Диссертация (1025962), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

На35этапе предиктор строилось начальное приближение с помощью экстраполяциирешений на предыдущих шагах по нагрузке.На этапе корректор решениеуточнялось итерационными методами. Однако этот метод работал только наустойчивой докритической части траектории нагружения: вблизи предельнойточки якобиан разрешающей системы нелинейных алгебраических уравненийстановился плохо обусловленным и итерационные процессы при корректировкерешения начинали расходиться.Н.В. Валишвили в 1968 г. предложил, как перейти предельную точку иосуществить движение по закритической ветви траектории [14] с помощьюприема смены параметра.Согласно этому приему, можно последовательноискать решения при пошаговом изменении не внешнего давления, температурыили силы, а другого параметра, например, прогиба в вершине купола (Рис.

1.23).Силовое нагружениеКинематическое нагружение посредствомвинтовой передачиРис. 1.23.Способы нагружения оболочкиАлгоритм решения однопараметрической нелинейной краевой задачизаключался в ее сведении к решению задачи Коши и итерационному решениюнелинейного операторного уравнения относительно неизвестных параметров в36начальном векторе задачи Коши.Ряд новых задач, с которыми позволяетработать описанная методика, приведен в [13].Многопараметрическими являются те задачи, в которых свойстванелинейной конструкции или действующие на нее возмущения одновременнозависят от нескольких параметров, которые называются контрольными илиуправляющими (например, температура или радиус кривизны меридианаоболочки в недеформированном состоянии).

В описании поведения системытакже участвуют внутренние параметры, которые характеризуют свойствасистемы в текущий момент (например, перемещения точек или внутренниесиловые факторы, возникающие в оболочке).Совокупность равновесныхсостояний многопараметрического семейства задач в пространстве параметровназывается поверхностью равновесных состояний. Процесс деформированияотдельной системы представляется в виде некоторой траектории, лежащей наповерхности равновесных состояний.Е. Рикс [145] и М. Крисфилд [109] разработали практические приемы иалгоритмы, использующие идею смены параметра при численном счете. Рикспредложил использовать дополнительное уравнение относительно параметрапродолжения и считать внешний параметр нагружения равноправным свнутренними параметрами , характеризующими напряженно-деформируемоесостояние оболочки.Оптимальному параметру продолжения была данаследующая геометрическая интерпретация: вектор нормали к квазиповерхности( , ) должен совпадать с касательным вектором к траектории равновесныхсостояний ( , ) (Рис.

1.24), где – расширенный вектор неизвестныхзадачи.Прииспользованииданнойтрактовкирациональным обезразмериванием неизвестных.возникаюттрудностисТакже перестает бытьпонятным физический смысл параметра продолжения, что может быть неудобнопри проведении инженерных расчетов [131].37В предложенном Крисфилдом методе дуговых засечек (the arc-lengthmetod), используемом при анализе конструкций с помощью метода конечныхэлементов, в качестве параметра продолжения выбирается длина дуги траекториинагружения в пространстве состояний (Рис.

1.25, в).Рис. 1.24.Геометрическая интерпретация выбора параметра продолженияАнализметодовпродолжениядлярешенияоднопараметрическихнелинейных задач приведен в [38].В работах С.С. Гаврюшина [25, 22, 20, 23, 24] реализована идеяиспользования кусочно-гладкого продолжения решения по гиперповерхностиравновесных состояний до попадания в область, в которой контрольныепараметры будут удовлетворять заданным требованиям.рамкахмультипараметрическогооднопараметрическиезадачи,подходаИными словами впоследовательнопринадлежащиерешаютсямногопараметрическомусемейству задач, в которое погружена рассматриваемая задача [24]. Каждаяоднопараметрическая задача решается с помощью метода продолжения попараметру.38Вдиссертациипереходмеждуоднопараметрическимизадачамиосуществляется методом смены подпространства управляющих параметров сучетом получения приращения на каждом шаге несколькими параметрами иплавным переходом между подпространствами параметров [27].Методика анализа и синтеза осесимметричных термобиметаллическихактюаторов реализована в виде прикладной программы для ЭВМ, составленнойна языке С.

Методика анализа и синтеза термобиметаллических актюаторовсложной формы реализована в комплексах ANSYS 14.5 и Matlab спредварительными расчетами, выполненными в авторской программе.абвРис. 1.25.Геометрическая интерпретация вариантов выбора параметров продолжения,предложенных Валишвили (а), Риксом (б) и Крисфилдом (в)1.4. Выводы по первой главе1.

Термобиметаллическиеактюаторыдискретногодействиянаходятширокое применение в конструкциях современных электротехническихустройств, МЭМС и МОЭМС.2. Термобиметаллические актюаторыдискретного действияявляютсяответственными элементами этих устройств, так как от их работы зависитфункционирование всей системы.393. Термобиметаллическиеэлементыдеформируютсянелинейно,прохлопывая при достижении критической температуры.4. При анализе актюаторов определяется их рабочая характеристика, т.е.зависимостьмеждувеличиной,характеризующемизменениегеометрической формы и температурой окружающей среды.5. Данная работа является актуальной, поскольку известные аналитическиеметодики не позволяют учесть все особенности деформированиятермобиметаллических актюаторов, недостаточно разработаны методыанализаисинтезаактюаторовсложнойсовершенствовать элементную базу МЭМС.формы,необходимо40Глава 2.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССАНЕЛИНЕЙНОГОДЕФОРМИРОВАНИЯАКТЮАТОРАДИСКРЕТНОГОДЕЙСТВИЯВовторойглаведиссертационнойработыприведеныосновныесоотношения, используемые при решении задачи анализа биметаллическогоактюатора.Выбор расчетной модели, основных соотношений и численного методаопределялся размерностью задачи.деформированияДля анализа процесса нелинейногоосесимметричныхбиметаллическихактюаторовиспользовалась одномерная расчетная схема осесимметричной двухслойнойоболочки и уравнения нелинейной механики деформируемого твердого теладлятонкихупругих оболочек.Дляанализа процесса нелинейногодеформирования биметаллических актюаторов сложной формы применялсяметод конечных элементов с использованием расчетной схемы двумернойдвухслойной оболочки. Для задачи синтеза область рациональных значенийконструктивных параметров предварительно определялась расчетом дляодномерной модели.Для описания физических свойств материала использовалась линейноупругая модель: материал оболочки следует закону Гука (1 , 2 – модулиупругости верхнего и нижнего слоев соответственно).

Слои оболочки имеютодинаковые коэффициенты Пуассона (). Их коэффициенты линейноготеплового расширения равны 1 и 2 соответственно.2.1. Осесимметричные актюаторыМногие биметаллические актюаторы, используемые на практике, имеютформу двухслойной осесимметричной оболочки (ℎ1 , ℎ2 – постоянные толщиныверхнего и нижнего слоев соответственно). Для таких оболочек справедливысоотношения теории тонких осесимметричных оболочек [13], подготовленные41для применения метода, в котором нелинейная краевая задача будет сведена ксистеме нелинейных операторных уравнений и задаче Коши.Будем использовать цилиндрическую систему координат, в которой осьабсцисс () направлена по радиусу, а ось ординат () совмещена с осьювращения оболочки (Рис.

2.1).В качестве отсчетной поверхности выберемповерхность спая слоев, вдоль меридиана которой от центральной точки будемотсчитыватьнезависимуюнедеформированномукоординатусостоянию0 .оболочки,Параметры,имеютотносящиесяиндекс«0»,ктогдакоординаты текущей точки меридиана 0 будут обозначаться (0 , 0 ).

Будемотсчитыватьтекущийуголнаклонакасательнойкмеридианувнедеформированном состоянии (0 ) по правилу правосторонней системыкоординат (от оси абсцисс к касательной против часовой стрелки).Вдеформированном состоянии точка 0 переместится в точку с координатами(, ) и .Рис. 2.1.К выводу геометрических соотношений для осесимметричной оболочки42Справедливы следующие геометрические соотношения:dXdYo  cos ,o  sin ;oodSdSoo(2.1)dXdY cos , sin .dSdS(2.2)Обозначим горизонтальное и вертикальное перемещения точки 0 и соответственно, угол поворота нормали – :u  X - X o , v  Y - Yo ,   - o(2.3)Главные радиусы кривизны будут равны (индекс «» используется длямеридионального направления, «» – для окружного) соответственно:1mod o , 1  d , 1  sin o , 1  sin ,XoXdSom dS tot(2.4)а изменения главных кривизн:mo d d osin sin o,  to .dS dSoXXo(2.5)Справедливо следующее выражение для линейной деформации элементаотсчетной поверхности в меридиональном направлении:- dSo mo  dSdSo(2.6)Поскольку оболочка является трехмерным телом, потребуется введениенормальной координаты , отсчитываемой по направлению внешней нормали кнедеформированной отсчетной поверхности:43-h2    h1.(2.7)Т.к.

оболочка является тонкостенной справедливо следующее соотношение:max h1, h2  min {| mo | , |  to |}(2.8)Согласно кинематической части гипотезы Кирхгофа - Лява материальныеточки, принадлежащие нормали к недеформированной отсчетной поверхности,после деформации переходят на нормаль к деформированной отсчетнойповерхности без изменения расстояний до отсчетной поверхности 0 . Тогдадеформации будут линейно распределены по толщине оболочки: m ( So , )   mo ( So )   o mo ( So ) ; t ( So ,  )   to ( So )   o to ( So ) .Используясоотношения(2.9)(2.1)-(2.9)представимгеометрическиесоотношения для двухслойной осесимметричной оболочки в следующем виде:du (1   mo )cos  cos o ,dSodv (1   mo )sin  sin o ,dSo(2.10)dd (1   mo ) mo  o .dSodSoСогласно гипотезе Кирхгофа-Лява напряженное состояние оболочкиявляется двухосным. Приведем выражения для напряжений:Ei[( mi   ti )  (1   ) iT ],1  2E  i   ti  mi (1 )iT  ,ti1 2  mi (2.11)44где - это изменение температуры, – номер слоя (1 – верхний, 2 – нижний).Внутренние силы и моменты (Рис.

2.2) можно привести к отсчетнойповерхности:Nm h1  m d , h2Mm h1Nt   t d , h2h1  m d , h2(2.12)h1Mt   t d  h2Рис. 2.2.К выводу уравнений равновесия осесимметричной оболочкиПодставив в выражения (2.12) соотношения (2.11) и (2.9) и выполнивоперацию интегрирования, получим:45N m  C1 mo  C2 to  D1 mo  D2 to  B1T ,Nt  C1 to  C2 mo  D1 to  D2 mo  B1T ,M m  D1 mo  D2 to  C3 mo  C4 to  B2T ,(2.13)M t  D1 t o  D2 mo  C3 to  C4 mo  B2T . N m   C1 N  C t  2M m   D1 M t   D2C2C1D2D1D1D2C3C4D2    mo   B1 D1    t o   B1     T ,C4   mo   B2 C3    to   B2 где постоянными коэффициентами обозначены следующие выражения:C1 E1h1  E2h21  2, C2    E11h1  E h  ,2 22  E1h13  E2h23 E1h13  E2h23C3 , C4 ,31  2 31  2  E h  E hE1h12  E2h22D1 ,D22 1  2 2 1  2 21 1B1 1E1h1   2 E2h21 ,B 222 2(2.14),1E1h12   2 E 2 h222 1  .Для нормального термобиметалла справедливо условие Виларсо [157]:h1h2E2E1С учетом выражения (2.15) коэффициенты 1 и 2 обращаются в ноль.(2.15)46Возникающие в площадке, перпендикулярной меридиану, нормальная( ) и поперечная ( ) силы связаны с горизонтальной () и вертикальной составляющими внутреннего усилия посредством матрицы поворота: Nm  cos sin  U   Q m   sin cos  V (2.16)Уравнения равновесия элемента оболочки в деформированном состоянии[13] можно привести к следующему виду: cosdUNt (1   mo ) U qu dSoXo  u Xo  u cosdV (1   mo ) V  qv dSo Xo  u(2.17) cosdM m (1   mo ) ( M m  M t )  U sin  V cos  ,dSo Xo  uгде , -горизонтальная и вертикальная проекции давления.Такимобразом,полученауравнений (2.10), (2.17).системаизшестидифференциальныхВ вектор состояния входят шесть основныхнеизвестных, производные которых находятся в левой части системыдифференциальных уравнений:X T  [ u, v,  , U , V , M m ]Анализпроцессанелинейного(2.18)деформированияосесимметричногобиметаллического актюатора сводится к решению нелинейной краевой задачидля системы дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями:47dX F ( S0 , X , P),dS0G0  X  X 0 ,G1  X  X1 ,(2.19)где ̅ – векторный параметр внешней нагрузки, 0 , 1 - матрицы граничныхусловий.Для решения основной системы необходимо выразить вспомогательныенеизвестные через основные: mo1 - 2u(U cos  V sin ) -E1h1  E2h2XoT (1   )( E1h11  E2h2 2 ),E1h1  E2h2æmo 3(1 - 2 )X o  u sin sin oM()mE1h13  E2 h23Xo Xo  u X oNt 3T (1   )( E1h121  E2h22 2 )332( E1h1  E2h2 ) TE1h1  E2h2  u  mo  ( E1h11  E2 h2 2 )21 -X1 oE1h13  E2 h23  X o  u  sin sin o Mt mo  3(1 - 2 )  X o  X o  u X o -T( E1h121  E2h22 2 )2(1   )(2.20)482.2.

Характеристики

Список файлов диссертации