Айвазян С.А., Бухшгабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. - Прикладная статистика (1027378), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Решение этой условно экстремальной задачи очевидным образом сводится к нахождению максимума в выражения ~', (сот (х>'>, ~<'>))э при условии 0(Р> = 1. ~=1 Для построения следующегофактора ><'> (второй главной компоненты) рассматриваются случайные величины Ф"> = .= хо> — сот (х<», (Ы>) )Ы>. Для этих случайных величин аналогичным образом находится свой фактор, который и является фактором >>'>, и т. д. Очевидно, что при реализации первого алгоритма метода экстремальной группировки признаков для каждой группы признаков А> строится фактор, имеющий смысл первой главной компоненты для признаков этой группы.
414 В центроидном методе общий фактор ищут в виде ~<В ~ч;~ ~,х(п (14.19) где я, = + 1 и д; выбирается так, чтобы максимизировать величину 0~о ~ = 0 ~ ~~ д, хо > (14.20) Сравнение выражений (14.19) и (14.20) с выражениями (!4.17) и (14.! 8) показывает, что максимизация функционала У, приводит к построению для каждой группы признаков фактора, отличающегося на некоторый множитель от первого общего фактора, который был бы построен для этои группы центрондным методом. 14.3.3. Метод корреляционных плеяд. Задача разбиения признаков на группы часто имеет и самостоятельное значение. Например, в ботанике для систематизации вновь открытых растений делают разбиение набора признаков на группы так, чтобы 1-я группа характеризовала форму листа, 2-я группа — форму плода и т.
д, В связи с этим и возник эвристический метод корреляционных плеяд [48, 1511. Метод корреляционных плеяд, так же как и метод экстремальной группировки, предназначен для нахождения таких групп признаков — «плеяд», когда корреляционная связь, т. е.
сумма модулей коэффициентов корреляции между параметрами одной группы (внутрнплеядная связь) достаточно велика, а связь между параметрами из разных групп (межплеядная) — мала. По определенному правилу по корреляционной матрице признаков образуют чертеж — граф, который затем с помощью различных приемов разбивают на подграфы. Элементы, соответствующие каждому из подграфов, и образуют плеяду.
Рассмотрим корреляционную матрицу В= (г„), ~', / =1, 2, , р, исходных признаков. Нарисуем р кружков; внутри каждого кружка напишем номер одного из признаков. Каждый кружок соединяется линиями со всеми остальными кружками; над линией, соединяющей 1-й и )-й элементы (ребром графа), ставится значение модуля коэффициента корреляции )гц). Полученный таким образом чертеж рассматриваем как исходный граф. Задавшись (произвольным образом илн на основании предварительного изучения корреляционной матрицы) некоторым пороговым значением коэффициента корреляции г, исключаем из графа все ребра, которые соответствуют коэффициентам корреляции, по модулю меньшим г,. Затем задаем некоторое г, ) г«и относительно него повторяем описанную процедуру. При некотором достаточно большом г граф распадается на несколько подграфов, т. е.
таких групп кружков, что связи (ребра графа) между кружками различных групп отсутствуют, Очевидно, что для полученных таким образом плеяд внутриплеядные коэффициенты корреляции будут больше г, а межплеядные — меньше г. В другом варианте корреляционных плеяд 148! предлагается упорядочивать признаки и рассматривать только те коэффициенты корреляции, которые соответствуют связям между элементами в упорядоченной системе. Упорядочение производится на основании принципа максимального корреляционного пути: все р признаков связываются при помощи (р — 1) линий (ребер) так, чтобы сулима модулей коэффициентов корреляции была максимальной. Это достигается следукяцим образом: в корреляционной матрице находят наибольший по абсолютной величине коэффициент корреляции, например !гь ! =- г«») (коэффициенты на главной диагонали матрицы, равные единице, не рассматриваются).
Рисуем кружки, соответствующие параметрам х«п и х~ ! и над «связью» между ними пишем значение г«п. Затем, исключив»«'~, находим наибольший коэффициент в т-м столбце матрицы (это соответствует нахождению признака, который наиболеесильно после хи! «связан» с х<"'~, и наибольший коэффициент в 1-й строке матрицы (это соответствует нахождению признака, наиболее сильно после х~"! «связанного» с х(п). Из найденных таким образом двух коэффициентов корреляции выбирается наибольший — пусть это будет !гп! =-««»>.
Рисуем кружок х<п, соединяем его с кружком х<п и проставляем значение г<4. Затем находим признаки, наиболее связанные с хп~, х<"'> и хп!, и выбираем из найденных коэффициентов корреляции наибольший. Пусть это будет !гэ «! = г~м. Требуем, чтобы на каждом шаге получался новый признак, поэтому признаки, уже изображенные на чертеже, исключаются, следовательно, д Ф 1, д ~ т, д Ф 1.
Далее рисуем кружок, соответствующий х<и, и соединяем его с х~п и т. д. На каждом шаге находятся параметры, наиболее сильно связанные с двумя последними рассмотренными параметрами, а затем выбирается один из них, соответствующий ббльшему коэффициенту корреляции. Процедура заканчивается после (р — 1)-го шага; граф оказывается состоящим из р Кружков, соединенных (р — 1) ребром. Затем задается пороговое значение г, а все ребра, соответству- 416 ющие меньшим, чем г, коэффициентам корреляции, исключаются из графа.
Назовем незамкнутым графом такой граф, для которого для любых двух кружков существует единственная траектория, составленная из линий связи, соединяющая эти два кружка. Очевидно, что во втором варианте метода корреляционных плеяд допускается построение только незамкнутых графов, а в первом варианте такое ограничение отсутствует. Поэтому разбиения на плеяды, полученные разными способами, могут не совпадать. В работе (97[ приводятся результаты экспериментальной проверки алгоритмов экстремальной группировки параметров, а также сравнение полученных результатов с результатами, даваемыми методом корреляционных плеяд. Эксперимент проводился на физиологическом материале: исследовались влияния шумов и вибрации на работоспособность и самочувствие.
Регистрировались 33 признака (р =- 33), из них 7 параметров, характеризующих температуру тела; 4 — кровяное давление; )4 — аудиометрию (порог слышимости на заданной частоте); 2 — дыхание; 4 — силу и выносливость рук и 2 (особенных параметра) — пульс и скорость реакции, С точки зрения физиолога «идеальным» было бы разбиение, при котором все характеристики температур образовали бы отдельную группу; параметры, характеризующие давление, — свою отдельную группу и т.д., обособленные параметры образовали бы группы, состоящие из одного элемента. Наиболее близким к «идеальному» оказалось разбиение, полученное вторым алгоритмом экстремальнойгруппировки, хотя алгоритм и присоединяет обособленные параметры к другим группам. Наименее точные (среди трех сравниваемых алгоритмов) результаты дал метод корреляционных плеяд. Исторически раньше возникшие различные варианты метода корреляционных плеяд являются в действительности несколько упрощенными эвристическими версиями более совершенных в математическом плане алгоритмов исследования структуры связей между компонентами многомерного признака, использующими графы-деревья (см.
Н2, гл. 4). !4.3.4. Снижение размерности с помощью кластер-процедур. В ряде ситуаций удобно рассматривать признаки х~о (! = = !,2, ..., р) как одномерные наблюдения и использовать многократное повторение этих наблюдений (на п исследуемых объектах) для введения н вычисления таких естественных мер близости между объектами (признаками) х<'> и х0>, !4 Заказ № 291 4!7 какими являются в данном случае абсолютная величина коэффициента корреляции гы или корреляционное отношение т(;; (вычисления гы и т(ы и их свойства см., например, (12))!. Следуя идее обобщенного (степенного) среднего (см. гл. 5), введем в качестве меры близости групп признаков А! и А» величину ля=[ — ' У Х ! ц~ ~'.
к<т>ЕА! х(!>ЕА, где т — некоторый числовой параметр, выбор конкретного значения которого находится в нашем распоряжении; тт— число признаков, составляющих группу А . Аналогично вводится средняя мера близости )ч (А!) признаков, входящих в одну группу л(л!=л!!'-[ — ', т т ~ „!)'. кп)ЕА к<!)ЕА! Если желаемая размерность р' (р' ( р) задана заранее, то исходные р признаков х!'!, хта>, ..., х!л! разбивают на р' однородных групп одним нз двух способов: либо, последовательно объединяя в одну группу два наиболее близких, в смысле г„или Я~„, признака (нли признак и группу, или две группы) до тех пор, пока не останется ровно р' групп (иерархнческая кластер-процедура), либо, находя такое разбиение исходных признаков на р' групп, при котором усредненная мера внутрнгрупповой близости признаков Я<т! = р ~! = [, Х лев (А!))')' была бы максимальной.
Последнего !,Р'1= ! обычно удается добиться с помощью простого перебора вариантов, так как общее число признаков р, как правило, не ! Если для описания меры близости между х(о и х<й используется корреляционное отношение, то предварительно пелесообразно произвести симметризаиию этой меры, рассматривая в качестве симметричной характеристики степени близости этих признаков вели- 1 чину чту= (чы+ чу!), где чы — обычное корреляпионное отно- 2 шение переменной хтт! по переменной х<!!. 418 превосходит несколько десятков, а р' — несколько единиц.
После этого от каждой группы следует отобрать по одному представителю, используя для этого технику метода главных компонент или факторного анализа (отдельно внутри каждой группы). Если желаемая размерность р' заранее не определена,то разбиение исходных признаков на группы, а следовательно, и выбор неизвестного р' можно подчинить задаче максимизацнн фуНКцИОНаЛа тИПа Л1'1 —,- Я„ГдЕ Ят — ВВЕдЕННая в гл. 5 мера концентрации разбиения, т. е. Здесь т (х<'>) — число признаков в группе, содержащей признак х1'1. Можно воспользоваться также и двойственной формулировкой экстремальной задачи разбиения объектов (признаков) на неизвестное число групп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
