Диссертация (1025962), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

В другом случае параметр можетопределять меру изменения исходных геометрических характеристик системыили механических свойств материала (осуществляется переход к другой задаче59многопараметрического семейства).Внешняя нагрузка при этом остаетсянеизменной.Совокупность решений (3.1) для заданного числа внутренних и внешнихпараметров + интерпретируют, как поверхность равновесных состояний,построенную в евклидовом пространстве параметров + , а каждыйоднопараметрический процесс (3.2), как отдельную траекторию на поверхности[21]. Однопараметрические задачи можно трактовать, как последовательныеравновесные состояния системы в пространстве состояний всех систем примонотонномизмененииодногоизпараметров(2) ([1,2, … , ])прификсированных значениях остальных − 1 компонент.Предполагаем, что нам известно решение задачи для начального значенияпараметра = 0 .

В качестве такого начального решения для исследуемых вдиссертационной работе задач используется тривиальное решение.При анализе однопараметрических процессов управляющий параметр считаетсяравноправнымсостальнымипараметрамизадачи.Онрассматривается как дополнительная ( + 1)- ая неизвестная:q  X m 1(3.3)В евклидовом пространстве +1 вводится расширенный векторнеизвестных задачи:X ext   X (1) , X m1  q(3.4)()Близость приближенного решения на к-ой итерации к точному∗решению оценивается с помощью нормы невязки ‖ () ‖:(k )r ( k )  F  X ext  F  X (k ) , q  .(3.5)60Необходимымиидостаточнымиусловиямидлясуществованияоднозначного и непрерывного решения однопараметрической нелинейной∗задачи (3.1), (3.2) в окрестности решения , согласно теореме о неявныхфункциях [43], являются: Однозначность и непрерывность векторных функций r  X ext  ,также матричной функции Отличиеdet [отнуляr,аqr;XопределителяматрицыЯкоби(det[] =] ≠ 0).При выполнении этих условий совокупность решений системы (3.1), (3.2)является единственной пространственной (гиперпространственной) кривой,проходящей через точку и имеющей следующее параметрическойпредставление:X i  X i (q), (i  1,2 ,..., m)(3.6)При совершении шага по параметру происходит переход из точки{0 , 0 }, в которой уже найдено решение, к новой точке {1 , 1 }, такжепринадлежащей кривой решений.

Нижний индекс соответствует номеру шагапо параметру. Новое решение можно продолжить, при выполнении условийоднозначности и непрерывности в его окрестности.Т.е. решения задачиполучаются последовательно при движении вдоль кривой равновесныхсостояний, начиная от некоторого известного решения.Подчеркнем, чтоопределяются не все решения задачи, а только те, которые соответствуютвыбранному параметру продолжения.Метод дискретного продолжения по параметру в диссертационной работереализован по двухэтапной схеме предиктор-корректор.61На этапе предиктор при помощи экстраполяции осуществляется(0)предсказание начального значения (верхний индекс обозначает номеритерации) на основе предыстории процесса. С этой целью информация о трехпредыдущих равновесных состояниях (решения для точек n-2, n-1, n)сохраняется в памяти.

Начальное приближение для экстраполируемой точки{+1 , +1 } определяется с помощью квадратичных полиномов Лагранжа:(q  qn1 )(q  qn )(q  qn )(q  qn2 )  X i n1(qn2  qn1 )(qn2  qn )(qn1  qn )(qn1  qn2 )X   X i n  2  X i n(q  qn2 )(q  qn1 ),(qn  qn2 )(qn  qn1 )0i n 1(3.7)где индекс изменяется от 1 до .Пристарте экстраполяция не проводится:приближения используется тривиальное решение.в качестве нулевогоНа следующем шагеиспользуется линейная экстраполяция по двум предыдущим решениям (точкиn-1, n):X 0i n 1  X i n    X i n   X i n1 (q  qn ).(qn  qn1 )(3.8)На этапе корректор начальное приближение решения уточняется спомощью итерационного метода.Выбор итерационного метода зависит отструктуры и порядка нелинейной системы, выбора расчетной схемы.При решении одномерной задачи (расчетная схема осесимметричнойоболочки) порядок системы допускает вычисление матрицы Якоби, что даетвозможностьвкачествеитерационногомодифицированный метод Ньютона – Рафсона.методаиспользовать62Модифицированный метод Ньютона-РафсонаВ итерационном методе Ньютона-Рафсона используется следующеерекуррентное соотношение:1(3.9)X ( k 1)  X ( k )   J (0)  r ( k )  X ( k )  X ( k ) ,где () – вектор неизвестных на -ой итерации; (0) – матрица Якоби,вычисленная на первой итерации; () - вектор невязки на -ой итерации.Соотношение (3.9) запишем в виде системы линейных алгебраическихуравнений относительно вектора приращений неизвестных ∆ () : J (0)  X ( k )  r ( k )Матрицу(3.10)Якобинижнетреугольнойможноматрицыспредставитьединицамивнавидеглавнойпроизведениядиагоналииверхнетреугольной матрицы общего вида ([] – матрица перестановок): P  J (0)    L*   LT(3.11)Тогда на каждой итерации возможно решать две системы линейныхалгебраическихуравненийсматрицами,имеющимиблагоприятнуютреугольную структуру:  L*  C ( k )  r ( k ) , T(k )(k )  L  X  C(3.12)где С() – вспомогательный вектор.Данный способ позволяет избежать трудоемкую процедуру вычисленияобратной матрицы для матрицы Якоби.63Аналогом матрицы Якоби при численном счете является матрица Гато: r1 X 1 . J    . . rm X1r1X 2....r1r1 .X 3X m ...

 r ...    i  X j ...  r1 ..X m (3.13)Компоненты матрицы Гато вычисляются методом пробных решенийзадачи Коши. Определяется разница между вектором состояния в конце отрезкаинтегрирования при подстановке решения, предсказанного на этапе предиктори при подстановке варьированного решения:ri  ri  X j  X j   ri  X j (3.14)Для интегрирования системы из шести дифференциальных уравнений(10), (17) используется метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Дляоценки сходимости итерационного процесса используется Евклидова норманевязок :3 ri2(3.15)i 1Невязка вычисляется путем подстановки найденного приближенногорешения в исходную систему уравнений.Норма невязки сопоставляется сдопускаемой погрешностью.

Варьируются только 3 неизвестные, для которыхизвестны граничные условия в конце отрезка интегрирования при шарнирномзакреплении внешнего края оболочки ( = 0, = 0, = 0 ). Для разгонногоучастка справедливы следующие граничные условия: = 0, = , = .64Таким образом, на однопараметрических участках алгоритм решениязаключается в замене исходной нелинейной краевой задачи системойнелинейных уравнений и задачей Коши для начального вектора в сочетании сметодом дискретного продолжения решения по параметру. На каждом шаге попараметру решение определяется с помощью метода Ньютона.3.2.Программнаяреализацияалгоритмачисленногоанализаосесимметричных актюаторовОписанныйалгоритмчисленногоанализанелинейныхрабочиххарактеристик и напряженно-деформированного состояния биметаллическихактюаторов в форме осесимметричных оболочек был реализован в видеприкладной программы «Актюатор 1.0».Программа «Актюатор 1.0» написана на алгоритмическом языке С++,графический интерфейс программы реализован в среде программированияMatlab.

Она позволяет решать задачу о больших прогибах и закритическомповеденииосесимметричныхактюаторовдискретногодействияпривоздействии механической, температурной или обеих нагрузок.Причисленномсчетепроцесснелинейногодеформированиярассматривается как последовательность однопараметрических задач: накаждом кусочно-гладком участке нагрузка, физические и геометрическиепараметры для рассматриваемого семейства задач зависят только от одногопараметра. Для получения характеристик сложного вида используется методдискретного продолжения решения по параметру.Программа «Актюатор 1.0» имеет удобный интерфейс, не требующий отпользователя знания программного кода.

Блок-схема программы «Актюатор1.0»дляслучаяполучениярабочейхарактеристикиигеометриидеформированного меридиана представлена на Рис. 3.1.Программа позволяет анализировать биметаллические актюаторы спроизвольной формой меридиана осесимметричной оболочки.Меридиан65аппроксимируется с помощью ряда сегментов с постоянной кривизной илинейноизменяющейсятолщиной.Температурнаянагрузкасчитаетсяпостоянной вдоль меридиана оболочки.

Сосредоточенная нагрузка задается вточках стыковки сегментов.В пределах каждого сегмента можно задаватьраспределенную силовую нагрузку.Исходными данными, которые задаются во входном .txt файле, являются: количество сегментов, координаты начальных и конечных точек каждого сегмента, толщины слоев в начальной и конечной точках, кривизна каждого сегмента, механические и температурные характеристики материалов.В качестве примера рассмотрим процесс переключения термореле стермо-биметаллическим актюатором в форме тонкой сферической оболочки(Рис. 1.19). Внешний край актюатора закреплен шарнирно.При нулевой температуре прогиб свободного края актюатора равенстреле подъема диска со знаком минус.

При нагревании актюатора прогибего свободного края изменяется.кртемпературы 1Верхнему критическому значениюсоответствует значение прогибав точке ( ).Придальнейшем нагревании происходит скачкообразное изменение прогиба «прохлопывание» актюатора до точки , в которой прогиб имеет значение .При дальнейшем нагревании реализуется стабильная ветвь рабочейхарактеристики. Охлаждение актюатора соответствует движению от точки крточки , соответствующей нижней критической температуре 2 .Придальнейшем охлаждении произойдет «прохлопывание» до точки и движениепо стабильной ветви до начального состояния.66Рис.

Характеристики

Список файлов диссертации