3_POS_Na (1040802), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. .W n ( zi ) =1{V n ( zi ) − ω1n W 1 ( zi ) − ω 2 n W 2 ( zi ) −K−ω ( n −1) n W n −1 ( zi )};ω nnW 0 ( zi ) = {V 0 ( zi ) − ω10 W 1 ( zi ) − ω 20 W 2 ( zi ) −K−ω n 0 W n ( zi )}гдекоэффициентыматрицывычисляютсяформулам:ω11 = ( V1 ( zi ), V 1 ( zi ));ω12 = ( V 2 ( zi ), W 1 ( zi ));ω 22 = ( V 2 ( zi ), V 2 ( zi )) − (ω12 ) 2 ;ω 23 = ( V 3 ( zi ), W 2 ( zi ));поω 13 = ( V 3 ( zi ), W 1 ( zi ))ω 33 = ( V 3 ( zi ), V 3 ( zi )) − (ω 13 ) 2 − (ω 23 ) 2. . .ω10 = ( V 0 ( zi ), W 1 ( zi ));ω 20 = ( V 0 ( zi ), W 2 ( zi ));ω n 0 = ( V 0 ( zi ), W n ( zi ));здесь i=1.Дальнейшее интегрирование на следующем втором участке осуществляетсядля следующего набора начальных векторов W 0 ( z1 ) W 1 ( z1 ) W 2 ( z1 ), ... , W n ( z1 ) . Приэтом вычисленное значение матрицы в точке z1 необходимо сохранить дляпоследующего восстановления решения.
Решение системы (21), как и в методеначальных параметров, принимает на правом конце значение, которое может бытьпредставлено в видеnV (l ) = ∑ βi( k ) V i (l ) + V 0 (l )i =1(k )iпостоянные интегрирования. Однако, величины различны вгде - βпределах каждого из участков интегрирования и определяются из рекурентногосоотношенияβ ( e ) = {ω ij( e ) }−1 β ( e +1) ; e = k , k − 1, ..., 1;83Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-где β ( e ) = (β1 , β 2 ,..., β n ,1) - вектор-столбец произвольных постоянных.Окончательно решение для поперечного сечения УЗМИ, в которомпредварительно были запомнены векторы решения может быть получено изсоотношения(e)n(e)(e)V ( z j ) = ∑ βi V i ( z j ) + V 0 ( z j )( j)i =1Далее рассмотрим случай когда возможно аналитическое решение системыуравнений (14) для волноводов постоянного поперечного сечения.3.2.4. Определение собственных частот изгибных колебаний элементовУЗМИ с участками постоянного сеченияСведем систему уравнений (14) к одному дифференциальному уравнению 4го порядка. Для этого подставим 1-ое уравнение системы (14) во второе, второе втретье и третье в четвертое.
Получим одно уравнение, описывающее малыеизгибные (поперечные) колебания прямолинейного изотропного стержня[ E J x ( z )W ′′( z )]′′ − ρ F ( z ) ω 2 W ( z ) = 0(15)где J X - геометрический момент инерции поперечного сечения;w(z) - амплитуда поперечного смещения z-го сечения;Краевые условия. В простейших случаях, когда край бруса свободен илижестко закреплен, или шарнирно оперт, краевые условия выражаютсяследующими соотношениями:а) конец стержня жестко закреплен; на таком конце прогиб w(z,t) (или егоамплитудное значение w(z)) и угол поворота равны нулю, т.е.~~ = 0; ( w = 0); ∂w = 0; ( w′ = 0);w(16)∂zб) конец стержня свободен; на таком конце изгибающий момент~~∂2 w∂3wM = EJ X 2 и поперечная сила M = EJ X 3 равны нулю, следовательно∂z∂z2~3~∂w∂w=0,(w=0);= 0, ( w′′′ = 0);(17)′′∂z 2∂z 3в) конец стержня свободно оперт~∂2 w~(18)w = 0, ( w = 0); 2 = 0, ( w′′ = 0);∂zЕсли заданы свойства материала бруса (элемента УЗМИ), т.е.
плотность ρ,модуль Юнга E, а также размеры этого элемента, т.е. J X ( z ), F ( z), l - длинаэлемента, то задача определения собственной частоты сводится к численномурешению дифференциального уравнения (15) для заданных граничных условий(16)-(18) и итерационному (например, методом бисекции) нахождению84Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-собственной частоты ω. Рассмотрим, как это выполняется в случаеF = const, J X = const , для которого существует аналитическое решениеуравнения (15).ЭлементУЗМИпостоянногопоперечногосечения.Таккак,F = const,J X = const то уравнение (15) после деления на примет видρFω 2(4)w( z ) −w( z ) = 0(19)EJ Xилиw ( z ) ( 4 ) − k 4 w( z ) = 02ρFω 2 ⎛ ω ⎞= ⎜ ⎟ - радиус инерции поперечного сечения.где k =EJ X ⎝ crX ⎠Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (19):s4 − k 4 = 0..Решение этого уравнения: s1,2 = ± k ; s3, 4 = ± jk .
.Тогда общее решение дифференциального уравнения (19) будет выглядетьтак:w( z ) = C1 exp k z + C2 exp( − k z ) + C3 sin k z + C4 cos k zРешение может быть также выражено через функции Крылова [1]W ( z ) = C1 K1 ( k z) + C2 K 2 ( k z) + C3 K3 ( k z) + C4 K4 ( k z )(20)Функции Крылова имеют видK1 ( x ) = (ch x + cos x ) 2, K 2 ( x ) = (sh x + sin x ) 2,K 3 ( x ) = (ch x − cos x ) 2, K 4 ( x ) = (sh x − sin x ) 2 ,и обладают рядом преимуществ. Так, при аргументе x=0K1 (0) = 1, K 2 (0) = 0, K 3 (0) = 0, K4 (0) = 0,а дифференцирование функций Крылова осуществляется простой круговойзаменой индексов,4K′4 ( x ) = K 3 ( x ),K′3 ( x ) = K 2 ( x ),K′2 ( x ) = K1 ( x ),K1′ ( x ) = K 4 ( x ),Найдем выражение для углов поворота θ(z), изгибающих моментов M(z),Q(z),учитывая,чтопоперечнойсилыθ( z ) = w′( z ), M ( z) = EJ X w′′( z ), Q( z) = EJ X w′′′( z ) , тогдаw( z ) = C1 K1 ( k z) + C2 K2 ( k z ) + C3 K3 ( k z ) + C4 K4 ( k z ),θ( z ) = k [C1 K4 ( k z ) + C2 K1 ( k z) + C3 K2 ( k z ) + C4 K3 ( k z)],(21)2M ( z ) = k EJ X [C1 K 3 ( k z ) + C2 K 2 ( k z) + C3 K1 ( k z) + C4 K 2 ( k z)],Q( z ) = k 3 EJ X [C1 K 2 ( k z) + C2 K3 ( k z) + C3 K4 ( k z ) + C4 K1 ( k z)],Будем считать, что при z=0 заданы значения перемещений w0 , угловповорота θ 0 , момента M 0 и поперечной силы Q0 .
Выразим соответствующие85Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-значения констант C1 − C4 через соотношения (21) при z=0, с учетом свойствфункций Крылова (31), примут видw0 = C1 ; θ0 = kC2 ; M 0 = k 2 EJ X ; Q0 = k 3 EJ X C4 ,тогдаC1 = w0 ; C2 = θ 0 / k ; C3 = M 0 / ( k 2 EJ X ); C4 = Q0 / ( k 3 EJ X ).Подставляя полученные для C1 − C4 соотношения в уравнения (21) ипереходя к матричной форме записи, имеемK 2 ( k z)K 3 ( k z)K 4 ( k z) ⎞⎛ K1 ( k z)⎛ w( z ) ⎞ ⎜K 2 ( k z)K 3 ( k z ) ⎟ ⎛ w0 ⎞K1 ( k z)⎟ ⎜ k K 4 ( k z)⎜⎟⎜ ⎟2θ0 ⎟(z)θkEJkEJ⎟ =⎜⎜XX ⎟⎜K 2 ( k z) ⎟ ⎜ M 0 ⎟⎜ M ( z )⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ k EJ X K 3 ( k z ) kEJ X K 4 ( k z) K1 ( k z )⎜k ⎟ ⎜⎝ Q ⎟⎠⎝ Q( z ) ⎠ ⎜ 3⎟ 0⎝ k EJ X K 2 ( k z ) k 2 EJ X K 3 ( k z) k K 4 ( k z) K1 ( k z) ⎠или W ( z ) = A ( z ) W0 , где W ( z ) = ( w( z ), θ( z ), M ( z ), Q( z ) ) - вектор-столбец; A соответствующая матрица коэффициентов; W0 = ( w0 , θ0 , M 0 , Q0 ) - вектор-столбецначальных значений.Допустим, необходимо определить собственную частоту изгибныхколебаний стоматологического инструмента, изображенного на рис.4 а.
Расчетнаясхема инструмента изображена на рис.4 б. Изложенный выше (см. 1.2) матричныйметод расчета УЗМИ можно также использовать и при изгибных колебанияхУЗМИ. Тогда для заделанного левого и свободного правого края при z=0,W01 = (0,0, M 0 , Q0 ) а при z = l3 Wk 3 = ( wk 3 , θ k 3 ,0,0). . Далее можно записать, чтоWk 3 = A 3 (l3 ) A 2 (l2 ) A 1 (l1 ) W01где A i - матрица перехода для i-ого участка (i=1,2,3).πD 4πD 2Причем J Xi = i ; Fi = i или Wk 3 = B W01644⎛ wK 3 ⎞ ⎛ b11 b12 b13 b14 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟3θ K 3 ⎟ ⎜ b21 b22 b23 b24 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜где B = ∏ A i (li ) или=⎜ 0 ⎟ ⎜ b31 b32 b33 b34 ⎟ ⎜ M 0 ⎟i =1⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎝ 0 ⎠ ⎝ b41 b42 b43 b44 ⎠ ⎝ Q0 ⎠Причем полученная система уравнений имеет нетривиальное решение вслучае, когда:b (ω ) b34 (ω )det 33=0(22)b43 (ω ) b44 (ω )86Квашнин С.Е.
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-Рис. 5Применяя, например, метод бисекции, задавая интервал поиска частоты,находят значение, при котором уравнение (22) обращается в ноль. Это значение иесть круговая резонансная частота изгибных колебаний инструмента. При этомследует помнить, что корней уравнения (22) бесконечное множество, и учитыватьпри задании интервала поиска корней в итерационных методах.Некоторые данные по акустическим и механическим характеристикам частоиспользуемых материалов представлены в табл. 1.Таблица 1Матери- ρ,алыкг/м2Сталь 10 7830Сталь 45 7850Сталь 65Г 785030ХГСА 78501Х18Н9Т 7960ВТ1-04520ВТ44420ВТ54420ВТ64430ЛС598500В95Т12850Д16Т2780c, м/сψ0, %Nрас, Втσ-1, МПаσ-1/ρc, м/с5080504651304971499250724800-5130525049503450494250042,340,720,180,251,40,240,080,080,110,150,0980,151584812169593347,52,43,5160-220280-410340-660300-750280270450510-590540-6601601154,028,68,47,7-19,2711,8232425,811,38,27σ −1 - усталостная прочность материала.В пятой графе табл.1 для большей наглядности представлены данные порассеиваемой (за счет механического гистерезиса) мощности NPAC дляцилиндрического волновода постоянного поперечного сечения диаметром D=5мм, с частотой первого резонанса продольных колебаний f=26,5 кГц и амплитудойколебаний краев мкм, подсчитанные по формуле1πD 22N рас = (2 π f u0 ) ρcψ 0.84Из данных табл.
1 следует, что для высокоамплитудных элементов УЗМИнеобходимо применять либо сталь 65Г, либо титановые сплавы, либо дюрали.87Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-3.2.5. Расчет УЗКС с резьбовыми соединениямиДля УЗКС, в которых используются ЭАП на пьезокерамике, а отражающие иизлучающие накладки соединены между собой шпилькой, требуется также расчети самой шпильки [12]. При рассмотрении такого конструктивного исполненияЭАП со шпилечным резьбовым соединением накладок, будем считать, чтошпилька выполнена из материала с плотностью и скоростью звука c ипредставляет собой стержень постоянного поперечного сечения, совершающийпродольные колебания, причем взаимодействие шпильки с накладкамиосуществляется по некоторым плоскостям A и B, лежащим примерно посерединесоответствующихучастковрезьбы.Будемпренебрегатьреальнымраспределением нагрузок по винтовым поверхностям резьбы.Рассмотрим ультразвуковой ЭАП на пьезокерамике ланжевенового типа сошпилькой, соединяющей накладки.
Введем систему координат 0Z (см. рис. 6 ).Рис.6.Пусть и - координаты плоскостей A и B соответственно. Преобразовательразобьем на четыре элемента: P, R, S, T. Под элементом P будем понимать тучасть УЗКС, которая расположена между левым краем УЗКС и плоскостью A (рис.6), т.е. находится на интервале [0,]. Элемент R расположен между плоскостями Aи B (интервал [] ), элемент S - расположен между плоскостью B и правым краемакустического узла, т.е. на интервале [].
Под элементом T будем подразумеватьучасток шпильки между плоскостями A и B.Пусть также элементы P, R и S имеют соответственно по p, r и s участков, впределах каждого из которых закон изменения площади поперечного сечениятаков, что может быть апроксимирован одной из зависимостей (7).
Тогда векторрешения на конце любого из элементов P, R, S или T может быть выражен черезвектор вектор решения в начале указанных элементов как88Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-VK( X ) = B ( X ) V0( X ) ,где X, - индекс, соответствующий одному из участков, P,R,S,T; B ( X ) - матрицаперехода.Для участков P,R,S соответственно, матрицы перехода будутprsi =1i =1i =1B ( P ) = ∏ A (i ) , B ( R ) = ∏ A (i ) , B ( S ) = ∏ A (i ) .Для участка T (шпильки) для матрицы перехода справедливо следующиеусловие:B(T ) = A(T )где A ( T ) - матрица перехода для шпильки.В силу справедливости уравнений равновесия и условий сплошности поплоскостям A и B можно записать следующие условия стыковки элементов приz = zAиz = zB :u0( R ) = uK( P ) ,N 0( R )u0( R ) = u0( T ) ⎫⎬ z = zA= N K( P ) − N 0( T )⎭дляu0( S ) = uK( R ) ,u0( S ) = uK( T ) ⎫⎬ z = zBN 0( S ) = N K( R ) + N K( t )⎭В векторной форме указанные условия будут иметь вид:V0( R ) = VK( P ) + D0 где D0 = (0, − N 0( T ) ),V0( S ) = VK( R ) + D K где D K = (0, N K( T ) ).Тогда, после преобразований, решение при z=l будет следующим:VK = B ( S ) B ( R ) (B ( P ) V0 + D 0 ) + D K[]здесь и далее введены обозначения: V0 = V0( P ) VK = VK( S )Раскрывая скобки, и обозначив через C = B ( R ) B ( P ) получим:VK = B ( S ) B ( R ) B ( P ) V0 + CD0 + B ( S ) D K(22)С учетом граничных условий для шпильки T, а также используя матрицуперехода A(T) и соотношениеV ( T ) = A ( T ) V0( T )(23)выразим осевое усилие на правом краю шпильки N K( T ) через соответствующееусилие N 0( T ) на левом краю шпильки:N K( T ) = a11( T ) (a11( P ) u0 + a12( P ) N 0 ) + a12( T ) N 0( T ) (24)Таким образом, уравнение (22) теперь содержит одну "лишнюю" переменную(T )N0в соответствии с выражением для D(0T ) и D(KT ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
