Айвазян С.А., Бухшгабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. - Прикладная статистика (1027378), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Однако по уровням значимости а каждой отдельной стадии такой процедуры трудно сколько- нибудь точно судить о свойствах всей последовательной процедуры в целом. Пользуясь асимптотической нормальностью оценок 14 н У, можно было бы попытаться строить критерии для проверки гипотез, касающихся значЕний факторных нагрузок, на- 404 пример, гипотез о том, что некоторые признаки не зависят от заранее определенных факторов, т.
е. что на определенных местах матрицы «1 стоят элементы, статистически незначимо отличающиеся от нуля. Однако построение этих критериев затруднено из-за сложности процедуры вычисления ковариационных матриц оценок (1 и т'г. Правда, это затруднение можно обойти, используя в качестве приближенного решения критерий незначимого отклонения от нуля множественного коэффициента корреляции между заданным исследуемым приэнакомхп1 и заранее определенным на. бором факторов ~<' ~, Я ~, ..., '1 'ч' (д < р').
14.2.4. факторный анализ н задачах классификации. Выше уже была отмечена близость моделей главных компонент и факторного анализа. Поэтому замечания, сформулированные в гл. !3, относящиеся к общим идеям использования главных компонент в задачах классификации и к так называемому дуализму в постановке задачи, в полной мере относятся и к модели факторного анализа. Будет полезно пояснить это на конкретном примере с использованием специфики и терминологии именно фактор- ного анализа. В табл.
14.1 приведены коэффициенты корреляции между отметками по шести школьным предметам, подсчитанные по выборке иэ 220 учащихся!96!. В последних двух столбцах таблицы даны факторные нагрузки д;„д;, на исследуемые признаки в бифакторной модели (р' =- 2), подсчитанные по приведенной здесь корреляционной матрице с помощью центроидного метода.
Простой анализ величин и знаков этих нагрузок склоняет нас к тому, чтобы интерпретировать первый фактор ~н> как фактор общей одаренности, а второй фактор ~~а> — как фактор гуманитарной одаренности. В прямой постановке задачи классификации (т. е. при классификации обследованных учащихся) исследователь должен был бы в первую очередь определить, как эти два общие фактора7<П и7(а> выражаются через исходные признаки х<Ч,хМ, ...,хга>; затем поДсчитатьзначениЯ (1 т">, ф', т =- 1,2, ..., 220) этих двух факторов для каждого из обследованных учеников и, наконец, нанести 220 точек (гт~ ', 1'м) на плоскость(~ц 07<«>. Расположение«точек-учеников» ~ Банников 8. А. Аппроксимацна матриц и ее приложение а факторном анализе // Алгоритмическое н программное обеспечение при.
кланиого статистического анализа. — Мл Наука, !980, — С, 208 — кэз. Таблнпа 141 Натру»н» Факторон ке прнзнакн Номер прнннакн Соаерма- тепьнма еммел прн»нека 1 0,439 0,4!О 0,288 0,248 0,337 0,329 0,320 0.611 0,197 0,164 0,190 О, 181 0,458 0,3 84 0,570 — 0,365 — 0,335 — 0,212 0,683 0,595 0,464 0,686 '!. 0,470 0,464 на плоскости позволило бы исследователю получить ряд вспомогательных сведений, полезных прн формулировке окончательных выводов (наличие четко выраженных «сгущений точек» вЂ” классов, их число, их интерпретация н т.
п.)'. Кстати, метод Г. Томсона (14.! 3) дает в качестве оценки общих факторов выражения: 71»==0245х»>+0208х>з>+О 158х>з>+О 278х>4>+ + 0,271х« з>+ 0,157х>е> ~<а> = 0,352х> '> ->-0,201х«з> + + 0,309х> з > — 0,35 1х< ' > — 0,303х> Ы вЂ” О, 12бх> ю, При обратной (двойственной) постановке задачи, т. е. при классификации исследуемых иризнаковх»>, х>з>, ..., х>е>, оказывается полезной следующая геометрическая ннтерпре. тацня общих факторов н исходных признаков. Рассмотрим рнс. 14.1, на котором осями координат являются общие факторы 7'14> и 11»>, а координаты точек (1 !Р, Я') =- (дп, п>е) определяются нагрузками 4-го исходного признака на общие факторы (4 = 1, 2, ..., 8).
Соответственно точку (д», д>з) удобно интерпретировать как изображение 4'-го исходного признака л«». Расположение точек на рнс. 14, ! свндетельст- «Апалогачиав задача классвфикации ткачих прп всследовавпи их провзводвтельпоста труда упомпиалась в гл. 13.
Отметка погзльскому языку к> > апглка. скому языку к> > всторав к(е> арифметв- 14> алгебре к>з> геометрии к>в> 0,439 ! 0,351 0,410 0,351 1 0,288 О, 354 0,164 0,329 0,320 0,190 0,248 0,329 0,181 аует о естественном распадении совокупности исходных признаков на две группы: группу гуманитарных признаков (х(<), х(а), х(а)) и группу математических признаков (х(а), к(а) ' х(а)) ' Подобная геометрическая интерпретация помогает выбрать вращение системы общих факторов, наиболее подходящее в отношении возможности их содер- р"' жательной интерпретации. Дело в том, что, как уже отмечали, параметры моде- ол ли факторного анализа, в том числе и сами общие факторы г(>), г(а), ..., г(н', определяются я не однозначно, а лишь с точностью до некоторого ортогонального преобразования, т.
е. с о точностью до вращен ия осей ~(<), ~(а), ..., >(в') в пространстве. При этом выбор окончательного ре<пения, т. е. закрепление системы ~(>), )*(а), ..., '>(и') в определенном положении, находится в распоряжении исследовател я. Другими словами, исследователь Рис >4!. Иаобрах<еине исходных Ре>пить во" приаиаиов ко), „, х(а) в сносности двух пРос: как, Распола- общих Рахторов <<и, ")<а> гая некоторым частным решением Г(х), Г(а), ..., 'Гол>, полученным, например, с помощью центроидного метода„выбрать такое ортогональное преобразование, такой поворот осей Г(а), ..., ~(в'), при котором получаемые при этом новые общие факторы7(<), Г<х), ..., ><в') допускают наиболее естественную и убедительную содержательную интерпретацию.
Рассматривая расположение исходных признаков в плоскости >(<) 0 ~<х) или в пространстве, натянутом на первые три общих фактора, естественно повернуть координатную систему таким образом, чтобы координатные оси прошли через наиболее четко выраженные сгущения точек-признаков (см. поворот, намеченный пунктирными осями )чм и ~~з1 на рис.
!4.1). При этом иногда бывает полезно отказаться от ортогональности общих факторов, переходя к косоугольной системе координат. 14.3. Неиоторые эвристические методы снижения размерности 14Л.1. Природа эвристических методов. Описанные выше методы сокращения размерности исследуемого призпакового пространства (метод главных компонент и модели фактор- ного анализа) допускали интерпретацию в терминах той или иной строгой вероятностной модели и, следовательно, подразумевали возможность исследования свойств рассматриваемых процедур в рамках теории математической статистики. В данном параграфе речь пойдет о методах, подчиненных некоторым частным целевым установкам (наименьшее искажение геометрической структуры исходных «выборочных точек», наименьшее искажение их эталонного разбиения на классы и т.
д.), но ие формулируемых в терминах вероятностно-статистической теории'. Процедура выбора целевой установки, подходящей именно для данной конкретной задачи, практически не формализована, носит эвристический характер, т. е., как правило, обусловливается лишь опытом и интуицией исследователя. Поэтому будем называть такие методы звриилическими. При отсутствии априорной или выборочной предварительной информации о природе исследуемого вектора наблюдений и о генеральных совокупностях, из которых эти наблюдения извлекаются, точно в таком же невыгодном положении находятся и методы факторного анализа и главных компонент. Однако для них все-таки существует принципиальная возможность теоретического обоснования (при наличии соответствующей дополнятельиой информации), в то время как лишь некоторые из эвристических методов удает- ' Отсутствие строгой вероятностно-статистической моделя, лежащей в основе тех или иных меюдов, ие исключзег возможности использования отдельных вероятностно-статистических понятий и соответствующей терминологии, иак ато имеет место, например, в методе зкстремальноя группировки прязяаков, в методе корреля.
ииониых плеяд и некоторых других. ся впоследствии теоретически обосновать в рамках строгой математической модели. Подчеркнем, что факт описания здесь методов снижения размерности, не использующих предварительной информации, например обучающих или квазиобучающих выборок, целесообразно расценивать лишь как следствие признания неизбежности ситуаций, в которых такой информации не имеется, но не как стремление рекламировать эти методы в качестве наиболее эффективных. В действительности же обоснование и эффективное решение задач снижения размерности без слепой надежды на удачу можно, по нашему мнению, получить лишь на пути глубокого профессионального анализа, дополненного статистическими методами, использующими предварительную выборочную (обучающую) информацию.
14.3.2. Метод экстремальной группировки признаков. При изучении сложных объектов, заданных многими параметрами, вознилает задача разбиения параметров на группы, каждая из которых характеризует объект с какой-либо одной стороны. Но получение легко интерпретируемых результатов осложняется тем, что во многих приложениях измеряемые параметры (признаки) лишь косвенно отражают существенные свойства, которыми характеризуется данный объект. Так, в психологии измеряемые параметры — это реакции людей на различные тесты, а выражением существенных свойств, общими факторами, являются такие характеристики, как тип нервной системы, работоспособность и т.д.
Подобная природа формирования набора частных характеристик объекта или системы присуща широкому классу явлений и процессов в экономике, социологии, медицине, педагогике и т. д. Оказывается, что во многих случаях изменение какого- либо общего фактора сказывается неодинаково на измеряемых признаках, в частности, исходная совокупность из р признаков обнаруживает такое естественное «расщепление» на сравнительно (с р) небольшое количество групп, при котором изменение признаков, относящихся к какой-либо одной группе, обусловливается в основном каким-то одним общим фактором, своим для каждой такой группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
