3_POS_Na (1040802), страница 2
Текст из файла (страница 2)
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-одного из соотношений (6). Если концентратор содержит n участков, токоличество произвольных постоянных в решении 2n. Данные постоянныеопределяются из граничных условий для конкретного концентратора, обычно этоусловия вида N ( z) z =l = 0 , N ( z) z =0 = 0 (свободные края концентратора), а также изтак называемых условий стыковки участков, в соответствии с которыми в силугипотезы сплошности u − ( z ) = u + ( z0 ) , т.е.
продольное смещение u − ( z ) слева отплоскости стыковки участков равно смещению u + ( z0 ) справа от указаннойплоскости. Аналогично, в силу справедливости принципа д'Аламбера, приотсутствии сосредоточенных сил имеем N − ( z ) = N + ( z0 ) . Итак, для концентратораиз n участков имеем 2(n-1) условий стыковки и 2 граничных условия, т.е. 2nусловий, которые можно представить в виде однородной системы из 2nалгебраических уравнений видаA (αlK ) C = 0(10)где A(αlK ) - матрица коэффициентов размера 2 n × 2 n ;C = (C1 , C2 , ..., C2 n ) - вектор-столбец неизвестных коэффициентов.Нетривиальное решение системы (10) находится из следующего условия:det A (α lK ) = 0(11)В зависимости от решаемой задачи (синтез новой колебательной системыили выполнение поверочного расчета) в уравнении (11) либо ищется неизвестнаярезонансная частота (при заданной геометрии: диаметры, параметры , длиныучастков , i=1,2,...,n), либо решается задача синтеза нового элемента УЗКС.
Впервом случае определяются корни уравнения (11) в зависимости от параметровω , det A (ω ) = 0 , во втором - находится резонансная длина k-ого участка этогоэлемента (т.е. решается уравнение det A (lK ) = 0 ).При небольшом количестве участков n возможно аналитическое решениеопределителя, однако даже и в этом случае нахождение корней полученныхтрансцендентных уравнений, как правило, возможно лишь с использованиемЭВМ.Чтобы решить задачу на собственные значения для выбранного элементаУЗМИ или УЗМИ в целом, удобно воспользоваться матричным вариантом методаначальных параметров [8].3.2.2. Матричный метод расчета УЗМИРассмотрим волновод постоянного поперечного сечения длиной l (рис.2).Общее решение уравнения (8) для этого случая, как уже было показано, имеет вид(12)u( z) = C1 sin α z + C2 cos α z ,в силу второго из соотношений (1), амплитуда осевых усилий N(z)77Квашнин С.Е.
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-N ( z ) = E Fu′( z )и с учетом (12)N ( z ) = EFα (C1 cos α z − C2 sin α z ) .Пусть амплитуда продольного смещения при z=0 равна, а амплитуда осевогоусилия. Тогда соотношения для u(z) и N(z) примут видu( z ) = u0 cos α z + N 0 ( EFα ) ⋅ sin α z ,N ( z ) = − E Fα u0 sin α z + N 0 cos α z.Значения смещения и усилия на правом торце волновода:uk = u(l ) = u0 cos αl + N 0 ( EFα ) ⋅ sin αl ,(13)N k = N (l ) = − EFα u0 sin α l + N 0 cos α l.Рис.2.Используя векторные обозначения, уравнение (14) можно записать в болеекомпактной форме VK = AV0 , где VK = (uK , N K ) , V0 = (u0 , N 0 ) ; - векторы-столбцы;A - матрица вида:( E Fα ) −1 sin α l⎞⎛ cos αl;A=⎜⎟cos α l ⎠⎝ − E Fα sin α l;которую принято называть матрицей перехода.
Для участков УЗМИ сэкспоненциальными, катеноидальными и коническими переходами (7) решениеV(l ) также может быть выражено через V(0) , а элементы матрицы перехода Aбудут равны:⎞⎛ΔNdsin α1l;a11 = N d ⎜ cos α1l − 0 sin α1l⎟ ; a12 =α1EF0α1⎠⎝a21 =⎤⎞⎛ Δ 0ΔlEF0 ⎡+ α1 ) sin α1l⎟ sin α1l ⎥;⎢( Δ l − Δ 0 ) cos α1l − ⎜ (Nd ⎣⎠⎝ α1⎦a22 =⎞1 ⎛ Δl⎜ sin α1l + cos α1l⎟ .N d ⎝ α1⎠78Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-где - F0 площадь поперечного сечения в начале участка; N d = F0 FK ; FK площадь поперечного сечения в конце участка.Для волновода с экспоненциальными переходами Δ 0 = β, Δ l = β ; скатеноидальными переходами Δ l = 0, Δ 0 = γ th γ l , с коническими переходамиΔ0 = a, Δl = a Nd .Для крутых переходов (рупоров), когдаилибольше , всетригонометрические функции в матрице перехода следует заменить насоответствующие гиперболические (это не касается конических рупоров).Пусть в некоторой точке к УЗМИ присоединена сосредоточенная масса M ибезинерционная пружина жесткостью k.
(рис.3а) Получим матрицу перехода длятакого случая. Рассмотрим силы, действующие на элемент толщиной dz внаправлении оси z (рис. 3).Рис.3аРис.3.б.79Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-Суммируя все силы и приравнивая их нулю (2-ой закон Ньютона), получимN − N − + I M − FK = 0 , где I M = − Mω 2 u − - сила инерции, FK = ku − - сила реакциисо стороны пружины. Или после подстановки - N + = ( Mω 2 − k )u − + N − .Учитывая также, что продольные смещение справа и слева от местаприсоединения массы и пружины равны между собой, т.е. u + = u − , матрицаперехода примет следующий вид10⎞⎛A=⎜⎟.⎝ ( Mω 2 − k ) 1⎠Допустим, УЗМИ состоит из участков, в пределах каждого из которых законизменения площади поперечного сечения таков, что может бытьаппроксимирован одной их функций (7), и для каждого из участков введеналокальная система координат 0i zi , начало каждой из которых совпадает с левым(см.
рис.2) краем соответствующего i-ого участка. Вектор решения при zi = 0имеет вид V (0) = V0( 1) . Тогда решение в конце первого участка будет выглядетьтак: VK(1) = A (1) V0(1) , но в силу условий сплошности и равновесия вектор решения вначале следующего участка V0( 2 ) совпадает с VK( 1) . Решение в конце второгоучастка: VK( 2 ) = A ( 2 ) V0( 2 ) , но V0( 2 ) = VK(1) , тогда VK( 2 ) = A ( 2 ) A (1) V0(1) . Решение в конце iого участка:VK( i ) = A ( i ) A ( i −1) ... A ( 2 ) A (1) V0(1)+nРешение в конце n-ого участка: (т.е. при z = l = ∑ li , где- длина i-огоi =1участка, l - полная длина ультразвуковой колебательной системы) имеет видnVK( n ) = B (ω ) V0(1) , где B (ω ) = ∏ A ( i ) .i =1Собственные частоты (резонансные длины) УЗМИ находятся из решениясистемы (18), при этом должны выполняться граничные условия на правом илевом краях интервала [0, 1].Рассмотрим различные варианты граничных условий:1) левый и правый края свободны (N=0), тогдаV0 = (u0 ,0); VK = (uK ,0) ,в этом случае имеем следующее частотное уравнение:⎛ uk ⎞ ⎛ b11 b12 ⎞ ⎛ u0 ⎞⎜ ⎟ =⎜⎟ ⎜ ⎟ или b21 (ω ) = 0⎝ 0 ⎠ ⎝ b21 b22 ⎠ ⎝ 0 ⎠2) Левый край свободен (N=0), правый заделан (u=0), в этом случае имеемследующее частотное уравнение:⎛ 0 ⎞ ⎛ b11 b12 ⎞ ⎛ u0 ⎞⎜ ⎟ =⎜⎟ ⎜ ⎟ или b11 (ω ) = 0.⎝ N k ⎠ ⎝ b21 b22 ⎠ ⎝ 0 ⎠80Квашнин С.Е.
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-Решение частотных уравнений вида bij (ω ) = 0 может быть найденоизвестными способами, например методом половинного или пропорциональногоделения, методом хорд, касательных, Ньютона-Зейделя и других.3.2.3. Изгибные колебания ультразвуковых инструментовВ связи с расширением номенклатуры медицинского ультразвуковогоинструментария все чаще возникают проблемы расчета рабочих окончаний,совершающих изгибные колебания.Вывод уравнений изгибных колебаний. При выводе пренебрежем инерциейвращения, сдвиговыми деформациями, а также продольным смещением, считаемчто рассматриваются малые колебания. Рассмотрим произвольный элемент dzвырезанный на некотором расстоянии z от начала координат и смещенный нарасстояние w~( z , t ) от положения равновесия.
Силы и моменты действующие наэтот элемент изображены на рис.4. В левом сечении повернутом на некоторый~~~малый угол d θ действуют поперечная сила Q и изгибающий момент M , вправом сечении, отстоящем на некоторое малое расстояние dz и повернутом на~~~~~~угол + θ + d θ - поперечная сила Q + d Q и изгибающий момент M + d M . Крометого на элемент действует сила инерции I, направленная вверх (по направлениюдвижения).Суммируяпроекциивсехсилнаосьyполучим~2~∂ w ∂Q~dI = dQ или ρF ( z ) 2 +=0∂t∂zгде ρ- плотность материала.
Далее суммируя все моменты, действующие в~∂M ~~=Q.плоскости z0y получим dM = Qdz или∂zРис.4.Кроме того считаем материал УЗМИ линейно-упругим тогда:~∂θ~M = EJ X ( z ) ,∂z81Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-где E - модуль упругости первого рода, Jx(z) - момент инерции поперечногосечения. Угол поворота сечения однозначно определяется через поперечное~~ ∂wсмещение как θ =.∂zГруппируя полученные уравнения в систему дифференциальных уравненийпосле преобразований получим~∂W ~= θ ( z , t ),∂z~~∂θ M ( z , t )=,∂z EJ X ( z )~∂M ~= Q ( z , t ),∂z~~∂Q∂ 2W= −ρF ( z ) 2 .∂z∂tПри решении задачи на собственные значения или при решении задачи овынужденных колебаниях при гармоническом возбуждении полученную системууравнений подстановкой~ ( z , t ) = w( z ) cos ωt ; ~wθ ( z , t ) = θ( z ) cos ωt ;~~M ( z , t ) = M ( z ) cos ωt ; Q ( z , t ) = Q( z ) cos ωt .можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравненийw( z ) = θ( z );M ( z)θ′ ( z ) =;E J X ( z)M ′( z ) = Q( z );Q′( z ) = ρF ( z )ω 2 w( z )численное интегрирование которой можно осуществить любым из известныхметодов (Рунге-Кутта, Адамса, Хеминга и пр.).
Предварительно необходимообезразмерить систему уравнений (см. ниже раздел 1.6). Однако при расчетедлинных УЗМИ возможно "сплющивание" набора векторов решений и потеряточности численного интегрирования.С целью сокращения времени счета системы уравнений, увеличенияточности счета, устранения "сплющивания" векторов решения рекомендуетсяиспользовать метод ортогональной прогонки С.К.Годунова [9], который легкореализуется как дополнение к методу начальных параметров, и может бытьиспользован как при решении задач на собственные значения так и при решениизадачи о вынужденных колебаниях УЗМИ.Используя метод ортогональной прогонки, отрезок интегрированияразбивается на k-1 участков точками, z1 , z2 , ...., zk , которые задаются заранее.82Квашнин С.Е.
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-Желательно чтобы расстояние между соседними точками было не более λ(1-3)rcJX(здесь λ = 2 π X- длина волны изгибных колебаний, rX =-величина,ωFназываемая радиусом инерции поперечного сечения, с -скорость звука припродольных колебаниях). Выполняется численное интегрирование системыдифференциальных уравнений (14) n+1 раз для n+1 начального вектора до первойточки z1, векторы решений V 0 ( z1 ),V 1 ( z1 ),V 2 ( z1 ), ...., V n ( z1 ) ортонормируются в этойточке z1 по формулам1 11W 1 ( zi ) =V ( zi );W 2 ( zi ) =V 2 ( zi ) − ω 12 W 1 ( zi )};{ω11ω 22W 3 ( zi ) =1{V 3 ( zi ) − ω13 W 1 ( zi ) − ω 23 W 2 ( zi )};ω 33.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
