Диссертация (1025788), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

ПриKn≥0,03 погрешность модели в пределах 3%, в переходном режимеKn=0,03..0,01 возрастает до 5..15%.2.2.2. Математическая модель течения газа на основе метода частиц вячейкахММ на основе метода пробной частицы не отображает развитиепроцессов во времени: не подходит для моделирования быстропротекающихнестационарных процессов, поэтому была разработана математическая модель,основанная на методе частиц в ячейках. Чтобы охватить и этот спектр задач,была разработана статистическая ММ на основе метода частиц в ячейках.Сравнение метода пробной частицы и метода частиц в ячейках приведено вТаблице 2.Статистическим методом частиц в ячейках, разработанным Ф.

Х. Харлоу[52], при правильном задании граничных условий можно достаточно точносмоделировать исследуемый процесс течения газа через поток металлическогопара. Суть метода заключается в следующем: моделируемая среда заменяетсясистемой из конечного числа N частиц фиксированной массы (молекулисследуемого газа). Частицы распределены в начальный момент времени поячейкамнеподвижнойэйлеровойсеткивкоординатном пространствесоответственно начальным данным (Рисунок 2.21).83Таблица 2.Сравнение статистических математических моделейСтатистические ММ течения газаОсобенностиМетод частиц в ячейкахМетод пробной частицыИспользуется расщепление физическихВ системе прослеживаютпроцессов на временном шаге Δt.большое число траекторийВ данный момент времени tα в каждойдвижения молекул от моментаячейке j неподвижной сетки находится«старта» с входного сечения доN(α, j) частиц, обладающих некоторымимомента, когда частицазначениями скоростей.

Процесспокинет систему, либо будетэволюции системы на Δt можнозахвачена поверхностью каналаразделить на два этапа:или металлическим паром.1.Ограничения2.столкновительная релаксация,бесстолкновительная релаксация.Для систем сНе отображает развитиегеометрий повышенной сложностипроцесса во времени; подходитпогрешностьдля моделирования течениярасчета возрастаетгаза в молекулярном и концепереходного режимов Kn≥0,05.В данный момент времени ta в каждой ячейке j находится N(a, j) частиц,обладающих некоторыми значениями скоростей.

В методе используетсярасщепление физических процессов на временном шаге Δt, и процесс эволюциитакой совокупности частиц на Δt можно разделить на два этапа:1.Изменениевнутреннегосостояниясовокупностичастиц,находящихся в ячейках, в предположении их неподвижности. Частицытолько сталкиваются со своими соседями по ячейке (столкновительнаярелаксация).84Смещение частиц пропорционально их скоростям и шагу по2.времени без изменения внутреннего состояния подсистем. Частицытолько смещаются и взаимодействуют с границей контрольного объема иповерхностью канала (бесстолкновительная релаксация).Рисунок 2.21.

Расчетная сетка для метода частиц в ячейкахНа первом этапе расчета каждая группа из dN0 частиц в ячейкерассматривается как статистическая модель для идеального одноатомного газа,состоящегоиз конечногочисла частицв однородном координатномпространстве. При моделировании столкновений используется статистическийметод, благодаря чему можно рассчитать время между столкновениями частицв соответствии со статистикой столкновений в идеальном одноатомном газе.Для реализации второго этапа расчета эволюции моделируемого газаприменяютсячисленныеалгоритмысмещениячастиц,использующиенеполную информацию о положении частиц в координатном пространстве, чтосущественно повышает эффективность метода [54].85Как уже отмечалось выше, объектом исследования в данной работеявляется течение газа через пары металла, концентрация которых много выше,и в канале течение будет в переходном или начале вязкостного режима.Поэтому течение металлического пара в канале можно описать с помощьюзаконов ламинарного течения.В модели были приняты следующие основные допущения:Столкновение молекул рассматривается как упругий удар жестких1.сфер;2.Учитываются только бинарные столкновения;3.Молекулы газа движутся хаотически;4.Время столкновения стремится к нулю;5.Распределениемолекулпоскоростямтепловогодвиженияопределяется законом Максвелла;6.При взаимодействии молекул газа со стенкой коэффициентаккомодации равен единице.В качестве расчетной схемы принято течение газа в цилиндрическомкапилляре (Рисунок 2.22).Восновемоделилежатследующиефизическиепредпосылки:столкновения частиц считаются парными и мгновенными, а координатымолекул – случайными величинами, распределенными по объему ячейки.Время между столкновениями рассчитывается в соответствии со статистикойстолкновений в идеальном одноатомном газе и является случайной величиной,распределенной по показательному закону, одинаковому для любой m-ой парымолекул.86Рисунок 2.22.

Расчетная схема течения газа через капилляр длиной h и радиуса rПод столкновением подразумевается случайное событие, в результатекоторого C={c1,..,cN} мгновенно изменяет свое значение на C ' , причемрезультатом столкновения может быть изменение значений лишь какой-либоодной пары векторов (ci , c j ) ; новые значения ci ', c j ' пары испытавшейстолкновение – случайные величины, но Gig=(ci+cj)/2 и gig=|ci  cj| не меняются врезультате столкновения. Здесь и далее по тексту C и C '  массивы векторовскоростей частиц до столкновения и после столкновения, ci, ci’  векторскорости i-ой частицы до и после столкновения соотвественно; g  векторотносительной скорости частицы; g – величина относительной скоростичастицы, G – вектор средней геометрической скорости.Эволюция точки C(t ) определяется последовательностью столкновений,разделенных случайными интервалами времени T.

Вероятность того, что вячейке объемом V, в которой находится Nпр пробных частиц, в момент времениt столкнулась пара частиц (ci , c j ) номером m  1,2,.., Nпр  Nп (при условии, чтоданный момент столкновение одной из пар состоялось) равна87Pm где m gijV, 4m,(2.56)k(d g  dCs ) − полное сечение столкновений,  =  m −2m1условная частота столкновений пар при фиксированном наборе g1,.., g k .Время ожидания столкновения имеет распределениеF ( )  P{T   }  1  e ,(2.57)которое не зависит от выбора начала отсчета и от пары (ci , c j ) , реализующейэто столкновение, и определяется состоянием C всей системы в целом достолкновения.В соответствии с принятыми допущениями g ( g )  const . Принимаемисследуемый интервал времени t равным времени свободного пробега.

Накаждом интервале времени должно выполняться равенство:ksc  t    t m ,(2.58)m1где sc − среднее число столкновений.Функция плотности f (T ) распределения слагаемых Ti , при которойсреднее число столкновений st удовлетворяет равенству st  t , имеет вид:f (t )  e t ,(2.59)а соответствующее ей распределение равно:tF (T )   f (T )dT  1  e t ,(2.60)0k   m .(2.61)m 1Важной особенностью F(T) является то, что время ожидания Tочередного столкновения определяется состоянием всей системы частиц в88ячейке, и, следовательно, оно не зависит от того, столкновение какой пары mразыгрывается.Алгоритм реализации ММ течения газа на основе метода частиц в ячейкахИсследуемый интервал времени t порядка времени свободного пробега.Этап 1.

Моделирование столкновений1).В системе из N частиц в ячейке для каждой частицы разыгрываетсявектор скорости (модуль скорости и два угла в сферической системекоординат). Разыгрываются векторы скорости ci , c j пробной и полевой частиц.Скорость частиц металлического пара определяется для каждой ячейки.Давление металлического пара относительно высокое, что позволяет описатьтечение потока пара металла с помощью законов ламинарного течениясплошной среды.

Для решения данной задачи за основу взято течениеПуазейля. Скорость скольжения определяется по методике, основанной натечении Куэтта [43]. В ячейке объемом V, в которой находится Nпр пробныхчастиц, выбирается пара (ci , c j ) с номером m в соответствии с условнойвероятностью столкновения Pm. Далее датчиком случайных чисел генерируетсяслучайное число , равномерно распределенное на участке [0;1], иопределяется номер пары m, испытавшей столкновение из неравенства:r 1Pi 12).mir    Pmi .(2.62)i 1Разыгрывается время T ожидания столкновения данной пары всоответствии с распределением по показательному закону (2.60).ДСЧ генерируется случайное число  , равномерно распределенное научастке [0;1], и решается уравнение:  1  e TT ln(1   ).(2.63)89Время накапливается в счетчике:nT  S .i 13).i(2.64)nЕсли Sn  t , то скорости ci , c j заменяют на скорости ci ', c j ' послестолкновения.

Так как при моделировании твердыми сферами векторотносительной скорости g ' ориентирован случайным образом, то по законусохранение количества движения получим выражение для скорости молекулыгаза после столкновения:1ci '   ci  c j   gij n  ,2(2.65)где n − единичный вектор, сферические координаты которого выбираютсяслучайным образом в соответствии с распределениямиf ( )d f ( )d d,2gij ( gij , )gij ( gij )sin  d .(2.66)(2.67)Цикл из шагов 2-3 повторяется ровно sc раз:Ssc  t  Ssc 1 .(2.68)Этап 2. Алгоритм сдвига можно представить выражением смещениякаждой i-ой частицы:r(t  t )  r(t )  ci t .(2.69)На этом этапе также моделируется взаимодействие частиц с поверхностьюканала.Численный эксперимент дает информацию об эволюции C(t ) каждойчастицы рассматриваемой системы.

Характеристики

Список файлов диссертации