Диссертация (1026452), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Для оценки параметров такой модели удобно использоватьметод многократных статистических испытаний – метод Монте-Карло [88].Методом Монте-Карло называют группу методик, в рамках которых строитсяискусственный случайный процесс, обладающий с определенной степеньюточности такими же характеристиками, что и реальный, но реализуемый черезчисленные методы, которые задействуют те или иные генераторы случайныхчисел. [90]. На практике чаще всего используют генераторы псевдослучайныхчисел, т.е. чисел, которые вычисляются по определенным формулам.Недостатком всех алгоритмов генерации псевдослучайных чисел являетсяконечный период.

Это означает, что начиная с некоторого числа, происходитповтор уже сгенерированной последовательности [66].Как и при использовании других методов, оценка надежности, вычисляемаяна основе метода Монте-Карло, должна проводиться с использованиемупрощенной модели случайного процесса. Для некоторых сложных моделейснабжения, имеющих огромное количество данных о поставках, метод МонтеКарло является единственной возможностью получения достаточно точнойоценки надежности за приемлемое время. Так же метод Монте-Карлопредпочтителен для процессов, которые характеризуются: параметрами,подверженнымиизменениям,имеющимизвестныеоценкиплотностейраспределения вероятностей; достаточно точной информацией о распределении37вероятностей самих параметров; аналитическое решение задачи оценкинадежности отсутствует или затруднено.Анализ надежности с использованием метода Монте-Карло позволяет:объединять данные из различных источников, делая модель более объективной;легко модифицировать модель при поступлении новых данных; получатьоценки надежности даже при наличии малого количества информации о работесистемы [25].ЯдромметодаМонте-Карлоявляетсясведениезадачикрасчетуматематических ожиданий [73].

Это означает, что для того, чтобы оценитьнекоторую величину a, необходимо определить величину ξ такую, чтоM  aТогда, многократно запуская расчет ξ, можно получить ряд значений ξ1… ξN,на основе которого можно получить оценку a:1 naˆ    in i 1Для моделирования случайных процессов требуется определить случайныевеличины и способы их моделирования. Случайные величины удобноопределять через их законы распределения.

Эти параметры необходимовыбирать, исходя из специфики процесса снабжения. Единицей измеренияможет быть как день, так и час. Для оценки надежности процессов снабженияавтоматизированных производственных линий, где скорость потребленияресурсов высока, могут использоваться в качестве единиц измерения минуты. Взависимости от того, определена ли случайная величина отдельнымизначениями или на интервале, используют соответственно либо дискретную,либо непрерывную случайную величину.Дискретная случайная величина описывается следующим способом:38 x1 i   p1x2 .. x j ..

xn ,p2 .. p j .. pn где x – значение случайной величины, а p – вероятность реализациисоответствующего значения.Непрерывная случайная величина описывается следующим выражением:  p (x)Дискретная случайная величина может иметь бесконечное число значений. Вэтом случае числа xi и pi задаются формулами. Следует учитывать, что расчетслучайной величины, заданной таким способом, может оказаться трудоёмким.Поэтому его следует использовать для таких характеристик, расчет которыхобоснован при имеющихся вычислительных ресурсах.Случайная величина может моделироваться одним из следующих способов:двумя значениями; множеством несовместных значений; группой независимыхсобытий; группой зависимых событий. При моделировании любым способомнеобходимо определять случайное число γ, которое генерируется на основеравномерного генератора случайных чисел на интервале [0,1).

Такая записьимеет вид:  Random (1)Распределениеслучайнойвеличинысдвумязначениямизадаетсяследующим выражением:A B    p 1 pПри моделировании случайной величины этого типа требуется получитьслучайное число γ и проверить неравенство γ<p. Если оно выполняется, то39случайная величина принимает значение A, иначе – B. Такое распределениеслучайной величины подходит для моделирования марковских процессовтаких, как поломка транспортного средства и восстановление. Примермоделирования: вероятность поломки грузовика в пути от поставщика дополучателя материалов описывается случайной величиной:0 1z  0.10.9Распределение случайной величины с попарно несовместными событиямиописывается следующим выражением. x1   p1x2 .. x j ..

xn p2 .. p j .. pn При моделировании случайной величины требуется получить случайноечисло γ на основании которого с использованием приведенного нижевыражения вычисляется реализация значения случайной величины. x j , если Pj 1    Pj x1 , если  P1 Где Pj описывается выражением:jPj   pnn 1Генерациязначенияслучайнойвеличиныпредставленным ниже [66].  F 1 ( )  G( )описываетсявыражением,40Такоераспределениеподходитдлямоделированияколичественныхслучайных величин, например, времени выполнения этапов цикла снабжения.

Вкачестве примера процесса, для моделирования которого подходит описанныйспособ, можно привести этап транспортировки. Пример оценки плотностираспределения вероятности времени выполнения этого этапа цикла снабженияописывается следующим ниже выражением:4567  3   0.133 0.2 0.3 0.2 0.167 и изображен на Рисунке 2.1 и0.35Оценка вероятности0.30.250.20.150.10.05034567Время выполения этапа, дниРисунок 2.1. Оценка плотности распределения вероятности временивыполнения этапа транспортировкиЧерез систему случайных величин описываются события, характеризуемыедвумя и более параметрами. Каждый параметр определяется через случайнуювеличину [17].

Систему случайных величин можно описать через многомернуюматрицу. Для примера рассмотрим систему, состоящую из двух независимыхслучайных величин, каждое из которых может принимать одно из трёхзначений с заданными вероятностями:41xA   A1 p A1ВТаблице3x A3 ;p A3 x A2p A2приведенxB   B1 pB1примервычисленияxB 2pB 2xB 3 pB3 совместнойплотностираспределения рассматриваемой системы случайных величин.Таблица 3.Пример вычисления совместной плотности распределения двух случайныхвеличинXB1XB2XB3XA1pA1• pB1pA1• pB2pA1• pB3XA2pA2• pB1pA2• pB2pA2• pB3XA2pA3• pB1pA3• pB2pA3• pB3При генерации значений системы случайных величин задействуетсявыражение 2.9, в котором Pj рассчитывается по формуле:Pj n1  n2 ...  nm  jp1,n1 p2,n2  ...

 pm,nmn1 ,n2 ,..., nmm – число совместных значений системы случайных величин. Врассматриваемом примере оно равно 9.Способ моделирования системы случайных величин через многомернуюматрицу предпочтителен по сравнению с последовательным моделированиемнескольких независимых случайных величин, если процесс генерациислучайного числа является трудоёмким по сравнению с операциями начальнойподготовки таблицы и многократными операциями сложения элементов этойтаблицы.

Для определения приемлемого способа генерации случайнойвеличины необходимо рассчитывать критерий предпочтения вычисленияслучайной величины через таблицу, вычислению через несколько независимыхслучайных величин. Данный критерий имеет форму неравенства:42N dimR(random)  N dim  avradd  R(add )   N p ,i i 1N dimR(randon)  avradd  R(add )   N p ,ii 1R(TABLE )N exR(random) – трудозатраты машинного времени на операцию генерированияслучайных чиселR(add) - трудозатраты машинного времени на операцию сложенияR(TABLE) - трудозатраты машинного времени на операцию подготовкитаблицыNdim – количество совместных значений системы случайных величинNpi – количество значений, принимаемых i-й случайной величинойNex – ожидаемое количество запусков моделирования случайной величиныAvr_add – коэффициент среднего количества операций сложения.

Принимаетзначения: (0,1]. При равномерно распределенных случайных величинах avr_add=0.5.Значение0.5такжеследуетиспользовать,еслитребуетсяприблизительное сравнение методов, для проведения которого необходимоделать минимум математических операций.Если неравенство истинно, то приемлемым способом моделированияслучайной величины является генерация нескольких случайных величин.Использование случайной величины, как группы независимых событий,подходит для моделирования независимых, параллельно выполняемых этапов,пример которых приведен на Рисунке 2.2.Процесс 1Процесс 2Рисунок 2.2.

Схема параллельных процессов системы снабжения43В качестве примера допустим, что общее время завершения структурыпараллельных процессов будет равно времени завершения самого длительногопроцесса. Зададимся значениями плотности распределения вероятностивремени выполнения каждого процесса в днях:34  2;z1  0.30.50.234  2z 2  0.50.40.1Таблица 4.Совместная плотность распределения двух случайных величинЗначения случайной величины z1234Значения20.150.120.03случайной30.250.200.0540.100.080.02величиныz2Данную модель завершения процессов можно описать выражением:T  max( z1 , z2 )Исходя из рассматриваемой схемы процессов, можно вычислить плотностьраспределения вероятности завершения процессов, как группы независимыхсобытий. Результат отражен в виде случайной величины:34  2z   0.15 0.57 0.28 Данная плотность распределения получается путем сложения элементовтаблицы,которыеобозначаютодинаковоевремязавершениягруппынезависимо выполняемых процессов, рассчитываемое для каждого элементатаблицы по Формуле 2.9.Использование случайной величины, как группы зависимых событий,подходитдлямоделированияпроцессов,описываемыхнесколькими44параметрами.

Рассмотрим в качестве примера систему случайных величин,характеризующую результат выполнения одного из этапов логистическогоцикла. Допустим, результат выполнения этапа описывается через двапараметра: время выполнения и понесенные издержки. Тогда каждый из двухпараметров может быть описан случайной величиной. Такая система можетбыть описана оценкой совместной плотности распределения двух случайныхвеличин.

Пример оценки совместной плотности распределения приведен вТаблице 5 и изображен на Рисунке 2.3.Из Таблицы 5 можно сделать, например, следующий вывод: с вероятностью0.11 этап завершится за 3 дня и издержки выполнения будут равны 100единицам. Моделирование системы зависимых случайных величин аналогичномоделированию системы независимых.Покажем, что совместная плотность распределения вероятности системызависимых случайных величин будет отличаться от совместной плотностираспределения случайных величин с теми же частотами реализации событий,но с учетом их независимости.Представим систему рассмотренную систему, как систему независимыхслучайных величин: длительность выполнения и понесенные издержки.Плотности распределения рассматриваемых случайных величин получим путёмсложения чисел в ячейках для каждого события по строкам и по столбцамсоответственно.

Для данного примера получим: 50 100 150 200 ;z1  0.270.260.260.2134  2z 2  0.330.380.29Для получения плотности распределения вероятности двух независимыхслучайных величин приведем их одномерные плотности к двумерному виду,отраженному в Таблице 6.45Как можно наблюдать, совместная плотность распределения системызависимых случайных величин отличается от полученной совместнойплотности распределения вероятностей системы независимых случайныхвеличин. Если в первом случае прослеживалась корреляция между параметрамипо главной диагонали, что говорило о том, что с увеличением временивыполнения этапа растут и издержки, то во втором случае эта зависимостьисчезла.Таблица 5.Пример оценки совместной плотности распределения двух зависимыхслучайных величинИздержкиВремя выполнения, дни234500,160,080,031000,100,110,051500,060,120,082000,010,070,13Таблица 6.Преобразованная совместная плотность распределения двух случайныхвеличинИздержкиВремя выполнения234500,08910,10260,07831000,08580,09880,07541500,08580,09880,07542000,06930,07980,060946Оценкавероятности0.200.150.1040.0530.00501001502200Рисунок 2.3.

Характеристики

Список файлов диссертации