3_POS_Na (1040802), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Будут рассмотрены две схемы электрического возбуждения:генератором напряжения и генератором тока.Будем полагать, что используемые пьезоэлементы выполнены изпьезоактивных материалов гексагонального класса симметрии С6v (к этому классуотноситсябольшинствоискусственнополучаемыхспеканиемвэлектростатическом поле пьезоматериалов [14]). Рассмотрим лишь случаи, когда вУЗКС пьезоэлементы используются так, что вектор электрической индукцииD(z,t) всегда совпадает с ориентацией 3-ей кристаллографической оси симметрии.Также будем считать, что толщина пьезоэлементов в направлении вектораэлектрической индукции значительно меньше других габаритных размеровпьезоэлемента (диаметра - для дисков или колец, ширины - для пластин).Ниже будут рассмотрены лишь пьезоэлементы, для которых направлениемеханических колебаний совпадает либо с 1ой (поперечный пьезоэффект), либо с 3-ей(продольный) кристаллографической осью.Рис.10.Рис.
11.Для случая, когда 3-я кристаллографическая ось совпадает с направлениемколебаний (продольный пьезоэффект) (Рис.11), уравнения прямого и обратногопьезоэффектов соответственно имеют вид [14,15,16]:∂u(1)E ( z , t ) = − h33 + β 33 D( z , t )∂z96Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-∂u(2)− h33 F ( z ) D( z , t )∂zгде с33 - упругая постоянная (коэффициент тензора жесткости) при постояннойиндукции D; h33 - коэффициент тензора пьезоэлектрических постоянных; β33 диэлектрическая непроводимость при постоянной деформации.Для случая, когда 1-я кристаллографическая ось совпадает с направлениемколебаний (поперечный пьезоэффект) (Рис.10), уравнения прямого и обратногопьезоэффектов соответственно имеют вид∂uD( z , t ) = e31 + ε 33ε 0 E ( z , t )(3)∂z∂uN ( z , t ) = F ( z )c31 − e33 F ( z ) E ( z , t ) ,(4)∂zгде с31 - упругая постоянная (коэффициент тензора жесткости) припостоянной напряженности электрического поля E; e31 - коэффициент тензорапьезоэлектрических постоянных; e33 — коэффициент тензора диэлектрическихпроницаемостей при постоянной деформации; ε0 - абсолютная диэлектрическаяпроницаемость вакуума.Предполагая модель внутреннего трения Бокка-Сорокина (условная упруговязкая модель) [17]:∂u ψ 0 ∂ 2 uN ( z , t ) = EF ( z )( +)(5)∂z 2 πω ∂z∂tгде ψ 0 - коэффициент поглощения; для пьезоактивных материалов с учетоммеханической диссипации энергии уравнения обратного пьезоэффекта (2) и (4)примут вид∂u ψ 0 ∂ 2 uN ( z , t ) = EF ( z )( +) − h33 F ( z ) D( z , t ) (продольный пьезоэффект) (6)∂z 2 πω ∂z∂t∂u ψ ∂2 uN ( z , t ) = EF ( z )( + 0) − e31 F ( z ) E ( z , t ) (поперечный пьезоэффект) (7)∂z 2 πω ∂z∂tКак и ранее (см.
главу 1 стр. )уравнение движения (продольного) имеет вид∂N∂2u= ρF ( z ) 2(8)∂z∂tУЗКС может содержать произвольное число пьезоблоков, причем каждыйпьезоблок состоит из p однородных пьезоэлементов.Ограничиваясь рассмотрением лишь стационарных колебаний пригармоническом электрическом напряжении (токе) решение системы уравнений(7),(8) для продольного пьезоэффекта, или (6), (8), для поперечного пьезоэффекта,ищется в видеu( z , t ) = [u1 ( z ) + ju2 ( z )] exp jωt ;N ( z , t ) = [ N1 ( z ) + jN 2 ( z )] exp jωt ;N ( z , t ) = F ( z )c33I k ( z , t ) = [ I k 1 ( z ) + jI k 2 ( z )] exp jωt ;97Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-I k ( z , t ) = [ I k 1 ( z ) + jI k 2 ( z )] exp jωt ;V k ( z , t ) = [V k 1 ( z ) + jV k 2 ( z )] exp jωt ;E k ( z , t ) = [ E k 1 ( z ) + jE k 2 ( z )] exp jωt ;(9)D k ( z , t ) = [ D k 1 ( z ) + jD k 2 ( z )] exp jωt ;где j - мнимая единица; k=1,2, ... p - количество пьезоэлементов в блоке; компоненты тока, протекающего через k-ый пьезоэлемент; - компонентыэлектрического напряжения на обкладках k-го пьезоэлемента; - подлежащиеопределению неизвестные действительные функции смещения и усилия; компоненты вектора напряженности электрического поля в k-ом пьезоэлементе; компоненты вектора индукции в k-ом пьезоэлементе.В случае продольного пьезоэффекта ввиду отсутствия свободных зарядов в∂D k= 0 откуда D k = const .
При поперечномобъеме пьезоэлемента div D = 0, или,∂zkпьезоэффекте можно считать E = const , ввиду того, что электроды напьезоэлементе, расположенны параллельно оси z, совпадающей с направлениемколебаний, и образуют эквипотенциальные поверхности. При этом в любом z-ом∂V kkпоперечном сечении пьезоэлемента E = −(где y - ось перпендикулярная z и∂yнаправленная вдоль 3-ей кристаллографической оси).Система уравнений (6),(7),(8) подстановкой (9) может быть приведена ксистеме обыкновенных дифференциальных уравнений−1du1 ⎡ψ 20 ⎞ ⎤ ⎡ψψ ⎞⎛⎤⎛= ⎢ EF ( z )⎜ 1 + 2 ⎟ ⎥ ⎢ N1 ( z ) − 0 N 2 + q ⎜ s1 − s2 0 ⎟ F ( z ) ⎥,⎝⎝ 4π ⎠ ⎦ ⎣dz ⎣2π2π ⎠⎦−1du2 ⎡ψ2 ⎞ ⎤ ⎡ψψ ⎞⎛⎤⎛= ⎢ EF ( z )⎜ 1 + 02 ⎟ ⎥ ⎢ N 2 ( z) + 0 N1 + q ⎜ s2 + s1 0 ⎟ F ( z ) ⎥,⎝⎝ 4π ⎠ ⎦ ⎣dz ⎣2π2π ⎠⎦dN1= −ρω 2 F ( z )u1 ( z )(10)dzdN 2= −ρω 2 F ( z )u2 ( z )dz⎧ 1 для пьезоактивного материалаk1 = ⎨⎩0 для обыкновенных материаловe31*Eq - при поперечном пьезоэффекте; q=1,2;sq = h33*Dq - при продольном пьезоэффекте; q=1,2;При переходе к матричной форме записи система уравнений (10) приметвид:dW= A ( z , ω ) W ( z ) + Φ( z )dz98Квашнин С.Е.
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-где W( z) = {u1 ( z ), u2 ( z ), N1 ( z), N 2 ( z )} - вектор-столбец неизвестных; A(z,ω) матрица коэффициентов размером n x n;ψ ⎤ψ ⎤ ⎫⎧⎡⎡Φ( z ) = ⎨qF ( z ) ⎢ s1 − s2 0 ⎥, qF ( z ) ⎢ s2 + s1 0 ⎥0,0⎬ — вектор неоднородных2π ⎦2π ⎦ ⎭⎣⎣⎩коэффициентов.Система полученных дифференциальных уравнений численно интегрируетсядля различных значений частоты из диапазона [ω-dev, ω+dev], где ω- собственнаячастота УЗКС, соответствующая рабочему резонансному режиму; 2 dev - шириначастотного диапазона. Причем в случае продольного пьезоэффекта задается токчерез k-й пьезоэлемент и по соотношению:D1k + jD2k = ( I1k + jI 2k ) ( jωFC )где Fc - площадь пьезоэлемента в сечении, перпендикулярном векторуэлектрического поля) определяются компоненты вектора электрическойиндукции, которые затем используются в системе (10).В случае же поперечного пьезоэффекта задаются компоненты электрическогонапряжения на каждом k-м пьезоэлементе и по соотношениюE1k + jE2k = − (V1k + jV2k ) (hC )где hc - толщина пьезоэлемента в направлении вектора электрического поля)определяются компоненты вектора напряженности электрического поля, которыезатем используются в системе (10).В результате решения краевой задачи полностью определяются смещенияU(z,t), усилия N(z,t), механические напряжения и деформации.Далее с использованием местных уравнений для прямого пьезоэффекта (1)при продольном пьезоэффекте вычисляют электрическое напряжение на k-омпьезоэлементеV1k = −[u1k (hC ) − u1k (0)]h33 + hCβ 33 D1k − hCβ 33 D2k tg δ ,V2k = −[u2k (hC ) − u2k (0)]h33 + hCβ 33 D2k + hCβ 33 D1k tg δ ,где k=1...p; tgδ - тангенс диэлектрических потерь; - смещение левого края k-гопьезоэлемента, (q=1,2); -смещение правого края k-го пьезоэлемента, (q=1,2).В случае же поперечного пьезоэффекта используют соотношение дляпрямого пьезоэффекта в записи (3) и вычисляют электрический ток через k-йпьезоэлемент:I1k = FC ω e33 hC [u1k (hC ) − u1k (0)] + ε 33ε 0 E1k ,I 2k{= F ω{eC33hC [u2k (hC ) − u2k (0)] + ε 33}ε E },0k2Затем для обоих перечисленных вариантов легко определяют и полныйэлектрический импеданс k-го пьезоэлемента на частоте :Z k (ω ) = V k / I k .99Квашнин С.Е.
УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-Дальнейшие расчеты не составляют серьезной проблемы. Вычисляютимпеданс блока ZZ из однородных пьезоэлементов в зависимости от способа ихсоединения в блоке. Как количество таких блоков, так и характеристикипьезоэлементов, входящих в них произвольно. Единственное ограничение - впределахкаждогоблокаиспользуютсяоднотипныепьезоэлементы,пространственная ориентация которых одинакова в пределах блока. Далеевыбирают тип электрического генератора (генератор тока или напряжения), егополное выходное сопротивление (r+jx ), электрическую схему соединения блоковпьезоэлементов3.3.2. Магнитострикционные электроакустические преобразователиДля работы на низких ультразвуковых частотах при высоких интенсивностяхчасто применяются магнитострикционные ЭАП - преобразователи, линейныеразмеры которых изменяются в зависимости от напряженности магнитного поля(прямой магнитострикционный эффект).
Этот эффект сильно выражен внекоторых ферромагнетиках: никеле, железе, а также сплавах на основе этихматериалов в ферритах. С прямым магнитострикционным эффектом связантермодинамически обратный ему магнитострикционный эффект: изменениенамагниченности тел при их деформировании.δ0.2h1h2BblLРис.12.Рассмотрим О-образный магнитострикционный преобразовательзамкнутым магнитопроводом (рис.12), из магнитострикционного материала.с100Квашнин С.Е. УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИЕИНСТРУМЕНТЫ ДЛЯ МЕДИЦИНЫ, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИИВОЛНОВОДЫ-Вынужденные продольные колебания магнитостриктора описываютсяследующей системой уравнений:1) уравнение прямого магнитострикционного эффекта (эффект Джоуля) [16]:(11)σ = E H ε − μ 0κaH ,где E - модуль упругости первого рода, H - напряженность магнитного поля,a - магнитострикционный коэффициент [a/м], - абсолютная магнитнаяпроницаемость, - продольная деформация, - магнитная восприимчивость, продольные механические напряжения;2) уравнение обратного магнитострикционного эффекта (магнитоупругийэффект или эффект Э.Виллари) [16]:(12)B = μ 0κaε + μ 0κHгде B - индукция магнитного поля,3) уравнение движения:∂N∂2u= ρF ( z ) 2(13)∂z∂tгде N(z,t) - осевая упругая сила в z-ом поперечном сечении в момент времениt; N ( z , t ) = F ( z )σ ( z , t ); ρ ; - плотность; F(z) - площадь поперечного сечения; t время; z - продольная координата; U(z,t) - смещение z-го поперечного сечения вмомент времени t;4) реологическое уравнение (условная упруго-вязкая модель внутреннеготрения Бокка-Сорокина) (5):Магнитный гистерезис может быть учтен введением комплекснойотносительной магнитной проницаемости~ = μ (1 − j tg δ ) = κ~ +1μ(14)где tgδ - тангенс магнитных потерь;~ = κ + jκ - комплексная магнитная восприимчивость.κ12Скин-эффект вихревых токов приводит к неоднородному распределению попоперечному сечению пластин магнитостриктора индукции магнитного поля B,которое определяется следующим выражением [15]:B ( h)B( x ) =ch mxch mhгде 2h - толщина пластины магнитостриктора, х - текущая координата, m величина, определяемая выражением~ωjμ0m= ±(15)ρE~ - комплексная магнитная проницаемость, ρ где j - мнимая единица, με0удельное электрическое сопротивление.Тогда кажущаяся (средняя по сечению пластины) магнитная проницаемостьопределиться выражением101Квашнин С.Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
