PART_1 (1032161), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Наиболее удобной формой записи изображения является интегральное — уравнение Фретгольма I - го рода: , где  ядро интегрального уравнения, описывающего процесс формирования изображения. В физике называется функцией Грина, в оптике – функцией рассеяния точки, в радиотехнике – импульсной переходной характеристикой, чаще – аппаратной функцией.

Уравнение Фредгольма практически никто не решает. В случае коммутации данного интегрального оператора с оператором сдвига это уравнение может быть преобразовано к виду: . В этом случае интегральное уравнение сводится к уравнению типа свертки.

Операция свертки обладает свойствами:

1. коммутативностью

2. ассоциативностью

1.3.4 Теорема о Фурье  образе свертки

Теорема о Фурье  образе свертки: Если мы имеем свертку двух функций и можем ввести Фурье-образы от каждой из этих функций, то:

Фурье-образ обладает свойством обратимости и не зависит от сдвига, тогда функции и одинаково описывают формирование изображения, следовательно, такой вид записи носит характер фильтрации.

1.3.5 Понятие   функции

Вспомним (х)  функцию: бесконечный импульс в точке, равной нулю. (х) является обобщенной функцией и сама по себе, отдельно, не используется. Она используется только в интегральных записях (это есть ее определение):

.

Это свойство называется фильтрующим, и система формирования изображения является идеальной, когда ее весовая функция равна   функции. В этом случае изображение тождественно объекту, но это недостижимо.

1.4 Восстановление изображений как обратная задача

Для реконструкции изображения нужно сконструировать обратный оператор, т.е. решить обратную задачу. Термины прямой и обратной задачи являются строго математическими.

При решении любой обратной задачи возникают три главных вопроса:

1. Существует ли решение основного интегрального уравнения

2. Если решение существует, то является ли оно единственным

3. Устойчиво ли решение, т.е. приводят ли малые изменения исходных данных к малым изменениям решения.

Если решение существует единственное и устойчивое, то задача называется корректно поставленная, в противном случае – некорректно поставленная или некорректная. Задачи реконструкции изображения являются некорректно поставленными, так как не выполняется ни одно из вышеперечисленных условий.

1.4.1 Существование решения

1. Не так зарегистрировали информацию или малое количество, следовательно, произошла необратимая потеря информации.

2. Ищем не объект, а решение уравнения, которое описывает процесс.

Если решения задачи не существует, то это можно объяснить неадекватностью математической модели реальной ситуации процесса формирования изображения.

Пусть у нас существует интегральное уравнение:

Существование решения этого интегрального уравнения связано с условиями, которые накладываются на изображение , т.е. на процесс регистрации изображения, и на  ядро оператора формирования изображения.

Будем рассматривать более простой случай – уравнение типа свертки (именно этот тип уравнений используется в томографии): .

Оператор формирования изображения инвариантен сдвигу, что является признаком правильности уравнения. Применим преобразование Фурье к двум частям уравнения: , где — функция, которую мы регистрируем и нам известны, тогда получаем решение: .

Для нахождения решения возьмем ОПФ (обратное преобразование Фурье):

Это преобразование возможно в следующих случаях, т.е. в ограничениях:

(интегрируема в квадрате)

(линейно интегрируема)

(интегрируема в квадрате)

Самым главным из этих ограничений является ограничение на .

Формула существует при ; если , то данные частоты не прошли через систему мы не можем регистрировать объект решение не существует.

1.4.2 Единственность решения

Анализируем уравнение типа свертки (аналогично предыдущему случаю):

. Решение:

Предположим, что на некотором интервале , который ограничен и , передаточная функция системы тождественно равна нулю: (рисунок1.3)

Р
исунок 1.3

В то же время на этом интервале . Тогда можно заметить, что если взять уравнение и прибавить произвольную функцию , которая равна нулю вне интервала , то можно найти . Возможны два решения и : , где Т.е. получили практически произвольное число решений ( может быть любая) решение интегрального уравнения типа свертки может иметь бесконечное число решений, так как к функции f(x) может быть добавлена d(x) , Фурье-образ которой равен нулю вне области . Уравнение не имеет единственного решения, когда Фурье-образ ядра в некоторых точках обращается в нуль.

Передаточные функции реальных систем часто имеют нулевые точки или области (даже самые простые оптические системы). Поэтому вопрос единственности и обоснования правильности решения необходим практически во всех случаях реконструкции реального изображения. Для однозначного восстановления изображения необходимы принципы отбора правильного решения. Для этого используют различную априорную информацию об объекте (то, что известно до эксперимента).

1.4.3 Устойчивость решения

До сих пор мы считали, что q( ) известна точно, но мы измеряем все с некоторым шумом.

Возьмем уравнение типа свертки. Условия на функции накладываются те же.

Пусть правая часть известна не точно и существует аддитивная шумовая составляющая:

Возьмем обратное преобразование Фурье и запишем решение:

Рассмотрим полученную добавку. Так как помеха носит сложный характер, то и ошибка точного решения носит сложный характер, следовательно, целесообразно оценить ее дисперсию:

Р ()  спектральная плотность шума. Р ()=

Если , то  на изображении резкие артефакты.

Как правило, Н() имеет зависимость, приведенную на рисунке 1.4:

Рисунок 1.4

Б
олее высокие частоты, отвечающие за более тонкую структуру изображения, передаются хуже. Низкие частоты передаются хорошо. Это говорит о том, что функция при стремится к , что плохо, т.к. чаще шум белый и остается постоянным по амплитуде. Как правило, в реальной ситуации передаточная функция системы стремится к нулю при , а реальная помеха содержит компоненту белого шума и, следовательно Р () сопst при . Поэтому дисперсия решения оказывается бесконечной. Это приводит к тому, что на изображении возникают сложные высокие частоты (т.е. сильно увеличивается спектральные составляющие шума). Это те самые артефакты, которые носят сложный характер и искажают изображение. Следовательно, Так решать задачу нельзя (т.е. неточная правая часть). Нужно искать другие способы решения задачи.

Возникновение ложных частот в изображении происходит, в основном, в области высоких частот. При этом, чтобы не потерять истинные высокие частоты, присущие объекту, необходимо использовать всю имеющуюся априорную информацию об объекте.

В практических задачах восстановления мы практически уверены в существовании решения и его единственности.

Неустойчивость решения является неотъемлемой частью этих задач и делает их всегда некорректно поставленными. Математики придумали много эмпирических решений, но задачи были частными.

В 60-е годы Тихонов А.А. разработал общие принципы решения таких задач. (Метод реализации Тихонова используется во всех томографах).

Характеристики

Список файлов лекций