Диссертация (1025962), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Актюаторы сложной формыПомимо осесимметричных актюаторов широко применяются актюаторысложной формы.Например, выпуклые прощелкивающие оболочки с П-образным выступом и U-образным язычком [147] (Рис.2.3).Рис. 2.3.Биметаллический актюатор «с язычком»Для анализа процесса нелинейного деформирования биметаллическихактюаторов сложной формы применяется метод конечных элементов сиспользованием расчетной схемы двумерной двухслойной оболочки.
Расчетреализован в конечно-элементном комплексе ANSYS 14.5 (Academic license).Метод конечных элементов имеет проекционно-сеточный характер [54], внем применяются вариационных формулировки [16, 44], а функционалысодержат производные более низкого порядка, чем соответствующие имдифференциальные уравнения.Несмотря на большое число работ, посвященных исследованиюгеометрическинелинейныхпроцессовдеформированиятонкостенныхконструкций методом конечных элементов [42, 98, 55, 96, 115, 116, 133, 135,160, 161], построение эффективных конечно-элементных аппроксимаций дляэтой задачи еще не завершено.достаточнымдляУдовлетворить условиям конформности,обеспечениясходимостиконечно-элементных49аппроксимаций, для конечных элементов тонкостенных термобиметаллическихоболочек достаточно трудно.Также могут возникнуть сложности припостроении криволинейных конечных элементов, учитывающих кривизнуоболочки.Дляобеспечениясходимостиконечно-элементныеаппроксимациидолжны включать представления соответствующих величин для описанияслучаев постоянных деформаций и напряжений, т.е.
в конечном элементе недолжны возникать деформации и напряжения при перемещении его какжесткого целого [161]. Однако в работах [28, 41] показано, что в общем случаедля совместного элемента нельзя точно представить в нем постоянныедеформации, а при точном удовлетворении требованиям описания нулевыхдеформаций (движение элемента как жесткого целого) для оболочечныхэлементов нарушаются условия совместности.Наивысший порядок производных от искомой функции прогиба вфункционале, используемом для построения матрицы жесткости конечногоэлемента, при использовании теории оболочек, для которой справедливыгипотезы Кирхгофа-Лява, - второй.Достаточным условием сходимостиконечно-элементных аппроксимаций является непрерывность по меньшей мерепервых производных прогиба при переходе через границу конечного элемента.Для обеспечения этого условия приходится удерживать в узлах сеткидополнительные степени свободы, конструировать составные элементы,использовать в аппроксимирующих выражениях рациональные функции, кромеполиномов.Альтернативой указанным усложнением является ослаблениеупомянутых требований на основе обобщенных вариационных формулировок,смешанных или гибридных моделей [96, 161, 28, 41, 16].Однако на основе теории Кирхгофа-Лява были построены криволинейныеэлементы, являющиеся эффективными для решения определенного типа задач,например, для анализа цилиндрических оболочек [133, 160, 62].50Благодаря повышению максимального порядка производных в исходныхфункционалах трехмерная задача механики деформируемого твердого телабыла сведена к двумерной в классической теории тонких оболочек.альтернативныхтеорияхвводятсядополнительныестепениВсвободы,учитывающие поперечный сдвиг, без повышения порядка производных.Втеории Тимошенко-Миндлина [123, 65] используется линейная аппроксимацияперемещенийпотолщине оболочки,полеперемещенийопределяетсянеизвестными функциями трех перемещений срединной поверхности и двухнезависимых поворотов нормали (пятимодальный вариант теории) [55].
Прииспользовании этого подхода снижаются требования к гладкости решения, онодолжно быть С0 непрерывным, поскольку основные функционалы могут бытьполучены из трехмерных функционалов, содержащих производные болеенизкого порядка.Однако разрешающие уравнения становятся плохообусловленными, а результаты ложными, потому что при уменьшениитолщины оболочки происходит ухудшение свойств элементов. Кроме этого,уменьшается ошибка в сдвиговой части энергии. Эти особенности получилиназвания эффекта заклинивания и эффекта ложных мод.Они могут бытьустранены с помощью приемов сокращенного и выборочного интегрирования[96,28].Приконечно-элементноманализепроцессанелинейногодеформирования необходимо удостовериться, что наблюдаемые особенностиприсущи исследуемой конструкции, а не возникают за счет дефектов расчетноймодели.Следует использовать густые конечно-элементные сетки илиприменять протестированные элементы с высокой точностью.Даннаяформулировка показала свою эффективность при исследовании отдельныхгеометрически нелинейных задач [97].
Необходимо внимательно относится кприменению таких элементов в нелинейных задачах, к аппроксимациям идопущениям, используемым при построении конечно-элементных моделей,потому что сходимость несогласованных элементов доказана только длялинейных задач.51Существует три подхода к расчету оболочек методом конечных элементов внелинейной постановке [162]: аппроксимирование оболочки плоскими конечными элементами сиспользованием матрицы касательных жесткостей для пластин [113]; использование криволинейных оболочечных элементов [114, 99, 129]; трехмерная континуальная модель [98, 142].Приведем основные соотношения метода конечных элементов, применяяпервый подход.
Согласно этому подходу, поле перемещений конечногоэлемента определяется следующим соотношением:1(, ), (, ) = {2 } = { (, ) } − {, (, )},3(, )0(2.21)где = , , = , – углы поворота нормали (рис. 2.10), , , –координаты в недеформированном состоянии.Компоненты вектора деформаций Грина-Лагранжа в локальной системекоординат (, , ) связаны с перемещениями следующими соотношениями (безучета квадратов производных перемещений и слагаемых, содержащих 2 ):2 1 2+ ( ) 2 2 2 1 2 = [ ] =−= − ,+ ( )2 2 22 2++[ ][ ](2.22)где определяет мембранные деформации, – изменения кривизн приизгибе.Приведем соотношения для вариаций деформаций:52,, = { ,}+[ 0,, + ,0, ] { , },,,(2.23), = { , }.2,(2.24)Виртуальная работа определяется следующим соотношением:П = ∫ [(δ p )T + ( )T ] − Пвнешн ,(2.25)где интенсивности внутренних силовых факторов , вычисляютсяинтегрированием выражений, содержащих напряжения, по толщине оболочки.Получим выражения для матрицы , связывающей вектор деформаций влокальной системе координат и вектор узловых перемещений в глобальнойсистеме координат, и тангенциальной (полной) матрицы жесткости конечногоэлемента Т .
Запишем стандартное дляаппроксимирующеесоотношение,конечно-элементногосвязывающеепроизвольной точке конечного элементавекторанализаперемещенийс вектором узловых перемещенийэлемента при помощи матрицы функций формы:̃̃ ,{ } = { } = ̃(2.26)̃ = ̃ + ̃, )(̃ )(̃ = {}={}̃, )(̃ )(Преобразуем выражения (2.23) и (2.24):в(2.27)53, = ̃ = [ 0,̃0̃, ) }, ] {(,(̃, )0,̃, ] {}+[ 0̃,,(2.28)̃ + = ̃ ,,,, = ̃ = ,,,2,2, ][2,̃̃{( ) },(̃ )(2.29)где = [,,,,,,(2.30) ],а узловые параметры определяются следующими соотношениями:̃ = [̃̃̃ = [̃̃(̃ )̃̃ ], ̃ = [(̃ ) ] = [(̃ ) ],(̃ ) ].Преобразуем выражение (2.25): ̃ ∫ ( ) + ̃ ∫ ( ) − Пвнешн = 0.П = (2.31)̅̃ ∫ ̅ − Пвнешн = 0,П = где̅={ ̅ } , = [0].Таким образом, можно сформулировать нелинейную задачу:(2.32)54̅ = − ∫ ̅ ̅ = 0.ѱ(2.33)Нелинейная задача (2.33) может быть решена методом Ньютона-Рафсона.Касательная матрица вычисляется при помощи линеаризации выражения (2.31):̅) ̅ (̃ ∫ [ (̅+̅ )] − (Пвнешн ) = 0,(П) = (2.34)Поскольку нагрузка является консервативной, (Пвнешн ) = 0.
Для случаяупругих деформаций внутренние силы связаны с деформациями следующимисоотношениями:{ } = [00 ] { }, (2.35)где матрица упругих постоянных в случаи однородной изотропной оболочкиопределяется следующим соотношением1 =[1 − 2 01002 0 .], =12(1 − )/2(2.36)После линеаризации получим:() = [00][ 0̃ )({},]̃) (Тогда касательная матрица вычисляется по следующим формулам:(2.37)55 ( )0][( ) 0( )=∫ [ ( )( )( )=[ ( )( )0 ][ 0] (2.38)], ( ) = ∫ ( ) ,( ) = ∫ ( ) ,( ) = ∫ ( ) .Вычислим матрицу начальных напряжений:( )=∫[ ] , ( ) = [ ( ) ] (2.39)Для двуслойной оболочки компоненты матрицы упругих постоянных(коэффициенты, смешанных и изгибных жесткостей) вычисляются поформулам, приведенным в [52].Вдиссертационнойдеформированияработебиметаллическихдляанализаактюаторовпроцессавнелинейногоконечно-элементномкомплексе ANSYS 14.5 использовались известные конечные элементы,способные воспринимать термическую нагрузку и пригодные для описаниябольших перемещений:- PLANE42 – для расчета по осесимметричной схеме,- SOLID95 – для расчета на основе трехмерной континуальной модели,- SHELL91 – для расчета на основе двумерной оболочечной модели.562.3.
Выводы по второй главе1. Важнымактюатораэтапомсозданияявляетсявыборчисленноймоделирасчетныхсхембиметаллическогоиопределяющихсоотношений.2. Определяющим фактором при выборе основных соотношений ичисленного метода их решения является размерность задачи.3. Для осесимметричных биметаллических актюаторов использоваласьосесимметричная оболочечная модель и соотношения, описывающиеосесимметричнуюдеформациюоболочек,длябиметаллическихактюаторов сложной формы использовались соотношения методаконечных элементов.57Глава3.АЛГОРИТМЧИСЛЕННОГОАНАЛИЗАИСИНТЕЗААКТЮАТОРОВ ДИСКРЕТНОГО ДЕЙСТВИЯ И ЕГО ПРОГРАММНАЯРЕАЛИЗАЦИЯДля анализа процессов нелинейного деформирования актюаторов былиспользован метод дискретного продолжения по параметру [13, 15, 22, 20, 23,42, 54, 60, 24, 21].Этот метод решает проблему выбора начальногоприближения, обеспечивающего сходимость решения.Длярешениязадачисинтезаактюаторовбылмногопараметрический подход, предложенный в работах [13,20].этогоподходамногопараметрическаязадачапримененВ рамкахрассматриваетсякакпоследовательность кусочно-гладких однопараметрических нелинейных задач,принадлежащих многопараметрическому семейству, в которое погруженаанализируемая задача.
Движение по гиперповерхности равновесных состоянийосуществляется с помощью метода смены подпространства управляющихпараметров, позволяющего осуществлять движение по параметру геометрии иизбежать трудностей с применением метода дуговых засечек, чувствительногок начальным условиям. Разворот при смене подпространства осуществлялся поплавной траектории (на каждом шаге приращение получали несколькопараметров), что позволило устранить вычислительные трудности.В диссертационной работе предложен алгоритм численного исследованиярабочих характеристик термобиметаллических актюаторов, позволяющихучитывать их предварительное деформирование на этапах сборки и настройки.Для решения задачанализа и синтеза актюаторов сложной формыиспользовались комплексы ANSYS 14.5 и Matlab.583.1.
Алгоритм численного анализа осесимметричных актюаторовМетод дискретного продолжения решения по параметруДля численного анализа биметаллических актюаторов использовалсяалгоритм дискретного продолжения решения по параметру.Разрешающиесоотношениязадачи(системудифференциальныхуравнений (2.10), (2.17)) можно представить в операторном виде:F(X (1) , X (2) ) 0 ,(3.1)где (1) - вектор неизвестных внутренних параметров, характеризующихсостояние системы, (2) – вектор параметров управления.Параметрамиуправления, например, могут быть конструкторские параметры, которыеварьирует разработчик.Пустьсистемаимеетвнутреннихпараметров.Количествонезависимых внешних параметров n определяет коразмерность задачи. Есливсе компоненты функционального вектора удается выразить через одиннезависимыйпараметр,процессявляетсяоднопараметрическим(скоразмерностью единица):X (2) X (2) ( q ) .(3.2)Параметр может трактоваться, как параметр теплового, силового иликинематического воздействия на систему.Геометрические характеристикисистемы в недеформированном состоянии и механические характеристикиматериала в этом случае инвариантны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
