Диссертация (1024786), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

На краю оболочки при угле среза    lзадаются граничные условия u  v  w  M 11  0 .Уравнения возмущенного движения оболочки совпадают с уравнениямистатического равновесия (3.4), если ввести в них силы инерции и возмущающиесилы  q1 , q2 , q z , записав их в виде147q1   h 2u 2v2w0;qh;qqf(,,t)h.2zzzt 2t 2t 2Относительно силовых возмущений предполагается, что они достаточномалыиудовлетворяютнекоторымобщимусловиям,обуславливающихсуществование решений уравнений движения в окрестности рассматриваемогоравновесного состояния.

В этом случае величины, характеризующие поведениеоболочки, можно представить в видеu  u 0  u; v  v 0  v; ...Здесь величины с индексом «0» характеризуют основное состояниеоболочки, которое зависит только от координаты  ; величины без индекса –дополнительное, возникающее при наличии силовых возмущений.Ввидутого,чтовызванныемалымисиловымивозмущениямидополнительные напряжения и деформации оболочки малы, для описаниядвижения поверхности оболочки используем соотношения, полученные путёмпренебрежениямалымивысшихпорядковотносительнодополнительныхперемещений и напряжений.Добавочные удлинения координатной поверхности и сдвиг определяем поформуламE11  1  101;E22   2 ;E12   1   2  10 2 ,(3.6)Выражения для добавочных изменений кривизн и кручения имеют видK11  1 / R; K 22  2 / A2  1  101 / R;K12   2 / R  (u / A2  v) / R.(3.7)Соотношения, связывающие дополнительные усилия T11,T22 , S и моментыM 11, M 22 , H с компонентами тангенциальной и изгибной деформации (3.6, 3.7)записываются в виде (3.3).Уравнения движения поверхности сферической оболочки в окрестностиисходного осесимметричного положения равновесия записываются в виде148 2u;t 2 2vT22 / A2  2 ( S  H / R)  S  / R  (Q22  H ) / R  h 2 ;t2 w / R  Q 22 / A2  h 2  f z ,(T11  T22 ) / R Q11  Q11tT11 / R   (T11  T22 )  S / A2  (Q11  H / A2 ) / R  h(3.8)Здесь0 / R   ( M 11  M 22 )  H / A2  (T11  M 22 / R)10  (T110  M 22Q11  M 11/ R)1 ;0Q22  M 22 / A2  2H / R  H  / R  (T220  M 11/ R) 2  S10 .(3.9)Представляя все величины, входящие в физические соотношения (3.3),геометрические соотношения (3.6, 3.7), уравнения движения (3.8) и (3.9), в видеF ( ,  , t )  Fn ( , t ) cos n ;G( ,  , t )  Gn ( , t ) sin n ,(3.11)мы удовлетворяем требованиям периодичности по координате  и разделяемпеременные по  и  .

Здесь величины F и G означают одну из указанныхфункцийF={u,w,1,E11,E22,K11,K22,T11,T22,M11,M22,Q11,};(3.12)G={v,2,E12,K12,S,H,Q22}.(3.13)В результате каждое из перечисленных соотношений приводит к бесконечнойсистеме линейных соотношений для функций F и G. Различные гармоники в этойсистеме соотношений не связаны между собою. В результате получаемдлякаждой из n гармоник (n=0, 1, 2, …)а) деформационные соотношения(n)(n)E11 u n / R  wn / R  101( n ) ; E22 n vn  u n  wn / R;(n)E12 vn / R  vn  n u n  10 2( n ) ;1( n )   wn / R  u n / R;  2( n )  n wn  vn / R,(n)(n)K11 1 / R;(n)K 22 n  2( n )  (  10 / R)1( n ) ;(n)K12 vn / R 2  n 1( n )   2( n ) ; n  n / A2 .б) физические соотношения в виде (3.3);(3.14)149в) уравнения возмущенного движения поверхности сферической оболочки 2u n n H ) / R  h 2 ;t(n) 2 vnH(n)(n)(n)(n)(n)( S ) / R  n T22  2S  (Q22 ) / R  2H / R  h 2 ;Rt2w(n)(n)(n)(Q11) / R  Q11 n Q22 T11( n ) / R  T22( n ) / R  h 2 n  f n ( x, t ).t(T11( n ) ) / R (T11( n ) T22( n ) )  n S ( n )(n) (Q11(n)(3.15)Здесь( n)(n)0Q11( n)  ( M 11( n) ) / R   ( M 11( n)  M 22)  n H ( n)  (T110  M 22/ R)1( n)  (T11( n)  M 22/ R) 0 ;1(n)Q22(n)n M 22 (H(n)) / R  2H( n) (T220 M 110 / R) 2( n)(3.16) S ( n) 10 .Уравнения (3.15), записанные в перемещениях, принимают вид(n)( L11P11( n ) )u n(n)( L12( L(21n )  P21( n ) )u n  ( L(22n )( L(31n )  P31( n ) )u n  ( L(32n ) 2u n h 2 ;t 2 vn(n)(n)(n) P22 )vn  ( L23  P23 ) wn  h 2 ;(3.18)t 2 wn(n)(n)(n) P32 )vn  ( L33  P33 ) wn  h 2  f n ( x, t ).t(n  0,1, 2, 3, ...)P12( n ) )vn(n)( L13P13( n ) ) wnЗдесь дифференциальные операторы Pij(n ) определяются соотношениями d100P11  B() / R 2  10 B(1  ) / R  (T110  M 22/ R) / R 2 ; d0P12  n 1 B(1  ) / 2 R;012  2 10P13   B (10 ) 10/ R  10 B(1  )(n 2 / 2 )  2 (T110  M 22/ R) ;2R  R P21  n 10 B / R; d100) / 2 R 2  10 B(1  ) / R  (T220  M 11/ R) / R 2 ; dB(1   )  0n 00 000P23  n()(ctq)nB(1)nB(T22  M 11/ R);11112R R Rn0P32   (T220  M 11/ R);RP22  B(1  )(101502D(1  )  0 0  0   300  P31 ()2()D(1)111(1 )  1   / R R4  2 1 00(T11  M 22/ R) ;2R3D(1   )10D(1   )  0 200  P33   2(1 ) 2  1(1 )R4  3 A22 R 2 B(1   )10 / R 2 D(1   ) R301 )(0(T110  M 22/ R)2 B(1   )10 0  1 2 R220 n 2 (T220  M 11/ R).22R Операторы Pij(n ) не обладают симметрией, так что получаемые в ходепоследующего применения метода Бубнова системы уравнений видаd 2 qi( n ) M ( n ) ( n )  aim qm (t )  f i ( n ) (t ) / h2dtm1,(i = 1, 2, …, M)(n )имеют несимметричную матрицу aim, что указывает на несамосопряженныйхарактер возникших задач.

Для механических систем, возмущенное движениекоторыхописываетсясистемаминесамосопряженныхдифференциальныхуравнений, помимо дивергентной (бифуркационной) возможна и колебательная(флаттерная) форма неустойчивости.Следуя Болотину [7], решение уравнений возмущенного движенияповерхности оболочки (3.18) при наличии силовых возмущающих факторов видаf n ( , t )   f m( n ) (t ) wm( n ) ( ) ищем в виде u ( n) ( , t )   qm( n ) (t )u m( n ) ( ), используя вmi , jmi , jкачестве координатных функций формы свободных преимущественно изгибныхколебаний незагруженной оболочки u m( n ) ( ) , соответствующие собственнымчастотам nm .Для функций форм свободных колебаний оболочки u m( n ) ( ) справедливо 2um( n) .равенство L( n) um( n)   hnm151Врезультатеполучаемсистемуобыкновенныхдифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами относительно функций qi( n) (t ), q (jn) (t )d 2 q (jn)d 2 qi( n)( n)( n) aii qi  aij q j  f i (t ) / h; a ji qi( n)  a jj q (jn)  f j (t ) / h.22dtdt(3.20)Здесьaii   ni2  {( P11u ni , u ni )  ( P12vni , u ni )  ( P13wni , u ni )  ( P21u ni , vni )  ( P22vni , vni )  ( P23wni , vni )  ( P31u ni , wni )  ( P32vni , wni )  ( P33wni , wni )}Ani ;aij  {( P11u nj , u ni )  ( P12vnj , u ni )  ( P13wnj , u ni ) (3.21) ( P21u nj , vni )  ( P22vnj , vni )  ( P23wnj , vni ) ( P31u nj , wni )  ( P32vnj , wni )  ( P33wnj , wni )}Ani ;u ni   (u ni2  vni2  wni2 )d ;(i  j )Ani1  h u ni .Устойчивость оболочки к силовым возмущениям будет обеспечена, когда ниодно из решений систем уравнений, характеризуемых числами волн n, не будетвозрастать со временем.Рассмотрим эволюцию парциальных частот колебаний сферической оболочкис углом среза  l  47,50 и параметрами подобия   30 и R / h  500 привозрастании параметра внешнего давления k от нуля до единицы.

Параметрподобия  определен соотношением  4 12(1   2 )RRsin  l  1.82sin  l .hhПо мере возрастания параметра k собственные частоты оболочки прификсированном значении параметра волнообразования убывают тем быстрее, чемвыше номер моды колебаний. По этой причине в спектре оболочки кратныепарциальные частоты появляются прежде, чем одна из них становится равнойнулю.

Расчетами установлено, что первому появлению кратных парциальныхчастот рассматриваемых оболочек соответствует значение параметра k  k0  0,187при числе волн n = 0.152Рис. 3.1. Эволюция частотных параметров осесимметричных колебанийсферической оболочки *0,m ( m  1, 2, 3, 4 ) с углом среза  l  47,50 приросте параметра давления kЗависимостибезразмерныхчастотныхпараметровосесимметричныхколебаний данной сферической оболочки *0,m ( m  1, 2, 3, 4 ) от параметра нагрузкиk показаны на Рис.

3.1 (кривые 1 - 4 соответственно). Параметр *0,m связан счастотами парциальных колебаний оболочки p0,m соотношениемp0,m  *0,mE.R 2 (1   2 )При значениях параметра k , меньших k 0 , и любых значениях параметра nвсе частоты оболочки являются различными, так что все общиеоднородныхуравненийвыражаютсячерезгармоническиерешенияфункции,и,следовательно, не возрастают во времени, что означает устойчивость оболочки поотношениюклюбыммалымсиловымвозмущениям,т.е.безусловнуюустойчивость.Экспериментальныезначениякритическихпараметроввнешнего давлениясферическихоболочексR / h [100, 1600]параметрамиподобия [8, 30] ,иравномерногоотносительнымивзятыетолщинамиизобзора153Э.И.

Григолюка и В.И. Мамая [30], показаны на Рис.3.2. Расчёты по оценкеположения границы их абсолютной устойчивости k0 ( R / h,  ) были выполнены сучетом того, что минимальные значения экспериментально определенныхкритических параметров k экс убывают по мере роста параметров R / h и  . Так,например, для определения значения величины k 0 при R / h =500 было выбранозначение   30 , наибольшее из представленных в работе [30] экспериментальныхданных. Полученные расчетным путем границы безусловной устойчивостиk0 ( R / h,  ) сферических оболочек при равномерном внешнем давлении показанына Рис.3.2 пунктирными линиями.а)б)Рис.

3.2. Экспериментальные значения критических параметровсферической оболочки при равномерном внешнем давлении изависимость границы безусловной устойчивости:а) от относительной толщины R / h(   20 при R / h  100 ,   30 при R / h  100 );б) от параметра ( R / h  400 при   16 , R / h  1000 при   16 , R / h  1600 при   16 )Для сферических оболочек с параметрами   8 появление кратныхотличных от нуля собственных частот не было выявлено. Это обстоятельствосвидетельствует в пользу того, что необходимые и достаточные условиянеустойчивости таких оболочек совпадают. Критическое внешнее давление, какдля таких оболочек, так и для всех тех, которые дополняют их до полных154сферических оболочек, может быть найдено по классической формуле Цолли безпривлечения динамического критерия устойчивости.

Характеристики

Список файлов диссертации