Айвазян С.А., Бухшгабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. - Прикладная статистика (1027378), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Итак, функция 1(Х), с помощью которой можно было бы производить сравнительную оценку анализируемого «выходного качества» на рассматриваемых объектах, определена лишь с точностью до произвольного монотонного преобразования. Тем не менее для построения алгоритма ее восстановления было бы удобно параметризовать модель (15.1), т. е.
определить параметрическое семейство г =- (1 (Х; «»)), в рамках которого будет производиться поиск целевой функции г' (Х). Выбор этого параметрического семейства, как правило, не удается подкрепить исчерпывающим теоретическим обоснованием, а потому с этого момента исследователь имеет дело не с целевой функцией 7 (Х), а с некоторой ее аппроксимацией ( (Х). Это не должно смущать. Оперирование с аппроксимацией избавляет от необходимости постулировании существования самой целевой функции (что в ряде ситуаций является весьма спорным моментом); в то время как сама целевая функция как объективно существующая универсальная скалярная характеристика выходного 423 качества может и не существовать, ее аппроксимация имеет определенный условный смысл и может плодотворно использоваться как некая вспомогательная характеристика в о< раниченном интервале времени и прп некоторых заранее оговоренных условиях.
Имея в виду достаточную однородность обследуемых объектов по всем неучтенным переменным, т. е. по переменным, не вошедшим в состав х<'>, ..., х<я>, и ограниченность интервала времени, в течение которого будем использовать искомую аппроксимацию целевой функции, а также реализуя идею разложения любой функции в ряд Тейлора, ограничимся в дальнейшем изложении аппроксимациями линейного и квадратичного вида, т.
е. г(х; с>) = ~~>, В<к<'>' <= < Р Р У(Х; Е)= ~ Е<х«>+ 1Р В,,х<'>х<». <= <, >=< Коэффициенты 0< и Оы оцениваются статистически (см, $15.3) по исходным данным, структура и происхождение которых описываются в следующем параграфе. 1б.2. Исходные данные Итак, пусть речь идет о построении непосредственно не поддающегося измерению единого сводного показателя эффективности функционирования (качества) объекта и пусть с этой целью были собраны исходные данные по п таким объектам: 0„0„., Оа. На основании этих исходных данных как раз и оцениваются параметры с> искомой целевой функции 1 (Х; 6). Эти исходные данные состоят из двух частей: экспертной и статистической (отсюда название метода).
Экспертная часть исходных данных. Эта часть исходных данных относится к сведениям о значениях случайной величины у; (< — номер обследованного объекта) в модели (15.1) и попучается с помощью специально организованного опроса экспертов и соответствующей статистической обработки экспертных оценок. При этом сведения об у< (1 = < Прн конкретнаацнн постановки аадачн коэффициентам 9< н Вм часто удается дать содержательную интерпретацию 1<881. = 1,2, ..., и) получают от экспертов в одной из следующих форм.
Форма (а) — наиболее информативный (а потому наиболее трудный для экспертов) вариант. Предусматривает получение экспериизых балльных оценок выходного качества Умэ Умэ " Увйэ У1йээ Уййэ~ " Увйэ (15.2а) Уз ° Уй~.." Увозе где уы, — оценка выходного качества объекта 01, полученная от 1'-го эксперта (здесь и — число оцениваемых объектов, т — число участвующих в оценке экспертов). Форма (б) — средний по информативности (и по степени трудности для экспертов) вариант. Предусматривает получение лишь зкслергпньзх упорядочений обследованных объектов по степени проявления в них анализируемого свойства, т. е. ранжировок вида )~11э. )~ззэ, ", )~взэ )т1йэ~ )1йвв " ~ )звйэ (15.26) Тм=(умом), 1", 4=1, и, 1=1,2,...из (15.2в) где уэ„ы — результат парного сравнения /-м экспертом объектов Оэ и Ою может выражаться либо единицей, либо нулем по одному из следующих правил: если эксперт производит сравнение объектов 01 и Оз типа их упорядочения по анализируемому свойству, то 1, если по мнению 1-го эксперта Оз 111.1э — не хуже Оэ, (15.2в') 0 — з противном случае; )~1тэ у(йэвэ~ .-~ )(вяз~ где )сззэ — ранг (место), присвоенный объекту 01 у-м экспертом в ряду из и обследованных объектов, упорядоченном этим экспертом по степени проявления анализируемого свойства.
Форма (з) — наименее информативный (и наименее трудныи для экспертов) вариант. Информация от каждого ((тго) эксперта поступает в форме булевой матрицы парныл срав- нений если эксперт производит сравнение объектов О, и Ол лишь с точки зрения принадлежности этих объектов к однородному (по анализируемому свойству) классу, то 1, если объекты О> и О„ однородны, уь.>ъ = (! 5.2в') 0 — в противном случае. Вычислительные трудности, связанные с реализацией алгоритма оценивания параметров 8 искомой целевой функции 1(Х; О), естественно, возрас>зют по мере перехода от более информативных вариантов экспертной информации об у, к менее информативным.
Статистическая часть исходных данных. !Саь выше уже отмечено, входные переменныс (частные критерии) х<», х>з>, ..., х<р>, на основании которых формируется представление об исследуемом выходном качестве, поддаются непосредственному измерению (регистрации) на каждом из обследуемых объектов. Поэтому статистически обследовав анализируемые объекты О,, О„..., О„по переменным х(», х»', ..., хы>, будем иметь статистическую часть исходных данных в виде матрицы (таблицы) типа «объект — свойстволп х)" хг" ... х'„" "*' '4*' Х= х, хл (15.3) х<г> х<р> ...
хо'> л "' л где х,'" — значение 1-й входной переменной, зарегистрированное на >'-м объекте. Таким образом, приступая к оценке параметров 6 искомой целевой функции 1(Х; с>) в модели (!5.1), исследователь располагает исходной информацией об объектах О„ Оз, ..., О„, состоящей из данных таблицы (15.3) и одного из вариантов (15.2а) — (! 5.2в) сведений об у,. 16.3.
Алгоритмические и вычислительные вопросы построения неизвестной целевой функции 15.3.1. Общая логическая схема оценивания параметров 9 целевой функции ) (Х; 6). Располагая конкретными значениями 8, параметров 8, для каждого объекта О, можем вычислить величину единого сводного показателя г (Х,; >В,) и далее, ориентируясь на сравнение значений ~ (Х,; 8,), >' (Хз; Оз), ..., >' (Х„; Оз), получить основанную на целевой функции ранжировку объектов по искомому выходному ка- честву )~»(В«).
)~»(Ф«), ", Й«(В») (15.4) ! у;,=)'(Х; Е)+5 (Х); Еб,(Х,) =(), 1)5,(Х») =а«т, (15.5) где величина (как правило, неизвестная) о«1 характеризует погрешность в оценке /-м экспертом выходного качества 1-го либо их разбиение на однородные (по 1) классы, которое так же, как и уже имеющиеся экспертные разбиения (15 2в), может быть представлено в виде булевой матрицы у (6«; Ь). (Способ получения такого ра«биения с помощью вычисления значении целевон функции 1 (Х,; 6») и смысл «свободного» скалярного параметра Л объяснены ниже). Оценку (т неизвестных параметров 6 предлагается подбирать таким образом, чтобы; 1) минимизировать расхождения в экспертных (уп») и полученных с помощью нелевой функции (~(Х,; 9)) балльных оценках выходного качества (в варианте (а) экспертной информации); 2) максимизировать согласованность экспертных и полученной с помощью целевой функции ранжировол объектов по анализируемому выходному качеству (в варианте (б) экспертной информации); 3) минимизировать расхождения в экспертных и полученном с помощью целевой функции разбиениях объектов на классы (в варианте (в) экспертной информации).
Из сказанного следует, что экспертно-статистический метод построения единого сводно~ о показателя нацелен на формализацию (в виде соответствуюгцим образом подобранной целевой функции 1 (Х; 8)) тех критерийных установок, которыми руководствовались привлеченные к контрольному эксперименту эксперты при формировании своих оценок вида (15.2а), (15.26) или (15.2в).
Поэтому сос«позгпельность и эффективность этого метода целиком зависипг от компетентности и согласованности используемых в нем экспертных оценок. 15.3.2. Оценивание неизвестных параметров целевой функции при балльных экспертных оценках выходного качества. В этом случае задача сводится к обычной схеме ре» ресснонного анализа и соответственно к использованию метода наименьших квадратов. Действительно, располагая данными вида (15.2а) — (15.3), можем записать модель (15.1) в виде объекта. Критерий метода наименьших квадратов дает нам оценку 6 векторного параметра 6 как решение оптимизаци- онной задачи вида т л — (р⻠— 'г(Х;; 8))»-ь ш(п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
