Диссертация (1025788), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Среднееквадратичное отклонение величины [49]:P ОшибкаматематическойP(1  P).Nмоделипри(2.16)использованииметодастатистических испытаний может быть оценена по уравнению:  3P(1  P),N(2.17)соответственно, относительная ошибка1 P1  0,0155 3 3 0,0239 .PPN0,0155  106Это уравнение позволяет определить требуемое число испытаний дляобеспечения заданной точности расчета:N9  (1  P).P  2(2.18)Чтобы обеспечить расчет процесса перехода с вероятностью 0,0155 сточностьюнеменее5%(   0,05 ),числоиспытанийиличислорассматриваемых молекул должно быть не меньшеN9  (1  0,0155) 2,3  105 .20,0155  0,05В представленном ниже расчете общее число рассматриваемых молекулN  1 106 , и относительная ошибка составляет всего 2,4%:  31  0,0155 0,0239 .0,0155  106Далее изложена процедура вычисления конкретных молекулярныххарактеристик методом статистических испытаний, подробно описанная в62приложении к одному из наиболее часто встречающихся случаев – вычислениекоэффициентапроводимости.Алгоритмвычислениякоэффициентапроводимости P приведен на Рисунке 2.12.

Представлены выражения дляопределения координат старта, траектории частицы и координат точекпересечения траектории с поверхностью [49].После ввода исходных данных, используя датчик случайных чисел,осуществляется выбор координат молекулы, которая влетает в систему черезвходную поверхность в соответствии с законом распределения влетающихмолекул.Для круглого входного отверстия радиуса R (Рисунок 16) число молекулdN  , попавших в кольцо радиуса  и шириной d  :dN   N 2  d , R2(2.19)откуда плотность вероятностей распределения молекул по радиусуp(  ) 2.R2(2.20)Радиус вылета молекулы определяется из условия p(  )d    :0R  .(2.21)Ввиду равновероятности распределения влетающих молекул по площади,полярный угол  может быть произвольный:  2 ,(2.22)где  и   случайные числа, равномерно распределенные на отрезке [0; 1] иопределяемые с помощью ДСЧ.63ДСЧДСЧпускстопввод исходных данныхвыводрезультатоввычислениекоординат стартавычислениекоординатдвиженияДСЧДСЧбоковаяповерхностьотражениестолкновениес молекулойпаравычисление координат движения споправкой на массовую скоростьДСЧДСЧповерхностьвыходаповерхностьвходаданетпоглощениевычисление расстояния,которое пролетит частицабез столкновений rвычисление координатстолкновения с поверхностьюДСЧблок сравнениявычисление коэффициентаприлипания трубы βвычислениекоординатдвижениявычислениетепловойскоростичастицывыборповерхностистолкновениявычислениекоординатстолкновениявычисление координатдвижения частицыпосле столкновенияданетбезстолкновенийс молекулойпаравыборповерхностистолкновениявычисление координатстолкновения с частицей паравычисление коэффициентапоглощения частиц пара Kотражениеданетпоглощениевычисление координат столкновения с поверхностьюРисунок 2.12.

Структурная схема определения вероятности переходамолекул через элемент вакуумной системы методом пробной частицы64Затем выбирается направление движения частицы с поверхности входа.Траектория частицы задается в аналитическом виде:x  x0  vxt ;y  y0  v yt ;z  z0  vzt ,(2.23)где x0 , y0 , z0  координаты точки вылета молекулы, вычисленные ранее.Предполагается, что все молекулы движутся с постоянной скоростью, которуюдля удобства можно принять равной 1.Для молекулы, вылетающей с круга радиуса R (Рисунок 6)x  t  cos ;y    sin   t  sin  sin ;z    cos  t  cos  sin ,где углы и (2.24)определяются в соответствии с диффузным закономраспределения молекул на входе в канал и при отражении от стенок.

Тогдачисло молекул dN , попавших в элементарный телесный угол d   2  sin d ,пропорционально cos :dN  Nd  cos ,(2.25)откуда плотность вероятности распределения молекул по углуp( )  A  sin  cos .(2.26) /2Коэффициент A определен из условия нормировки0следовательно A  2 .p( )d  1 , и65Угол  определяется из условия p( )d   , следовательно0  arcsin  .(2.27)Так как угол  может быть произвольным, то  2 .(2.28)Случайные числа  и  равномерно распределены на отрезке [0; 1] иопределяются с помощью ДСЧ.В следующем блоке найдены координаты пересечения траекториимолекулы с поверхностями системы. Решается m систем уравнений вида: Fi ( x, y, z )  0  уравнение поверхности; x  x0  vx  t ; y  y0  v y  t ; z  z0  vz  t.(2.29)Решения этих систем  t1, t2 , ..., tm .В Таблице 1 приведены уравнения траекторий и координат точекстолкновения для торцевых (плоскость) и боковой (цилиндр) поверхностей.Далее осуществляется выбор поверхности, на которую попала молекула,вычисляются координаты точки столкновения с поверхностью или координатыстолкновения молекулы с частицей металлического пара (ниже будетрассмотрено отдельно).

Минимальный положительный кореньt*  min ti i 1,2,...,nопределяет поверхность и координаты точки столкновения( x, y, z )  ( x0  vx  t*, y0  v y  t*, z0  vz  t*) .(2.30)66Таблица 1.Уравнения траекторий и значения t* для поверхностей некоторых типовКоординаты точкиУравненияПлоскостьЦилиндрвылетатраекторийxLy 2  z 2  R2x  t  cost* y    sin  t  sin   sint* Lcos   cos(   )sin R 2   2  sin 2 (   )sin z    cos  t  sin   cosx  x0 t  sin   cost* y  t  sin   sin 2Rcos11  tg 2  sin 2 t* x0  Lsin   cosz  R  t  cosПослевыбораповерхностиосуществляетсяпереходкблоку,соответствующий выбранной поверхности. Во входном и выходном сеченияхмолекулы фиксируются счетчиками N1 и N 2 .

Если молекулы попала на боковуюстенку – строится траектория отраженной поверхностью молекулы, а в случаепоглощения молекулы стенкой – фиксируется счетчиком N погл.тр. . Если послестолкновениямолекулысчастицейметаллическогопара,произошлопоглощение – молекула фиксируется счетчиком N погл.Me , если не произошло –вычисляются координаты молекулы газа после столкновения с частицейметаллического пара.67Взаимодействие молекул газа с металлическим паром рассчитывается изусловия свободного пробега молекулы РГ между столкновениям с частицамиметаллического пара.Средняя длина свободного пути молекулы [50]1n 2 2,где n – число молекул в единице объема, (2.31) эффективное сечениястолкновения.Пусть концентрация металлического пара равна n0 , тогда на длине путиdx с поперечным сечением S содержится n0 2 молекул, сумма поперечныхсечений которых равнаdS  n0 2 2Sdx ,(2.32)следовательно, вероятность того, что молекула РГ попадает в одну из частицметаллического пара, равнаdP dS n0 2 2dx .S(2.33)Далее нужно определить число молекул, которые столкнулись нарасстоянии от l до (l+dl).

Пусть число молекул газа, которые пролетелирасстояние l без столкновения, равно N, а число молекул, пролетевшихрасстояние (l+dl), равно (NdN). Относительное число убывших частиц изпотока не рассеянных частиц равноdNdl n0 2 2dl  .N(2.34)68После интегрирования этого выражения с учетом того, что числопадающих частиц при начальной координате x=0 равно N 0 , получаетсяlN (l )  N0  e  N 0  eln0  ,2(2.35)что определяет число молекул, прошедших путь l без столкновений, т.е.вероятность пройти путь l без столкновений равнаlN (l )P(l )  e .N0Чтобы получить функцию распределения (плотность вероятности) p(l )надо определить вероятность того, что частица столкнется на участке от l до(l  dl ) :ldN d ( N 0e )dP(l ) N0N0lN 0e dll  1 e  dl ;N0dP(l )  p(l )dl 1le dl .(2.36)Плотность вероятности (или функция распределения вероятности)столкновения частицы равнаp(rст ) где  kTMg  g   Me  12M Me2 p1rстe ,(2.37)− средняя длина свободного пробега [8].69Расстояние rст , пролетев которое молекула газа столкнется с частицейпара, определяется из выражения:rст p(rст)drст   .0rст1 erстrстdx    e   1   0rст    ln(1   ) ,(2.38)где  − случайное число, равномерно распределенное на участке [0, 1],генерируемое ДСЧ.Таким образом, если расстояние, пройденное молекулой газа, меньше rст ,то столкновение не произойдет, а если больше – молекула РГ столкнется счастицей металлического пара, пройдя расстояние rст .

В последнем случаевводится поправка на массовую скорость, после чего уточняется траекториямолекулы и координаты столкновения (Рисунок 2.13).Рисунок 2.13. Столкновение молекул70Давлениеметаллическогопарапорядка102Па(Kn~10-2),чтосоответствует переходному режиму течения. Это позволяет описать течениепотока пара металла с помощью законов ламинарного течения сплошной среды.Для решения данной задачи за основу принято течение Пуазейля [42].Скорость скольжения, как уже отмечалось выше, определяется пометодике, изложенной в, основанной на течении Куэтта [43].В соответствии с принятыми допущениями, течение потока пара в трубеможет быть описано уравнением [42]:dvMp ,d  2 L(2.39)где vM – массовая скорость (скорость потока металлического пара), расстояниеот оси трубы. После интегрирования данного уравнения с учетом граничногоусловия (скорость пара на самой поверхности канала равна скоростискольжения):vM ( R)  a LdvMd R,(2.40)где a+ – коэффициент, вычисление которого приведено в [43], получаетсяследующая зависимость:vM (  ) p( R 2   2 )  a Lp .4 L2 L(2.41)Максимальная скорость, скорость на оси трубы, согласно (2.41) равна:vM max p 2R .4 L(2.42)По закону Пуазейля расход пара в трубе определяется по формулеV  p 4R ,8Lследовательно, поток пара в трубе будет равен:(2.43)71Q  p 4R p0 .8L(2.44)Пользуясь зависимостями (2.43) и (2.44), уравнение распределенияскоростей потока пара металла в зависимости от расстояния до оси трубыпредставлено в удобной форме:vM (  )  vM max (1 2R)  a L22vM max,R2(2.45)где   y 2  z 2 – расстояние от оси трубы.

Характеристики

Список файлов диссертации