиус пластины, - соответственно, безразмерные перемещение,угол поворота, погонный изгибающий момент, погонная перерезывающая сила.Система уравнений (26) с учетом (27) примет вид удобный для численногоинтегрирования:91Квашнин С.Е.
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-~dw~= 2 πR θ (ς ),dς~~dθD0 M (ς )=,d ς 2 πθ0 D(ς )(28)~1− μ ~d M 2 πθ0 D(ς )(1 − μ 2 ) ~~=θ (ς ) −M (ς ) − V (ς ),2ςD0ςdς~w0 R 3dV~ (ς ) − V~ (ς ) ς .=−ρh(ς )ω 2 wD0dςГраничные условия при и решении лишь задачи на собственные значения(определение резонансных частот и форм колебаний насадки) имеют следующийвид:(29)w(r0 ) = 0; θ(r0 ) = 0; r = r0 (заделка),или при импедансном согласовании с волноводом продольных колебаний,т.е.
при решении задач о вынужденных колебаниях в целом всей УЗКС:θ(r0 ) = −0;(30)ωQ(r0 ) = −Zw(r0 )],[2 πr0Рис.7.где Z - механический импеданс стержневого концентратора в местеприсоединения насадки равный входному импедансу насадки. Внешний же крайнасадки (при r=R) часто можно считать свободнымM ( R) = 0; Q( R ) = 0; r = R (свободный край)(31)Решая численно краевую задачу (28-31) можно определить резонансные иантирезонансные частоты, а также значение входного импеданса. Рассчитанноезначение импеданса насадки Z можно использовать при расчете продольноколеблющегося волновода-инструмента и определении его резонансной длины.3.2.7.
Динамическая устойчивость ультразвуковых волноводовинструментов продольных колебанийДля многих видов медицинских вмешательств требуются либо достаточнодлинные УЗМИ, либо короткие, но тонкие (например, для отолярингологии,стоматологии и др.). В таких инструментах часто наблюдается так называемаядинамическая потеря устойчивости, когда прямолинейный инструмент,совершающий продольные колебания, внезапно начинает совершать изгибныеколебания, амплитуда которых бывает настолько высока, что приводит кразрушению инструмента. Такое явление также называют параметрическимрезонансом УЗМИ.92Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-Рассмотрим подробнее это явление. Уравнение изгибных колебанийпрямолинейного бруса переменного сечения, нагруженного переменной вовремени t и по длине бруса z осевой силой N(z,t), имеет вид [12]:∂2 w∂2 ⎡∂2 w ⎤ ∂ ⎡∂w ⎤EJ X ( z ) 2 ⎥ − ⎢ N ( z , t ) ⎥ + ρF ( z ) 2 = 0,(32)∂t∂z 2 ⎢⎣∂z ⎦ ∂z ⎣∂z ⎦где w( z , t ) - поперечный прогиб в z-м сечении в момент времени t0.Ультразвуковой инструмент продольных колебаний переменного сечения cпеременной по длине осевой силой N(z,t), возникающей в брусе благодаряупругим колебаниям.
Для простоты дальнейших рассуждений ограничимсярассмотрением лишь высокоамплитудной части УЗМИ постоянного сечения (рис.7), считая при этом, что правый край свободен:∂2 w∂3w= 0;=0∂z 2 z = l∂z 3 z = lа левый жестко закреплен:∂ww(0) = 0;= 0;∂z z = lПримем также, что сменный концентратор соединяется с акустическим узломв узле осевой силы N(z,t).Главный тип колебаний инструмента - продольные колебания, которыеописываются одномерным волновым уравнением (1) или (2). Решение этогоуравнения для участка УЗМИ постоянного сечения, как было показано ранее,имеет вид (17):Nu( z ) = u0 cos αz + 0 sin az ,EFαN ( z ) = − EFαu0 sin αz + N 0 cos αz ,где N ( z ) и u( z ) - амплитуды осевой силы и смещения соответственно;α = 2 πf c - волновое число; u0 и N 0 - амплитуды продольного смещения и осеваясила в точке z=0 соответственно. Причем из условия N(l)=0 несложно получитьследующее соотношение, связывающее u0 с N 0 : N 0 = − EFαu0 tg αl , тогдаN ( z ) = − EFαu0 (sin αz − tg αl cos αz ),(33)Уравнение (32) можно решить методом Б.Г.Галеркина, используяподстановкуnw( z , t ) = ∑ ψ j ( z )Tj (t ),(34)j =1где ψ j ( z ) - функции, удовлетворяющие граничным условиям;Tj ( z ) - неизвестные функции времени.В первом приближении можно ограничиться одним j-м членом ряда (34).
Приэтом в качестве функции ψ j ( z ) используются собственные функции задачи об93Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-изгибных колебаниях консольно закрепленного стержня постоянного сечения (вотсутствии продольных колебаний):ψ j ( z ) = K2 ( k j l ) K3 ( k j l ) − K1 ( k j l ) K 4 ( k j l )(35)причем корни частотного уравнения имеют следующие значения [13]:k1l = 1,875; k2 l = 4,694; k3l = 7,855; k4 l = 10,996;πk5l − 14,137; далее для j > 5, k j l = (2 j − 1).2В соответствии с методом Б.Г.Галеркинаl∫ R( k l , z, t ) ψ ( z) d z = 0 , i=1,2,...,n,j(36)i0гдеR( k j l , z , t ) - невязка, получаемая после подстановки (35) в (34) и (34) в(32):n ⎧ψ ( z )Tj (t ) ⎫⎪′1⎪R( k j l , z , t ) = ∑ ⎨ψ (jIV ) ( z )Tj (t ) −N ( z , t ) ψ ′j ( z ) Tj (t ) + j(37)⎬,2EJj =1 ⎪cr⎪()Xx⎩⎭где rx = J X F .Подставив в последнее выражение соотношение для амплитуды осевой силыN(z), а затем (37) в (36), а также ограничиваясь j-м членом ряда (34), посленесложных преобразований можно получить(38)T&&j (t ) + (e1 j + e2 j cos ωt ) Tj (t ) = 0[]где коэффициенты e1 j и e2 j имеют вид:le1 j = c r ∫ ψ2 21 x( IV )j0⎡l⎤( z ) ψ j ( z )dz ⋅ ⎢ ∫ ψ 2j ( z )dz ⎥⎣0⎦−1−1u0ω⎡l 2⎤(39)e2 j = 2 2 ∫ ( tg αl cos αl − sin αl )ψ j ( z ) ψ j ( z )dz ⋅ ⎢ ∫ ψ j ( z )dz ⎥c1 rx 0⎣0⎦Дифференциональное уравнение (38) называют уравнением Матье, котороеωtподстановкой θ =сводится к общепринятой форме:2T&&j (θ) + (a j − 2q j cos θt )Tj (θ) = 0(40)2 lгде4e1 j4e, q j = 22 j ,(41)2ωωЗдесь ω - круговая частота продольных колебаний.
Причем соотношенияпараметров a j и q j определяют и характер решения уравнения (40) (устойчивое,неустойчивое).aj =Полагая a =4Ω 2,ω2q=4Ω 2μ можно перейти от общепринятой к другойω2форме представления уравнения Матье:94Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-T&&j (t ) + Ω2j (1 − 2μ j cos ω j t )Tj (t ) = 0(42)где Ω- собственная частота изгибных колебаний волновода.Из (42) видно, что при малых μ области неустойчивости располагаютсявблизи линий, на которых2Ωω* =,(n = 1,2,... ),nпричем область, которой соответствует n=1, называют главной, а остальные побочными.
Для границ главной области неустойчивости ω * ≅ 2Ω 1 ± μ . .Рис.9.На рис. 9 представлена так называемая диаграмма Айнса-Стретта [13].Области неустойчивости в пространстве параметров a и q, при которых уравнениеМатье имеет неограниченно возрастающее решение, на рис. 9 заштрихованы.Следует отметить, что для параметра a после подстановки (39) в (41) легкополучить следующее соотношение:[a = ( k j l ) c1rX2( πl 2 f )]2причем для круглых волноводов (rX = d / 4) . В случае резонанса продольныхколебаний f = c1 / 2l :24⎛ d ⎞ (k jl)a=⎜ ⎟⎝ l ⎠ 4π295Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-3.3. Электроакустические преобразователи медицинского назначения3.3.1. Пьезоэлектрические преобразователиВ пьезоэлектрических преобразователях в качестве активного элемента,осуществляющего электроакустическое преобразование энергии, применяютсяэлементы из пьезоэлектрических материалов. Для приема ультразвуковых волниспользуется прямой эффект - возникновение электрической индукции D впьезоэлементев результате действия механических напряжений , а длявозбуждения - обратный пьезоэффект - возникновение деформаций при созданиив пьезоэлементе переменного электрического поля.Здесь мы ограничились рассмотрением колебательных систем определенногокласса - УЗКС, совершающих чисто продольные колебания, и возбуждаемыхпьзопреобразователями, работающими на продольном или поперечномпьезоэффекте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
