20081086 (1032030), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Это приводит к нарастанию циркулирующего по петле сигнала при петлевом усилении Kn > 1 или к его затуханию при Kn < 1. Нарастаω)| (сплошная линия) иРис. 26. АЧХ объекта 2#го порядка |W(jωмодуль спектральной плотности различных тестовых воздействийω)|: прямоугольного импульса (штриховая линия), двойного|u(jωимпульса (пунктирная линия), скачка (штрихпунктирная линия)СТА 1/2008ние сигнала в некоторый момент начинает ограничиваться, например, нелинейностью типа «насыщение», и тогда в системеустанавливаются стационарные колебания. При этом эффективный коэффициент усиления, найденный по первой гармонике колебаний на частоте ω180, становится равным единицеKn = 1 (так как после установления стационарных колебанийсигнал больше не усиливается).Таким образом, в рассмотренной системе возникают незатухающие колебания, когда усиление по контуру с обратной связью (петлевое усиление) равно единице на частоте фазовогосдвига в объекте 180°.
В нелинейной системе петлевое усилениена малом сигнале может быть больше единицы до момента, когда колебания установятся. В контуре регулирования с идеальным релейным регулятором (рис. 28) усиление до начала колебаний равно бесконечности. Поэтому, если фазочастотная характеристика включает в себя точку со сдвигом фазы 180°, возникаютколебания. С увеличением порядка объекта (рис. 29) сдвиг пофазе становится более 180° и условия для возникновения колебаний выполняются всегда.Обычно АЧХ строят в логарифмическом масштабе по обеимкоординатным осям и называют диаграммами Боде. При этомнаклон линейных участков АЧХ измеряют в децибелах на декаду (дБ/дек.). Например, объект первого порядка (1) имеет наклон АЧХ –20 дБ/дек.
(рис. 30), и при L = 0 этому наклону взаимно однозначно соответствует максимальный фазовый сдвиг–90° при ω → ∞ (рис. 31, пунктирная линия). Объект второгопорядка (2) имеет наклон АЧХ –40 дБ/дек., и ему соответствуетмаксимальный фазовый сдвиг –180° при ω → ∞ (рис. 26). Дляобъекта третьего порядка наклон АЧХ равен –60 дБ/дек., и фазовый сдвиг составляет –270°.Из изложенного следует, что система регулирования с объектом первого порядка без транспортной задержки всегда устойчива, даже в контуре с релейным регулятором. Система с объектом второго порядка может быть неустойчивой при ω → ∞.
Система с объектом третьего порядка и система любого порядка странспортной задержкой в контуре с релейным регуляторомвсегда находится в режиме автоколебаний.Поэтому качество системы управления в первую очередь нужно обеспечивать путём проектирования объекта управления сминимальным порядком (если это возможно), и только послеэтого проектировать регулятор для него. Например, некоторыесистемы термостатирования используют нагревательный элемент в виде тонкой проволочки, через которую продувается возРис.
27. Фазочастотная характеристика объекта управления 2#гопорядка: штриховая линия — без транспортной задержки, сплошнаялиния — с задержкой93www.cta.ru© 2008, CTA Тел.: (495) 2340635 Факс: (495) 2321653 http://www.cta.ruВ ЗАПИСНУЮ КНИЖКУ ИНЖЕНЕРАдух. Такая система имеет первый порядок передаточной функции, и даже релейный регулятор для неё даёт хорошее качестворегулирования.Система с объектом первого порядка перестаёт быть устойчивой, если в передаточную функцию добавляется транспортнаязадержка. При этом объект перестаёт быть минимальнофазовым и, несмотря на то что наклон АЧХ остаётся равным–20 дБ/дек. (рис.
30), в системе возникают колебания, поскольку фазовый сдвиг транспортной задержки ϕ = Lω растёт неограниченно с ростом частоты ω и на частоте ω180 достигает –180°(рис. 31, сплошная линия).Поскольку в реальном объекте вследствие его пространственной протяжённости всегда появляется небольшая транспортнаязадержка, в любой системе с релейным регулятором возникаютколебания, однако их амплитуда на выходе объекта может бытьпренебрежимо малой вследствие резкого снижения коэффициента передачи объекта с ростом частоты (рис. 30).Таким образом, замкнутый контур с объектом управления ирелейным регулятором позволяет найти частоту ω180.
Найдёмтеперь коэффициент передачи объекта на этой частоте. К сожалению, его можно найти только приближённо, поскольку наРис. 28. Система с релейным регулятором в контуре регулированиядля оценки параметров ω180 и K18094вход объекта в системе с релейным регулятором воздействуетпоследовательность прямоугольных импульсов, которая получается после прохождения сигнала обратной связи y(t) черезрелейный регулятор. Приближённый метод расчёта основан наразложении входной последовательности прямоугольных импульсов в ряд Фурье с отбрасыванием всех гармоник, кромепервой.
Возможность замены последовательности прямоугольных импульсов их первой гармоникой основана на том, чтообъекты с передаточными функциями вида (2) являютсяфильтрами, ослабляющими высшие гармоники. Серия прямоугольных импульсов, пройдя через такой объект, становитсяочень близкой к синусоидальному сигналу (рис.
32). Поэтомупосле разложения входного сигнала в ряд Фурье можно считать, что через объект проходит только первая гармоника, а остальные подавляются.Если размах прямоугольных импульсов на входе объекта равен 2Umax, то амплитуда первой гармоники этих импульсов, какизвестно из курса радиотехники, равна 4Umax/π. Если обозначить амплитуду первой гармоники сигнала на выходе объектачерез Ymax, то искомый коэффициент передачи системы на частоте ω180 будет равен отношению амплитуды на выходе к амплитуде на входе:π Y max.K 180 =(42)4 U maxПример.
Рассмотрим АЧХ (рис. 26) и ФЧХ (рис. 27) объектавторого порядка вида (40). Из графика на рис. 27 можно найтичастоту ω180 = 1,84, а по рис. 26 – коэффициент передачи объекта на этой частоте K180 = 0,026. То есть при включении такогообъекта в контур с релейным регулятором получим колебания счастотой ω180 = 1,84 при усилении K180 = 0,026.Рис. 29.
Переходная характеристика объектов первого (n = 1),второго (n =2) и третьего (n =3) порядка с передаточной функциейвида 1/(1 +sT)nРис. 31. Фазочастотная характеристика объекта первого порядка безтранспортной задержки (штриховая линия) и с ней (сплошная линия)Рис. 30. Логарифмическая амплитудно#частотная характеристикаобъекта первого порядка (T = 1, L = 0,2)Рис. 32. Сигнал на входе (прямоугольные импульсы) объектас передаточной функцией, показанной на рис. 26, 27, и на еговыходе (сплошная линия, близкая по форме к синусоидальной)www.cta.ruСТА 1/2008© 2008, CTA Тел.: (495) 2340635 Факс: (495) 2321653 http://www.cta.ruВ ЗАПИСНУЮ КНИЖКУ ИНЖЕНЕРАПримерно эти же значения можно получить из эксперимента с релейным регулятором по формуле (42), если из графиковна рис. 32 найти значения амплитуды на выходе Ymax = 0,035 ивходе Umax = 1, а затем по формуле (42) рассчитать значениеK180 = 0,027.
Значение частоты ω180 = 1,8 можно найти непосредственно по графику на рис. 32. Таким образом, приближённая формула в данном случае даёт достаточно низкуюпогрешность (около 4%).Для объекта первого порядка с транспортной задержкой L = 0,2и постоянной времени T = 1 (ω = 2π/Τ) из рис.
31 можно найтиω180 = 8,44, а из рис. 30 определить K180 = 0,118. Форма колебаний в системе с релейным регулятором показана на рис. 33(штриховая линия). Особенностью объекта первого порядка является существенное отличие формы колебаний от синусоидальной, что делает слишком грубым её аппроксимацию первойгармоникой ряда Фурье, которая была использована при получении формулы (42). Для устранения этой проблемы вместо релейного регулятора можно использовать линейный усилитель,чтобы не искажать форму сигнала в системе.
Тогда форма колебаний становится близкой к синусоидальной (сплошная линияна рис. 33). Такая колебательная система даёт довольно точныезначения ω180 = 8,49 и K180 = 0,096. Однако для обеспечения режима, близкого к линейному, петлевое усиление должно бытьравно 1, то есть усилитель должен обеспечить усиление в 1/K180раз, где параметр K180 априори неизвестен. Это является основным недостатком метода колебаний в линейном режиме.Важным условием, которое нужно соблюдать при использовании идентификации в режиме релейного регулирования, является симметричность уровней umax и umin относительно уровня сигнала ur, при котором y = r, то есть должно выполняться условие:umax − ur = ur − umin .(43)В противном случае скорости нарастания сигнала выше уставки и спада ниже неё будут сильно различаться, а форма колебаний в системе будет существенно отличаться от синусоидальной(рис.
34), что приведёт к высокой погрешности данного метода.Аналогичный эффект возникает и в системах более высокогопорядка, если транспортная задержка превышает наибольшуюпостоянную времени. С ростом задержки колебания становятсясначала треугольными, затем приближаются к трапецеидальным и прямоугольным. Это объясняется тем, что с ростомтранспортной задержки реакция объекта на каждый из фронтовсигнала на выходе реле приближается к форме реакции нафункцию единичного скачка (рис. 29). В частотной области указанный эффект объясняется тем, что с ростом задержки точкаω180 (рис. 30 и 31) смещается влево, то есть фильтрующие свойРис.
33. Задающее воздействие (скачок) и форма сигнала на выходезамкнутой системы первого порядка в линейном режиме (сплошнаялиния) и с релейным регулятором (штриховая линия)СТА 1/2008ства объекта ухудшаются, и он транслирует прямоугольныйвходной сигнал на свой выход с меньшими искажениями.Для иллюстрации высокой разрешающей способности описанного метода на рис. 35 приведены процессы в двух моделях,у которых переходные характеристики различаются слабо, однако частоты колебаний в контуре с релейным регулятором отличаются в 4 раза. Благодаря узкой полосе сигнала он можетбыть эффективно выделен на фоне шумов, например, методомнаименьших квадратов.Описанный метод позволяет получить только одну точкупередаточной функции объекта, то есть два параметра, которых недостаточно для нахождения трёх параметров ПИДрегулятора. Поэтому используют дополнительное соотноше4ние Ti = 2 Td , которое позволяет найти третий параметр.KЧтобы получить и другие точки АЧХ, можно использовать реле с гистерезисом или фильтры, сдвигающие точку ω180 в сторону более низких частот.Описанный метод релейной идентификации является в настоящее время самым распространённым в ПИДрегуляторах савтоматической настройкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
