Диссертация (1024786), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Привыполнении на торце 1  0 условий шарнирного опирания w  M 11  0 (условийНавье) эти постоянные вычисляются согласно выражениям 22  12c1 c2 ,21 2~.с2   w94Основные соотношения для определения частотного спектра оболочки вокрестности ее равновесного состояния можно получить, полагая силовуювозмущающую функцию q3 равной нулю и представляя искомые компонентыдобавочного напряженно - деформированного состояния оболочки в видеX   X n ( x, t ) cos n ;Y  Yn ( x, t ) sin n ;0(2.62)0где Xn и Yn означают одну из компонент дополнительного напряженнодеформированного состояния оболочки:X   f , u, w,1 , E11, E22 , K11, K 22 , T11,T22 , M 11, M 22 , Q11;Y  v, 2 , E12 , K12 , S , H , Q22 .(2.63)Представление параметров (2.63) в виде (2.62) в уравнениях движения,геометрических и физических соотношениях приводит к бесконечной системелинейных соотношений для функций X n ( x, t ), Yn x, t  .Различные гармоники в этой системе оказываются несвязанными, так чтодля каждой из функций Фурье индекс n для простоты в последующем опускается.Для описания их малых колебаний цилиндрических оболочек, получаемследующие соотношения:а) уравнения движения в окрестности рассматриваемого равновесногосостоянияT11 2u mS  h 2 ;xtSdH  2v mT22  k 2  Q22 h;xx t 2Q112w mQ22  k 2T22  h 2  f n ( x, t );xtгде k2  1 A2 ;m  nk2 ;(2.64)95M 11 mH  T1101  T1110 ;xHQ22  mM 22  T220  2  S10 .xQ11 (2.65)б) деформационные соотношенияu 101 , E 22  mv  k 2 w,xvE12   mu  10 2 ,xw1   ,  2  mw  k 2 v,xK11  1 ,K 22  m 2 ,xvK12  k 2  m1 .xE11 (2.66)в) физические соотношенияT11  B11E11  B12 E22  C12 K12 ;T22  B22 E22  B12 E11  C12 K12 ;M 11  C12 E22  D11K11  D12 K12 ;M 22  C12 E11  D22 K 22  D12 K12 ;S  B33 E12  2C33 K12 ,(2.67)H  C33 E12  2 D33 K12 .Соотношения (2.64) - (2.67) могут быть записаны в следующем виде: 2u( L11  P11 )u  ( L12  P12 )v  ( L13  P13 ) w  h 2 ;t 2v( L21  P21 )u  ( L22  P22 )v  ( L23  P23 ) w  h 2 ;t2w( L31  P31 )u  ( L32  P32 )v  ( L33  P33 ) w  h 2  f n ( x, t ).t(2.68)96Входящие в (2.68) дифференциальные операторы имеют видd2L11  B11 2  m 2 B33 ;dxL12  m( B12  k 2 A12  B33  2k 2C33 )d;dxd;dxd2L22  ( B33  4k 2C33  4k 22 D33 ) 2  m 2 ( B22  k 2C22  k 22 D22 );dxL13  (k 2 B12  m 2C12  2m 2C33 )d2L23  mC12  2C33  k 2 ( D12  4 D33 ) 2  mk 2 ( B22  k 2C22  m 2 D22 );dxL21   L12 ; L31   L13 ; L32  L23 ;d4d222L33   D11 4  (k 2C12  2m D12  4m D33 ) 2dxdx224(k 2 B22  k 2 m C22  m D22 );P11  0;P12  mk 210 B33 ;P13  m 210 B33  B11d 0 d(1);dxdxd10 T220P21  P12 ;P22  k 2 B33  2k 2C33  2;dxR0ddP23  mB33  2k 2C33  1  mB33  B12  k 2C12 10 mk 2T220 ;dxdx0dP31  P13.P32   mB12  k 2C12  2k 2C33  1dxdm10 B33  B12  k 2C12   mk 2T220 ;dxd 0d2P33  T110 2  m 2T220  (k 2 B12  m 2C12  2m 2C33 ) 1 .dxdxВ отсутствие осевого сжатия малые собственные свободные колебанияоболочки с образованием k волн в осевом направлении и частотой  nkописываются уравнениями2L11u k  L12vk  L13wk  h nku k  0,2L21u k  L22vk  L23wk  h nkvk  0,2L31u k  L32vk  L33wk  h nkwk  0.(2.69)97Условиям свободного опирания w  M 11  T11  v  0 на торцах оболочкипри x  0 и x  l удовлетворяют функцииu k ( x)   k cos  k x; v k ( x)   k sin  k x;wk ( x)   k sin  k x;(2.70) k  k lПодстановка функций (2.70) в уравнения (2.69) приводит к системелинейных однородных уравнений для  k , k , k , из условия существованияненулевого решения которой следуетdet(С)=0.(2.71)Здесь2c11   k2 B11  m 2 B33  h nk;c12  c21  m k ( B12  B33  k 2C12  2k 2C33 );c13  c31    k [k 2 B12  m 2 (C12  2C33 )];c22  m 2 ( B22  k 2C 22  k 22 D22 )2  k2 ( B33  4k 2C33  4k 22 D33 )  h nk;c23  c32  mk 2 ( B22  k 2 C 22  m 2 D22 ) m k2 [C12  2C33  k 2 ( D12  4 D33 )];c33   k4 D11   k2 (k 2C12  2m 2 D12  4m 2 D33 )2 m 4 D22  k 22 B22  k 2 m 2C 22  h nk.Определив согласно (2.71) собственную частоту  nk и полагая величину k  1,амплитудныезначения k , kфункцийuk ( x), vk ( x)найдемпосоотношениям k  (c12c23  c13c22 ) / ; k  (c13c21  c23c11) / ;   c11c22  c12c21.Допуская, что возмущениеf n ( x, t )может быть аппроксимировановыражениемf n ( x, t )  f i ( n) (t )wi ( x)  f j( n) (t ) w j ( x) ,(2.72)98решение уравнений (2.68) ищем в видеu ( x, t )  qi( n ) (t )ui ( x)  q (jn ) (t )u j ( x);v( x, t )  qi( n ) (t )vi ( x)  q (jn ) (t )v j ( x);(2.73)w( x, t )  qi( n ) (t ) wi ( x)  q (jn ) (t ) w j ( x).После подстановки соотношений (2.72) и (2.73) в уравнения (2.68) сприменениемметодаБубноваприходимксистемеобыкновенныхдифференциальных уравнений относительно функций qi( n ) , q (jn ) видаd 2 qi( n ) aii qi( n ) (t )  aij q (jn ) (t )  f i ( n ) (t ),2dtd 2 q (jn ) a ji qi( n ) (t )  a jj q (jn ) (t )  f j( n ) (t ).2dt(2.74)Здесьaii  {( P12vi , ui )  ( P13wi , ui )  ( P21ui , vi )  ( P22vi , vi )  ( P23wi , vi ) ( P31ui , wi )  ( P32vi , wi )  ( P33wi , wi )}Ai  in2 ;(i  j )aij  {( P12v j , ui )  ( P13w j , ui )  ( P21u j , vi )  ( P22v j , vi )  ( P23w j , vi ) ( P31u j , wi )  ( P32v j , wi )  ( P33w j , wi )}Ai ;l(u , v)   uvdx;(i  j )Ai1  hl (1   i2   i2 ) / 2.0С учетом (2.73) получаем соотношения для вычисления коэффициентов,входящих в уравнения (2.74)aii  ni2   i2T110 ( h) 1  Ai { f iiФii  hii H ii  (m  k 2i ) 2 Tii   i i B11Gii };aij  { f ijФij  f jiФ ji  hij H ij  (m  k 2 i )(m  k 2 j )Tij   j  i B11Gij }Ai .Здесьf ii  2 i (m 2 B33  m i k 2 B33   i2 B11 );hii   i  i B11  k 2 B12  m 2 (C12  2C33 )  m i ( B33  B12  k 2C12 )  k 2 i2 ( B33  2k 2C33 );99f ij  mB33 ( j m  k 2 i )  m j ( B33  B12  k 2C12 )( i   j )   j  2j B11;f ji   i [  2j B11  mB33 (m  k 2 j )];hij   i (m  k 2 j )(B33  2k 2 C33 )   j  j B11  m j ( B12  k 2 C12  2k 2 C33 ) (k 2 B12  m 2 C12  2m 2 C33 );lФij   01 sinl i x cos  j xdx;Tij   T220 sin  i x sin  j xdx;00dH ij  sin  i x sin  j xdx;0 dxld10Gij  cos  i x cos  j xdx.0 dx01lРассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую системе(2.74),и,воспользовавшисьпредставлениемискомыхфункцийввидеqm (t )  Fm eit , определим частоты колебаний системы  около положенияравновесия.Характеристическое уравнение однородной системы уравнений имеет вид 4  (aii  a jj ) 2  aii a jj  aij a ji  0.(2.75)Корни его a ii  a jj2(a ii  a jj ) 24 a ij a ji(2.76)действительны, пока выражение под внутренним радикалом положительно.Если все значения  действительны или имеют положительные мнимыечасти, то функции qm (t )  Fm eit не возрастают во времени и равновесиеисследуемого объекта признается устойчивым.Изложенный подход использовался при определении необходимых условийнеустойчивости сжатых в осевом направлении вафельных оболочек, у которыхисходный лист считался изотропным с коэффициентом Пуассона  и модулем нарастяжение – сжатие Е .

Высота панели вафельной оболочки равна Н, а толщина100её обшивки - z1  H  max{h1 , h2 } (см. Рис. 2.29). В расчётах радиус обечайкипринимался равным R=145 см, а параметры вафельного подкрепления обечайки –H=14 мм, h=11,5 мм, z1=2,5 мм,b= 3,5 мм, t=70,2 мм. Относительная длинаобечайки варьировалась от L / R  0,5 до L / R  2 . Параметр осевого сжатияопределялсяпосоотношениюТ110  kТ В ,гдеTB  2 2 B33D11(1   ) / R.Расчётами установлено, что величина параметра верхнего критического усилиясжатия k  k В , при котором в спектре оболочки впервые появляется частота,равная нулю, не зависит от относительной длины обечайки.При относительной длине вафельной оболочки L / R  1,5 и числах волн0  n  50 в процессе эволюции ее частот было найдено более 600 значенийпараметра сжатия k , при которых имело место равенство парциальных частотоболочки, имевших равное число волн в окружном направлении.

На Рис. 2.30представлены те значения параметров осевого сжатия k n , которым при заданномчисле волн n отвечает первое появление равных парциальных частот.Рис. 2.30. Параметры осевого сжатия k n вафельной оболочки(торцы оболочки считались защемленными)Расчетами установлено, что при значениях параметра k  k H существуютинтервалы, внутри которых корни характеристического уравнения (2.75)являются комплексными. Этим значениям соответствует колебательная форманеустойчивости оболочек [7]. Два таких интервала для случаев, когда n=20 иn=21, показаны на Рис. 2.31.

На рисунке изображены траектории мнимых101значений корней Im  n уравнения (2.75) в зависимости от величины параметрасжатия k .Рис. 2.31. Области комплексных частот вафельной оболочки при осевом сжатииОбласть значений параметра осевого сжатия k  k0 является зонойбезусловнойустойчивостивафельныхоболочек.Зонаотносительнойнеустойчивости вафельных оболочек k  (k0 , k B ) при осевом сжатии показана наРис.

2.32. Там же показана зависимость параметров k 0 , k H и k B (соответственнокривые 1, 2 и 3) сжатых вафельных цилиндрических оболочек от ихотносительной длины L/R.Рис. 2.32. Зона относительной неустойчивости сжатых вафельных оболочекk  (k0 , k B ) при условии шарнирного опирания их торцовПри значениях k  k Hкорни соответствующего характеристическогоуравнения являются вещественными и при тех их значениях, при которых равныпарциальные частоты оболочки с равным числом волн в окружном направлении,создаются предпосылки для перераспределения энергии между формамиколебаний, сопровождаемой скачками амплитуд колебаний [23]. Такая перекачка102энергии способна привести к явлению «скачка» и исчерпания несущейспособности оболочки.В работе [107] рассмотрен основной расчетный случай нагруженияобечайки бака горючего блока РН «Ангара» с указанными выше параметрамивафельногоподкрепления,которомусоответствуетмаксимальнаяосеваясжимающая сила, равная 4800 кН и минимальное эксплуатационное избыточноедавление в баке 0,15 МПа.

Характеристики

Список файлов диссертации