Диссертация (1025788), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Рассмотрены зеркально-диффузионных граничные условия настенках канала. Коэффициенты аккомодации задаются произвольно. В работе[34] численными методами решалась аналогичная задача, но в исследованиерассматривался только частный случай: на стенках канала коэффициентыаккомодации одинаковые. Помимо этого, в [34] использовано уравнениеБольцмана-Крука-Валандера (БКВ) с постоянной частотой столкновениймолекул, а в работе [33] – то же уравнение, только частота столкновений33пропорциональнаскоростимолекул,чтосоответствуетгипотезеонезависимости от скорости длины свободного пробега молекул, причемуравнение справедливо при моделировании молекул твердыми сферами.Существующие численные методы решения задачи о течении газа вканале [39] описывают только первые моменты функции распределения(массовую скорость газа и поток тепла).

Эти решения не полные, потому что,чтобы полностью описать поведение газа, необходимо знать функциюраспределения. Если использовать аналитические методы, приводящие кточному решению, то такую задачу можно решить в замкнутом виде. Это исделано в работе [33], где рассмотрена классическая задача о движении газа ипереносе тепла в канале под действием перепадов температуры и давления [3438], которые считаются малыми, что позволяет линеаризовать задачу.Рассматривается весь диапазон чисел Кнудсена. Поведение газа в даннойработе описывается уравнением БКВ15   ( x,  , c )  g p  ( c  ) g t xc2c13  (1   '2 )d  '  exp(c '2 )c '5  ( x,  ', c ') dc '4 10(1.5)с частотой столкновений молекул, которая пропорциональна их скорости [34]: (v)  v01 ,где g p , gt − соответственно безразмерные градиенты давления и температуры,0− величина порядка средней длины свободного пробега молекул.Линеаризованная функция распределения [35] представлена в видеf  f0 (1  cy ( x,  , c)) ,(1.6)34где f0 – абсолютный максвеллиан, c   v ,   cx / c , x  x / 0 − безразмерныевеличины,   m / (2kT ) .В результате были найдены аналитические выражения для потоков массыи тепла в канале прямоугольного сечения с произвольными коэффициентамиаккомодации на стенках во всем диапазоне чисел Кнудсена и доказано строгоевыполнение соотношений Онзагера [40].Данное решение представляет интерес, но не может быть использованодля расчета потоков с высокой скоростью, каналов со сложной геометрией итечений с возмущающими воздействиями.

Также следует отметить, что эторешение применимо только для систем близких к равновесию, что в реальныхусловиях большая редкость.Следует отметить, что рассмотренные выше методики расчета течениягаза в переходном режиме не дают возможности учесть сорбирующие свойствапотока металлического пара, а также его вектор скорости, что являетсяпринципиальным моментом.Таким образом, существуют различные подходы для решения задачи отечении разреженного газа в вакуумных системах, но они дают значительнуюпогрешность, нуждаются в дополнительных эмпирических данных и вэкспериментальной проверке.1.3. Эффект скольжения газаСледует принять во внимание, что экспериментальные исследования припонижении давления в трубопроводе течения газа [8] показали, что реальныйпоток газа больше теоретического, вычисленного на основании законовламинарного течения.

Причина такого расхождения в том, что в отличие отламинарноготечения,прикоторомскоростьнаповерхностиканалапринимается нулевой, существует скачок скорости, то есть скорость потока газа35имеет конечное ненулевое значение на поверхности канала. Такое течение газаназывают течением со скольжением.Для описания эффекта скольжениясуществуетполуэмпирическийВейссбергомиХэнкстомгаза на поверхности каналаупрощенныйдляописанияподход,медленногопредложенныйвязкоготеченияразреженных газов через короткие трубы [41], дает хорошие соответствиемежду вычисленными и экспериментальными данными Лунда для короткихLтруб  0,319   11,839  и Кнудсена для длинных.RОбобщенное уравнение течения со скольжением в безразмерной форме вэтом случае имеет вид:  s  r,(1.6)где r – радиус трубы.Входящие в (1.6) переменные:1 1 RT;P 2 M  F /   r 2P48RTM(1.7),(1.8)здесь  – вязкость газа; M – молекулярный вес газа, P  P1  P2 – падение1давления, P  ( P1  P2 ) – среднее давление, R – универсальная газовая2постоянная, T – абсолютная температура, F  P  Q , Q – объемный расход.36Коэффициент  и параметр скольжения s зависят только от L / r ,отношения длины к радиусу трубы:    L 3    /  ;8 r 8 (1.9)2 L2 s  128  27  .3 r4 Основнымнедостаткомтакогорассмотрения(1.10)являетсябольшоеколичество эмпирических коэффициентов, а также тот факт, что изначальноуравнение было выведено для коротких труб (отношение длины к диаметруL/D<20), после чего были введены поправки на уменьшение давления дляотверстия и участка длинной трубы.

Значение параметра скольжения длядлинныхтрубавторыприблизительноустанавливаютпонесколькимисточникам (авторы Кеннард и Презент [9]). Из этого следует, данные,полученные при использовании этого уравнения для описания течения потокаметаллического пара, не будут достоверны. Тем более, что экспериментальныхданных для паров легкоплавких металлов крайне мало, что очень осложняетвычисление коэффициентов, и, как отмечалось выше, течения пара в канале впереходным режиме и в некоторых случаях со значительными скоростями, апри рассмотрении только вязкого медленного течения исследование будетнеполным.В связи с этим, стоит обратить внимание на аналитические методы, ненакладывающие такие явные ограничения по скорости и режим течения.Метод решения задачи о течении со скольжением (задача Крамера),изложенный в [43], является удобным и универсальным.

Эта задачапредставляет собой абстракцию реальной физической проблемы и заключаетсяв расчете стационарного поля скоростей газа, текущего вдоль направления пооси z по бесконечной плоской стенке, расположенной в плоскости x=0.37Поскольку имеет место перенос импульса к стенке, а скорость газа вдоль линийтока не меняется, поток z-компоненты импульса в направлении к стенке долженбыть постоянным. Вдали от стенки справедливо решение Чепмена-Энского, ачтобы поток импульса оставался постоянным, скорость течения на большихрасстояниях должна зависеть от x линейно, т.е. z ~   x, x   .Постоянная α связана с потоком импульса соотношением:Pxz  d z  ,dx(1.11)где  – коэффициент вязкости.Физически эту задачу можно рассматривать как предельный случайтечения Куэтта, т.е. как течение газа меду двумя бесконечными параллельнымиплоскими стенками, равномерно движущимися друг относительно друга, когдарасстояние между ними бесконечно велико. Иначе можно сказать, чтонеобходимо найти решение «внутренней» задачи (справедливое вблизи стенки),а условия на бесконечности рассматриваются просто как свойства «внешнего»течения.Математически задача состоит в решении уравнения Больцмана ссоответствующими граничными условиями на стенке.

Будем считать, что надостаточном удалении от границы (на расстоянии нескольких длин свободногопробега) любые особенности функции распределения, обусловленные влияниемстенки, полностью исчезают и справедливо обычное гидродинамическоерешение  z ~   x, x   . Таким образом предполагается, что на достаточнобольшом расстоянии от стенки функция распределения принимает видраспределения Чепмена-Энского [44-47].Чтобы не усложнять задачу, стоит принять наиболее простую модельлинеаризованного оператора столкновений, а именно линеаризованную модель38БГК(Батнагара-Гросса-Крука,модельстолкновительногооператоралинеаризованная [43]), т.е. далее необходимо решать уравнение:C   r   [ 3/2  eC '   r , C ' d 3C '  3/2C  e C ' C '  r , C '  d 3C ' 22,2 33 3/2  C 2    eC '  C '2    r , C ' d 3C '    r , C ]22(1.12)где C – безразмерная собственная скорость,  – потенциал межмолекулярноговзаимодействия, r – радиус-вектор молекулы,  – показатель отталкиваниямежмолекулярного потенциала.Интегралы в правой части уравнения представляют собой соответственновозмущенияплотности,гидродинамическойскоростиитемпературыотносительно их равновесных значений.

Однако в рассматриваемой задачесостояние газа меняется только в направлении x, гидродинамическая скоростьимеет только z-компоненту, а изменениями плотности и температуры можнопренебречь. Поэтому уравнение (1.12) сводится к следующему виду:Cx2 ( x, C )   3/2Cz  C 'z eC '   x, C ' d 3C '  x, C  .x(1.13)В качестве граничного условия на стенке принимается диффузноеотражение без изменения температуры. Это условие означает, что в результатестолкновения со стенкой молекулы приобретают распределение скоростей,соответствующеезаконураспределенияМаксвелла,снулевойгидродинамической скоростью (скоростью массопереноса сплошной среды),отсюда следует:  0, C   0 при Сx  0 .Граничные условия задают лишь половину функции распределения – этоособенность уравнения Больцмана.

Чтобы завершить постановку задачи,39остается потребовать, чтобы функция  менялась при x   по линейномузакону. Это соответствует условию, что гидродинамическая скорость набольших расстояниях от стенки растет с расстоянием линейно, т.е. ~  x ( x  ) ,где – коэффициент пропорциональности, что играет роль условиянормировки, так как в целом задача однородна.Решение уравнения с этими граничными условиями представляет собойпростейшую нетривиальную задачу кинетической теории.Решение данной задачи о течении со скольжением дает соотношение длябезразмерной гидродинамической скорости [43]: z ( x)   e Cx2 g ( x, Cx )dCx  x  a   A( )e  x /  d  .(1.14)0Первый член этого уравнения представляет собой гидродинамическоерешение, и он играет главную роль вдали от стенки.

Характеристики

Список файлов диссертации