Диссертация (1024786), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Это в том числе означает, чтоформула Цолли выражает необходимые и достаточные условия неустойчивоститаких сферических оболочек.Анализ полученных результатов показывает, что в широком диапазонебезразмерных параметров подобия сферических оболочек  и R / h расчётныезначениякритическихэкспериментальныхнеобходимыхпараметровзначенийусловийи,k0близкикследовательно,неустойчивостинижнейграницеобеспечиваютсферическихоболочеккихпрогнозсиловымвозмущениям при равномерном внешнем давлении.3.2Прогнозированиеположениянижнейграницыобластиэкспериментальных значений критических нагрузок конических оболочекпри осевом сжатииРассматриваетсякруговаяконическаяоболочка,имеющаядлинуобразующей, равную l , торцевые сечения радиусов R1 , R2 , ( R1  R2 ) и уголконусности  при торцевом сечении радиуса R2 . Исследуется устойчивостьравновесного состояния оболочки, сжатой силойP  2kEh2 cos2  .

Здесьk - параметр осевого сжатия, ( 0  k  1), E - модуль Юнга, h - толщина оболочки,  90-  . Для описания поведения оболочки при силовых воздействияхиспользуются уравнения Л.А. Шаповалова, согласно которым компонентытангенциальной деформации координатной поверхности приведения коническойоболочки записываются в виде1E11  1  12 ; (1  2);2гдеE12   1   2  1 2 ,(3.22)155 1  u ;1   w; 2  u  k 2 w  v;  1  v; 2  u  v; 2   w  k 2 v;  cos  / A2 ;k 2  sin  / A2 ;(...) A2  r  x cos  ; (...);x1  (...)(...) .A2 Компоненты изгибной деформацииK11  1;K 22  2  1  k 212 / 2;K      k v.1212(3.23)2Усилия и моменты изотропной оболочки, приведенные к координатнойповерхности, связаны с деформациями соотношениями (3.3).Уравнения равновесия, полученные с использованием вариационногоуравнения Лагранжа, для случая конической оболочки могут быть записаныследующим образомT11   (T11  T22 )  S  q1  0;T22  2S  S   k 2 (Q22  H )  q 2  0;k T Q  Q  Q  q  0,2 22111122(3.24)zгде  ( M 11  M 22 )  H  (T11  k 2 M 22 )1  S 2 ;Q11  M 11Q22  M 22  2H  H   T22 2  S1.(3.25)Рассмотрим случай, когда при некотором фиксированном значениипараметра k оболочка подвержена воздействию малых силовых возмущенийf ( x, , t ) , которые не вызывают резонанса на ее собственных частотах.

Безограничения общности предполагаем далее, что возмущающим факторомявляется малое нормальное давление { f1  0; f 2  0; f z ( x, , t )   f n ( x, t ) cos n}.nУравнения возмущенного движения оболочки совпадают с уравнениямистатического равновесия, если к компонентам внешних сил присоединить силыинерции и возмущающие силы, записав их в видеq1   h 2u 2v2w;qh;qf(x,,t)h.2zzt 2t 2t 2156Ввидутого,чтовызванныемалымисиловымивозмущениямидополнительные напряжения и деформации оболочки малы, для описаниядвижения поверхности оболочки используем соотношения, полученные путёмпренебрежениямалымивысшихпорядковотносительнодополнительныхперемещений и напряжений.Добавочные удлинения координатной поверхности и сдвиг определяем поформуламE11  u   101 ;E22  u  k 2 w  v;E12  u  v  v   01 2;1   w; 2   w  k 2 v.,(3.26)Выражения для добавочных изменений кривизн и кручения имеют видK11  1;K 22  2  1  k 2101; K12  1   2  k 2 v.(3.27)Соотношения, связывающие дополнительные усилия T11,T22 , S и моментыM 11, M 22 , Hскомпонентамитангенциальнойиизгибнойдеформациизаписываются в виде (3.3).Уравнения движения поверхности конической оболочки в окрестностиисходного осесимметричного положения равновесия записываются в виде 2u 2vT11   (T11  T22 )  S  h 2 ; S   T22  2S  k 2 (Q22  H )  h 2 ;tt2 w  Q11  Q 22  k 2T22  h 2  f z .Q11t(3.28)Здесь0   ( M 11  M 22 )  H  (T110  k 2 M 22Q11  M 11)1  (T11  k 2 M 22 )10 ;(3.29)Q22  M 22  H   2H  T220  2  S10 .Мы удовлетворяем требованиям периодичности по координате иразделяем переменные по х и  , представляя все величины, входящие вуравнения движения, физические и геометрические соотношения в видеF ( x, , t )  Fn ( x, t ) cos n ,G( x, , t )  Gn ( x, t ) sin n , гдеF  {u, w,1 , E11, E22 , K11, K 22 , T11, T22 , M 11, M 22 , Q11};G  {v, 2 , E12 , K12 , S , H , Q22}.(3.30)157В результате каждое из перечисленных соотношений приводит кбесконечной системе линейных соотношений для функций F и G.

Различныегармоники в этой системе соотношений не связаны между собою. В результатеполучаем для каждой из n гармоник (n=0, 1, 2, …)а) деформационные соотношения(n)E11 u n  101( n ) ;(n)E22 n vn  u n  k 2 wn ;(n)E12 vn  vn  n u n  10 2( n ) ; 1( n )   wn ;  2( n )  n wn  k 2 vn ,(n)K11 1 ;(n)(n)K 22 n  2( n )  (  k 210 )1( n ) ;(n)K12 k 2 vn  n 1( n )   2( n ) ;(3.31)n  n / A2 .б) физические соотношения в виде (3.3);в) уравнения возмущенного движения поверхности конической оболочки 2uT11( n )  (T11( n )  T22( n ) )  n S ( n )  h 2n ;xt 2vS ( n )H ( n )(n) n T22( n )  2S ( n )  k 2 (Q22)  h 2n ;xxt(3.32)(n)2wQ11( n)(n) Q11 n Q22 k 2T22( n )  h 2 n  f n ( x, t ).xtЗдесь(n)Q11(n)Q22(n)M 11(n)( n)(n)0  ( M 11 M 22)  n H ( n )  (T110  k 2 M 22)1( n )  (T11( n )  k 2 M 22)10 ;xH ( n )(n) n M 22 2H ( n )  T220  2( n )  S ( n )10 .x(3.33)На торцах оболочки должны удовлетворяться граничные условия:T11( n )  0илиu n  0;(n)Q11 n H (n)  0( n)M 110или1( n )  0;S ( n )  2k 2 H ( n )  0илиwn  0;илиvn  0.(3.34)Система уравнений (3.3, 3.31-3.34) сводится к системе восьми линейныхдифференциальных уравнений158 2 vn;t 2(n)0(n)y 2  y 4   ( y 2  M 22)  2n H ( n )  (T110  k 2 M 22) y6  ( y3  k 2 M 22)10 ;yi  2y1  n T22( n )  k 2Q22( n )  h 2u n;t 22wy 4  y 4  k 2T22( n )  n (Q22( n )  2H ( n ) )  h 2 n  f n ( x, t );t(n)0 (n)y5  E12  y5  n y7  1  2 ;y3  2n k 2 H ( n )  n y1   ( y3  T22( n ) )  h(n)y6  K11;(3.35)(n)y7  E11 10 y6 ; y8   y6относительно неизвестных yi (i = 1, 2, …, 8)y1  S ( n )  2k 2 H ( n ) ;(n)y 2  M 11;y3  T11( n ) ;(n)y 4  Q11 n H (n) ;y5  vn ; y6  1( n ) ;y 7  u n ; y8  w n ,причем 2( n )  k 2 y5  n y8 ;(n)E 22 n y 5  y 7  k 2 y8 ;(n)K 22 n  2( n )  y 6  k 210 y 6 ;(n)(n)K11 y 2 / D K 22;(n)E12 ( y1  2k 2 D(1  ))[n (k 2 y 7  y 6 ) n y8  k 210 2( n ) ] / ;  (1  )(B / 2  2k 22 D);(n)(n)E11 y3 / B E 22;(n)(n)(n)M 22 D( K 22 K11);(n)(n)K12k 2 ( E12 n y 7  10 2( n ) )  n ( y 6  y8 );(n)(n)T22( n )  B( E 22 E11);(n)H ( n )  D (1  ) K12;(n)Q22( n )  [n M 22 T220  2( n )  10 ( y1  2k 2 H ( n ) )].Собственные формы unm ( x)  {unm , vnm , wnm} и частоты свободных колебанийоболочки nm (n=0, 1, 2,…; m=1 ,2, …) определяются с использованием уравнений(3.35), полагая в них величины с индексом «0» и f n ( x, t ) равными нулю.159Уравнения (3.35) могут быть записаны в перемещениях(n)( L11P11( n ) )u n(n)( L12( L(21n )  P21( n ) )u n  ( L(22n )( L(31n )  P31( n ) )u n  ( L(32n ) 2u n h 2 ;t 2v P22( n ) )vn  ( L(23n )  P23( n ) ) wn  h 2n ;t 2 wn(n)(n)(n) P32 )vn  ( L33  P33 ) wn  h 2  f n ( x, t ).t(n  0,1, 2, 3, ...)P12( n ) )vn(n)( L13P13( n ) ) wn(3.36)Здесь дифференциальные операторы Pij(n ) определяются соотношениямиP11  0;P22  k 2 0 B(1   )  310  1   k 22T220 ;2 x 2 2(DnB)D(2)Dxx 2 20 k 21 D(  2) 2   2 D(2  )  Dn 2  2Dn 2x xP33  k 2 D 210 10k2xx 2 x0T110M 2220( k2 k 2 M 22)  n 2T220 ;2xxxxn k (1  )B (1  ) 2 0P12  2B10 ;P13 n 1  B 10   B 10 ;22x  x x (T1100 k 2 M 22)10P21  P12 ;P31  P13 B  2 B10 ;x01  1 B (1   )  B (1  ) 2 0P23  n B n 10  k 22 D  n 1 2 x2 2 xBn 10 (1  )  n k 2T220 ;P32 n ( Dk 22Определим(3.37)10 B (1   ) 0  B )n 1 n k 2T220 .x2xусловия,необходимыедляпроявленияколебательнойнеустойчивости конической оболочки при осевом сжатии.

Рассмотрим случай,когдавозмущениеf n ( x, t )можетбытьаппроксимировановыражениемf n ( x, t )  f i (t )wi  f j (t )w j , которое содержит две, i-ую и j-ую моды собственныхсвободных колебаний оболочки, имеющих одинаковое число волн n в окружномнаправлении.160Решение ищем в видеu  qi (t )ui  q j (t )u j ; v  qi (t )vi  q j (t )v j ; w  qi (t )wi  q j (t )w j .После применения метода Бубнова получаем систему обыкновенныхдифференциальныхуравнений(ОДУ)спостояннымикоэффициентамиотносительно функций qi (t ), q j (t )d 2q jd 2 qi aii qi  aij q j  f i (t ) / h; a ji qi  a jj q j  f j (t ) / h.dt 2dt 2(3.38)В силу того, что в уравнениях (3.36) операторы не обладают симметрией,( P13( n)  P31( n) ; P23( n)  P32( n) ), система уравнений (3.38) имеет несимметричную матрицуaij , что указывает на несамосопряженный характер рассматриваемой задачи.Приближенные зависимости величин квадратов парциальных частот00, M 22и 10 в соотношениях (3.37)pni  aii получим, положив величины Т 22равными нулю.

В результате приходим к соотношению~pni    ( P33wni , wni ) / Ani ;2ni2T110 ~0 P33  T11 2 ;x xxlAni  h  wni2 dx.0По мере возрастания параметра осевого сжатия k квадраты парциальныхчастот системы ОДУ (3.38) убывают с неравными скоростями, что при k  kij(n )приводит к их столкновению, pi  p j . Для конических оболочек при   100 ,1 / h  600, z  15 ( 1  R1 / cos , z  l 4 1   2 / Rср h , Rср  ( 1   2 ) / 2 ) и n  0 этособытие впервые происходит при значении k  k 4(0,5)  0,176.Для этих же оболочек первое появление нулевой частоты происходит призначении параметра k  k В  0,607, которое соответствует верхней критическойсиле сжатия и бифуркационному типу потери устойчивости.161Рис. 3.3. Точная нижняя грань k n множеств  n конических оболочекпри   10 0, 1 / h  600, z  15При выбранных значениях параметра волнообразования n зафиксируеммножества  n всех тех значений параметров k  k В , при которых имеет месторавенство парциальных частот.

Характеристики

Список файлов диссертации