Диссертация (1024786), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

min k экс  k M / 2. Согласно данным,представленным на Рис. 2.37 к этому случаю могут быть отнесены оболочки, укоторых относительная длина z  35.Различие между расчетной и экспериментально определенной нижнейграницей критических усилий сжатия ортотропных оболочек связано с тем, чтопревышение параметром осевого сжатия kзначения k0создает тольконеобходимые условия для того, чтобы воздействие силовых факторов, носящих111случайный характер, привело к росту перемещений поверхности оболочки,способных привести к скачку к ее новому равновесному состоянию.Такимобразом,представляющегособоюприпроектированиистеклопластиковуюэлементаконструкции,цилиндрическуюоболочку,появляется возможность на расчётной основе получить достаточно надёжныйпрогноз значения того усилия осевого сжатия, при превышении которогосуществует вероятность потери устойчивости оболочки.2.6 Определение динамических характеристик композитных слоистоволокнистых цилиндрических оболочек и прогнозирование ихнеустойчивости при осевом сжатии2.6.1 Определение динамических характеристик слоисто-волокнистых оболочек сучетом жесткостей взаимовлияния “растяжение-изгиб-кручение”Расширениеиспользованияэлементовконструкцийизслоистыхкомпозитов в различных изделиях аэрокосмической промышленности вызвалоповышенный интерес к их исследованию.Композитные материалы наиболее привлекательны благодаря высокимзначениям удельной прочности и удельной жесткости.

Кроме того, они обладаютбольшойусталостнойпрочностью,легкообрабатываются,могутэксплуатироваться в широком диапазоне температур, имеют отрицательный илималый по величине коэффициент температурного расширения, обладают высокимдемпфированием, сопротивляемостью коррозии, могут создаваться с напередзаданными свойствами, что делает их материалами почти неограниченныхвозможностей.Большинствоисследованийповеденияслоистыхкомпозиционныхконструкций ограничено рассмотрением частного случая, в котором слоистыйкомпозит рассматривается в рамках схемы с симметричным расположением слоевили ортотропного материала, у которого оси ортотропии совпадают с линиямиглавных кривизн оболочки. Эти частные расчетные схемы проще анализировать,112поскольку в них не проявляется взаимное влияние изгиба, растяжения и кручения,характерные для общего случая слоистого композита асимметричного строения.Вследствие такого взаимного влияния невозможно растянуть несимметричнослоистый материал без его изгиба или закручивания.

Методики же анализадинамических характеристик оболочечных элементов конструкций из такихматериалов, детально учитывающих механические характеристики каждого изслоев многослойного пакета до последнего времени отсутствовали. Это оставлялооткрытымивопросыодопустимостизаменынеоднороднойслоистойгетерогенной среды на эквивалентную однородную для различных типовоболочечных элементов.Многослойные анизотропные оболочки, в которых оси ортотропии несовпадают с направлениями координатных линий оболочки, рассматривались вработах [143, 150].Kostas P.Soldatos в работе [150] приводит решение методом БубновауравненийдвижениявперемещенияхтипаДоннелацилиндрическойнеоднородной оболочки с симметричной относительно к образующей намоткойортотропного материала. Здесь из шести коэффициентов, характеризующихвзаимовлияние«растяжение-изгиб-кручение»толькодвакоэффициента(С16 и С26) сохранены отличными от нуля.

Приведены зависимости основнойчастоты колебаний как функции угла намотки при различном числе слоевмногослойного пакета. Показано, что для любого многослойного цилиндраосновнаячастотавсегдаменьшеминимальнойсобственнойчастотыэквивалентной ортотропной оболочки.В работе J.B.Greenberg и Y.Stavsky [143] применительно к задаче околебаниях слоистых цилиндрических оболочек с ортотропией общего видапредставлены уравнения движения в перемещения, выведенные на основе теориитипа теории Лява, причем предусматривается возможность произвольнойориентации армирующих волокон в пределах каждого слоя. Эти уравнениядвижения преобразуются с помощью комплексного преобразования Фурье сконечными пределами к системе обыкновенных дифференциальных уравнений113относительно преобразованных перемещений.

Восемь произвольных постоянныхвспомогательного алгебраического уравнения в предположении, что все корниразличные, предлагается находить из восьми преобразованных граничныхусловий (по четыре на каждом краю оболочки). Поиск собственной частотыприводит к неаналитическому детерминантному уравнению относительночастоты колебаний.Отмечая в принципе возможность такого поискасобственных частот, авторы на практике используют приближенный метод,основанныйнапредставлениипреобразованныхосновныхуравненийвстандартной конечно-разностной форме с использованием стандартных программвычисления собственных значений заданных матриц (здесь - QR - методФренсиса). Работа содержит результаты многочисленных вычислений, целькоторых - иллюстрация того, как можно путем тщательного подбора угловориентацииармирующихволоконвсочетаниисподборомстепенинеоднородности оболочки получать более эффективные её вибрационныехарактеристики.Использование математического моделирования при разработке изделий изкомпозиционных материалов позволяет не только в сжатые сроки находитьоптимальные проектные решения, но и заметно снижает потребность впроведенииэкспериментальныхработ.Дляэлементовконструкций,представляющих собою слоисто-волокнистые оболочки с малым числом слоев идля которых, следовательно, введение осредненных механических характеристикнеправомерно, методики расчета собственных частот до последнего времениотсутствовали.Приведем метод расчета малых колебаний слоисто-волокнистых оболочеквращения с малым числом слоев, реализованный в программе [79], разработаннойавтором диссертации.Решение задачи о собственных колебаниях оболочек с малым числом слоевв окрестности равновесного состояния представляется в видеF (1 , 2 , t ) [ F (1) (1 ) cos n 2  F ( 2) (1 ) sin n 2 ]sin t ,G (1 , 2 , t ) [G (1) (1 ) sin n 2  G ( 2) (1 ) cos n 2 ]sin t.(2.79)114Здесь величины F и G означают одну из функцийF={u, w, 1, E11, E22, K11, K22, T11, T22, M11, M22, Q11,},(2.80)G={v, 2, E12, K12, S, H, Q22},(2.81)входящих в геометрические соотношения (2.6)-(2.7), уравнения движения(2.8)-(2.9) и физические соотношения T11  T22  S M 11 M  22  H B11 B12 B13B12 B22 B23B13 B23 B33C11 C12 C13C12 C 22 C23C13 C 23 C33C11C12C13D11D12D13C12C22C23D12D22D23C13C 23C33D13D23D33 E11  E22  E  12  . K11 K  22  2K  12 (2.82)В физических соотношениях элементы симметричных матриц жесткостей B,C, D размерности 33 определяются выражениями( Bij , Cij , Dij )   Aij (1, z, z 2 )dz(i, j 1, 2, 3) ,гдеiiii iiA11 E11cos4  i  E22sin 4  i  2( E11 21  2G12) sin 2 i cos2 i ;iiii iiA22 E22cos4 i  E11sin 4 i  2( E11 21  2G12) sin 2  i cos2  i ;ii iiii iiA12 E11 21  [ E11 E22 2( E11 21  2G12) sin 2 i cos2 i ;iiii iiA13 [ E11cos2 i  E22sin 2  i  ( E11 21  2G12) cos 2 i ] sin i cosi ;iiii iiA23 [ E11sin 2 i  E22cos2 i  ( E11 21  2G12) cos 2i ] sin i cosi ;iiii iiA33 ( E11 E22 2 E11 21 ) sin 2 i cos2 i  G12cos2 2 i ;ii iE11 E1i /(1   12 21 ) ;ii iE22 E2i /(1   12 21 ).Представление параметров (2.80), (2.81) в виде (2.79) в уравненияхдвижения, геометрических и физических соотношениях приводит к системе из 38уравнений линейных однородных соотношений для амплитудных функцийF (1) (1 ), G (1) (1 ), F ( 2) (1 ), G ( 2) (1 ) , среди которых 16 дифференциальных и 22алгебраических соотношения.115Вводя вектор y с компонентами(1)y  {S (1)  2 H (1) / R, M (1) , T11(1) , Q11 nH (1) , v (1) ,1(1) , u (1) , w(1) ,( 2)S ( 2)  2 H ( 2) / R, M ( 2) , T11( 2) , Q11 nH ( 2) , v ( 2) ,1( 2) , u ( 2) , w( 2) }(2.83)и выражая все остальные амплитудные функции с помощью имеющихсяалгебраических соотношений через его компоненты, приходим к разрешающейсистеме линейных однородных дифференциальных уравненийdy  f ( , n,  n , y )d(2.84)Граничные условия на торцах оболочкизаписываютсяввидедля шарнирно опертого краяy2  y3  y5  y8  y10  y11  y13  y16  0 ,адлязащемленного края – в виде y5  y6  y7  y8  y13  y14  y15  y16  0 ,деформационные соотношения(1)E111 du (1)nv (1)w (1)(1)0 (1)(1) 1 1 ; E 22  u ;A1 d 1A2R2(1)E121 dv (1)n (1) v (1) u  10 2(1) ;A1 d 1A21(1)  (1)K 22( 2)E11( 2)1( 2)K 221 d1(1);A1 d 11 dw (1)n (1) v (1);  2(1) w ;A1 d 1A2R2n (1) 2  1(1) ;A21 du ( 2) 101( 2) ;A1 d 1( 2)E12(1)K11(1)K12(2.85)1 dv (1) n (1) 1   2(1) ;A1 R2 d 1 A2( 2)E 22nv ( 2)w ( 2)( 2) u ;A2R21 dv ( 2)n ( 2) v ( 2 ) u  10 2( 2) ;A1 d 1A2( 2)K111 d1( 2);A1 d 11 dw ( 2)n ( 2) v ( 2)(c); 2  w ;A1 d 1A2R2n ( 2)1 dv ( 2)n( 2)( 2)   2  1 ; K12  1( 2)   2( 2) ;A2A1 R2 d 1 A2116уравнения колебаний1 dT11(1)n (1)  (T11(1)  T22(1) ) S    2u (1)  0;A1 d1A2(1)(2.86)(1)1 dSn11 dH(1) T22(1)  2S (1) (Q22)    2 v (1)  0;A1 d1 A2R2A1 d1(1)(1)1 dQ11n (1) T22(1) Q11Q22    2 w (1)  0;A1 d 1A2R2(1)Q11(1)1 dM 11n(1)(1)  ( M 11 M 22)H (1)  T110 1(1)  T11(1) 10 ;A1 d 1A2(1)Q22n1 dH (1)(1)M 22 2H (1)  T220  2(1)  S (1) 10 ;A2A1 d 1( 2)1 dT11n ( 2)  (T11( 2)  T22( 2) ) S    2 u ( 2)  0;A1 d 1A21 dS ( 2)n ( 2)11 dH ( 2)( 2)( 2)T22  2S (Q22 )    2 v ( 2)  0;A1 d 1A2R2A1 d 1( 2)( 2)1 dQ11n ( 2) T22( 2) Q11Q22    2 w ( 2)  0;A1 d 1A2R2( 2)Q11( 2)Q22( 2)1 dM 11n(1)( 2)  ( M 11 M 22)H ( 2)  T110 1( 2)  T11( 2) 10 ;A1 d 1A2n1 dH ( 2)( 2)( 2)M 22  2H  T220  2( 2)  S ( 2) 10 ;A2A1 d 1физические соотношения T11(1)  T22(1)  ( 2) S (1) M 11 (1)  M 22  H ( 2) B11 B12 B13B12 B22 B23B13 B23 B33C11 C12 C13C12 C 22 C 23C13 C 23 C33 T11( 2)  ( 2)  T22  (1)  S ( 2) M 11 ( 2)  M 22  H (1) B11 B12 B13B12 B22 B23B13 B23 B33C11 C12 C13C12 C 22 C 23C13 C 23 C33C11C12C13D11D12D13C11C12C13D11D12D13C12C 22C 23D12D22D23C12C 22C23D12D22D23C13C 23C33D13D23D33(1) E11 (1)  E 22  ( 2)  E12 (1) K11 (1)  K 22  2 K ( 2)  12 C13C23C33D13D23D33( 2) E11( 2) E22 (1)  E12 ( 2) K11 ( 2)  K 22  2K (1)  12 (2.87)117Компоненты вектора f(1)f1  mT22(1)  Q22/ R   2 y5 ;f 2  y 4  2mH (1)  y310  T110 y6 ;f 3  m( y1  2 H (1) / R)   2 y7 ;(1)f 4  T22(1) / R  mQ22  2 y8 ;(1)f 5  E12 my 7  10 2(1) ;(1)f 6  K11;(1)f 7  E11 y610 ;f 8   y6 ;( 2)f 9  mT22( 2)  Q22/ R   2 y13 ;f10  y12  2mH ( 2)  y1110  T110 y14 ;f11   m( y9  2 H ( 2) / R )   2 y15 ;( 2)f12  T22( 2) / R2  mQ22  2 y16 ;( 2)f13  E12 my15  10 2( 2) ;( 2)f14  K11;( 2)f15  E11 y1410 ;f16   y14 .Здесь принятоm  n / A2 ;  2(1)  y5 / R  my8 ; 2( 2)  y13 / R  my16 ;(1)E 22 my5  y8 / R;( 2)E 22 my13  y16 / R;(1)K 22 m 2(1) ;( 2)K 22 m 2( 2) ;G1  m( y 7 / R  y 6 )  10 2(1) / R;(1)(1)K12 G1  E12/ R;G2  m( y15 / R  y14 )  10 2( 2) / R;( 2)( 2)K12 G2  E12/ R;B13  2C13 / R B33  4C33 / R  4 D33 / R 2[ A] C11B11C13  2 D13 / RB13  2C13 / RC13  2 D13 / RD11C11(1)(1)a1  y9  ( B23  2C 23 / R) E 22 (C 23  2 D23 / R) K 22 2G2 (C33  2 D33 / R);(1)(1)a 2  y 2  C12 E 22 D12 K 22 2G2 D13 ;(1)(1)a3  y3  B12 E 22 C12 K 22 2G2 C13 ;118E(1)( 2)(1) T11 , E12 , K11  A1a1 , a2 , a3 T ;( 2)( 2)K12 E12/ R  G2 ;(1)(1)( 2)(1)(1)( 2)T22(1)  B12 E11 B22 E 22 B23 E12 C12 K11 C 22 K 22 2C 23 K12;(1)(1)(1)( 2)(1)(1)( 2)M 22 C12 E11 C 22 E 22 C 23 E12 D12 K11 D22 K 22 2 D23 K12;(1)(1)( 2)(1)(1)( 2)H ( 2)  C13 E11 C 23 E 22 C33 E12 D13 K11 D23 K 22 2 D33 K12( 2)( 2)a4  y1  ( B23  2C23 / R) E22 (C23  2 D23 / R) K 22 2G1 (C33  2 D33 / R);( 2)( 2)a5  y10  C12 E22 D12 K 22 2G1 D13 ;( 2)( 2)a6  y11  B12 E22 C12 K 22 2G1C13 ;E( 2)(1)( 2) T,E,K111211  A a4 , a5 , a6 1T(1)(1)K12 E12/ R  G1 ;( 2)( 2)(1)( 2)( 2)(1)T22( 2)  B12 E11 B22 E22 B23 E12 C12 K11 C22 K 22 2C23 K12;( 2)( 2)( 2)(1)( 2)( 2)(1)M 22 C12 E11 C22 E22 C23 E12 D12 K11 D22 K 22 2 D23 K12;( 2)( 2)(1)( 2)( 2)(1)H (1)  C13 E11 C23 E22 C33 E12 D13 K11 D23 K 22 2 D33 K12(1)(1)Q22 mM 22 T220  2(1)  10 ( y1  2 H (1) / R);( 2)( 2)Q22 mM 22 T220  2( 2)  10 ( y9  2 H ( 2) / R).Спектрчастотсобственныхколебанийцилиндрическойоболочки,нагруженной осесимметричными стационарными силами, состоит из тех значенийчастотного параметра , при которых существует нетривиальное решениесистемы линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений(2.84) при выполнении на ее торцах заданных граничных условий.

Характеристики

Список файлов диссертации