PART_3_3 (1032165)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Часть 2

Математические основы томографии

Раздел I. Преобразование Радона и его свойства

В основе математического аппарата томографии лежит интегральная геометрия, и в первую очередь преобразование Радона. При анализе оптических томографов мы будем широко использовать свойства этого преобразования В настоящем параграфе рас-
смотрим основные математические понятия интегральной геометрии, определение и свойства преобразования Радона.

Свойства преобразования Радона и формулы его обращения целесообразно рассматривать не только для двумерного случая но и для функций трех переменных, так как в последнее время появились работы, в которых исследуются функции, зависящие от большого числа параметров.

§1. Определение преобразования Радона

Пусть дана функция , которая определена в некоторой области D. Р ассмотрим некоторую прямую L на плоскости ху, пересекающую область D. Тогда, интегрируя функцию вдоль линии L, получаем проекцию или линейный интеграл функции f. Интегрирование вдоль всех возможных линий L на плоскости позволяет определить преобразование Радона функции , т.е.:

(1.1)

где ds — приращение длины вдоль прямой L.

Рис. 1.1

Преобразование Радона может быть представлено в другом виде. Запишем нормальное уравнение прямой L:

(1.2)

где р — расстояние от начала координат до прямой (Рис. 1.1),  — угол между р и х. Используя выражения: , нетрудно записать:

(1.3)

Если функция f равна нулю вне области D, то пределы интегрирования в (1.3) могут быть конечны.

Используя векторную запись прямой на плоскости, формулу (1.2) можно представить в виде: (1.4)

где — единичный вектор вдоль оси р; — скалярное произведение двух векторов.

Тогда преобразование Радона может быть записано с использованием -фуикции для выделенной прямой :

(1.5)

или с учетом (1.4):

(1.6)

При фиксированном угле  проекция изменяется по р в направлении, определенном вектором . В тех случаях, когда функция известна только для некоторых значений р,  можно говорить о выборке из преобразования Радона или луч-сумме.

Если задана функция трех переменных , тогда, используя векторную запись и единичный вектор , Можно записать уравнение плоскости интегрирования функции f :

Преобразование Радона будет иметь следующий вид:

(1.7)

где р — расстояние от начала координат до плоскости интегрирования; — единичный вектор вдоль р, который определяет ориентацию плоскости.

В (1.7) интегрирование ведется по плоскостям, а не по прямым. (Здесь и далее, если не указаны пределы интегрирования, но оно ведется по бесконечным пределам.) Для полного задания преобразования Радона необходимо знание f для всех р и .

Рассмотрим два примера преобразования Радона конкретных функций.

1. Пусть , тогда

Использовав ортогональное линейное преобразование: ,

приведем к виду: , тогда

1. Рассмотрим преобразование двумерной rect-функции, определенной формулой:

Из соображений симметрии ясно, что проекция можно рассматривать только в области изменения углов . Нетрудно заметить, что можно выделить три различные o6ласти определения проекций при фиксированном  (Рис. 1.2, прямые 1, 2 и 3). Вычисляя длину отрезка прямой внутри области задания функции , можно получить значения преобразования Радона:

Рис. 1.2 Преобразование Радона двумерной rect-функции

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций