Многоуровневая система моделирования нестационарных и меняющихся режимов работы низкотемпературных установок (1024695), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

  2 h2 )В случае отсутствия фазовых превращений потоков хладагентов,разности их энтальпий можно выразить через температуры и изобарныетеплоемкости и не использовать уравнения состояния для потоков типа (1.2).Вводя безразмерные время     0 , где  0 – характерное время процесса икоординаты x  x L система (1.9) примет следующий вид относительно тольконеизвестных значений температур потоков хладагентов и теплопередающейстенки23T1 T1a b1 (Tст  T1 )1 x Tст 1 (T1  Tст )   2 (T2  Tст )T2 T2a b2 (Tст  T2 )  c2 (Tо.с .

 T2 )2x (1.11)с безразмерными коэффициентамиai Gi 0,ρi Si Lbi αi Пi 0,c pi ρi Siβi αo.c.Π2 0αi Πi 0, i  1, 2; c2 .c p 2 ρ2 S2 ,cст Sст ρстСледует заметить, что характерное время процесса можно получить,приравнивая к единице любой из коэффициентов ai, bi и βi и выбирая изполученных значений  0 наибольшее. Для большинства теплообменников  0определяется как0 cст ρст Sст.α1 П1  α2 Π 2Граничные условия для температур потоков будут аналогичны выражениям(1.4):k1 ( ) m1 ( )T1 ( ,0)  m 3 ( )T1 ( ,1)  m 5 ( )T2 ( ,0)  m 7 ( )T2 ( ,1)k 2 ( ) m 2 ( )T1 ( ,0)  m 4 ( )T1 ( ,1)  m 6 ( )T2 ( ,0)  m8 ( )T2 ( ,1), (1.12)а начальные условия аналогичны (1.8):Tст | 0  Т ст0 ( x ) ;T1 | 0  Т10 ( x ) ;(1.13)T2 | 0  Т 20 ( x ) .В зависимости от значений безразмерных коэффициентов a1, a2, b1, b2, c2,1, 2, система (1.11) может быть упрощена отбрасыванием отдельных членовуравнений.

В большинстве случаев коэффициенты ai и bi превосходят 104, т.е.существенно больше единицы и тогда система (1.9) упрощается до следующеговида:24 T1 x  N 1 (Tст˜ T1 ) Tст˜ 1 (T1  Tст˜)   2 (T2  Tст˜). T2 x  N 2 (Tст˜ T2 )  N 0 (Tо. с..  T2 )(1.14)Основным методом получения аналитических решений систем уравнений(1.11)и(1.14),описывающихнестационарныережимыработытеплообменников, является метод интегральных преобразований Лапласа повремени [39, 39].

Сущность метода заключается в замене исходной функцииf(y), называемой оригиналом, другой функцией F(p), называемой изображениемс помощью преобразованияF ( p )   f ( y ) * e  py dy ,0F ( p ), где р является параметром Лапласа.или в символьном виде f (t ) Для применения преобразований Лапласа на оригинал накладываютсяследующие ограничения:f(y)≡0 при у<0;f(y) при у>0 интегрируем наотрезке [0, y]; f(y) ограничена на отрезке [0, y] экспоненциальной функцией,т.е.

всегда найдутся постоянные С и S такие, что│f(y)│<Cexp[Sy].Обратное преобразование Лапласа, т.е. переход от изображения коригиналу осуществляется по следующей формуле:  ie pyf ( y )   F ( p)dp2i  iилиf ( y )  F ( p ) , где i  - 1 - мнимая единица, a –действительноеположительное число.Температура, как функция от времени, удовлетворяет ограничениям,налагаемым на оригинал, и поэтому к системам уравнений, описывающим25нестационарные режимы работы теплообменников (1.11) и (1.14), можноприменить метод интегральных преобразований Лапласа для полученияаналитического решения при условии постоянства в них безразмерныхкоэффициентов.Используем интегральные преобразования Лапласа для решения системыуравнений (1.11) для двухпоточного противоточного теплообменника приосреднении безразмерных коэффициентов ai, bi, с2 и βiT1 T1a b1 (Tст  T1 )1 x Tст 1 (T1  Tст )   2 (T2  Tст )T2 T2a b2 (Tст  T2 )  c2 (Tо.

с.  T2 )2 x(1.15)с начальными условиями (1.13) и независимыми граничными условиями дляпротивоточноготеплообменника,получающимисяиз(1.12)(m1=m4=1,m2=m3=m5=m6=m7=m8=0, k1=T10 , k2=T20 ):T1(0) = T10T2(1) = T20(1.16)После применения интегральных преобразований Лапласа к системедифференциальных уравнений в частных производных (1.15) получается системадвух дифференциальных уравнений в частных производных и одного линейногоалгебраического уравнения:1pa b1 ( ст  1 )  Т 1011x0, pст  1 (1  ст )   2 (2  ст )  Т ст2 p2  a 2 b2 (ст  2 )  с2 (Т о.с.  2 )  Т 20x(1.17)где: Θ1, Θ2 и Θст - изображения температур прямого, обратного потокахладагента и теплопередающей стенки,26T1 ( x , )  1 ( x , p );T2 ( x , )  2 ( x, p );Tст ( x , )  ст ( x , p );T 1  p1 - T10 ; T 2  p2 - T20 ; T ст  pст - Tст0 . Граничные условия получившейся системы уравнений (1.16) перепишутсякак:1 (0, p)  10;2 (1, p)  20.Θ10;где Т10 (1.18),Т 20  Θ20.Выражая из второго уравнения системы (1.17):0( 11   22  Т ст)cт p  1   2и подставляя в первое и третье уравнения системы (1.17) и преобразовывая,получается система двух линейных дифференциальных уравнений первогопорядка относительно Θ1 и Θ2: d1b1  21  b1  2  p 1  b1Tст0p T10 12a1  p  1   2a 2  p  1   2 a 2 ( p  1   2 )  dx b2 ( 1  p)1b2  2 1  b2Tст0 d 2   pc T20  c2Tо.с.

122 dxa 2  p  1   2 a 2 ( p  1   2 )  ( p  1   2 ) a2(1.19)Система уравнений (1.19) имеет два решения для изображений, каждое изкоторых состоит из суммы двух экспоненциальных функций: 1   с11 с12   е1х   с10    с   2 х   с с 2   21 22  е   20 (1.20)где постоянные интегрирования Сi,j и Сi0 (i=1, 2; j=1, 2) определяются изграничных условий (1.18), характеристические числа λi зависят от параметраЛапласа р.27Наибольшую трудность, возникающую при использовании методаинтегральныхпреобразованийЛапласа,представляетопределениеоригиналов по найденному изображению (1.19), т.е.

вычисление следующихинтегралов:a i1T j ( x , ) c1 j ( p)e1 ( p ) x  c2 j ( p)e2 ( p ) x  c0 j ( p)  e p dp, j  1, 2 .2i a iЭти интегралы только в редких случаях имеют аналитическое решение иобычно вычисляются как приближёнными [40, 41], так и численными методами[42].И.А.Барский [43] при решении системы без учёта производных повремени для потоков (1.13) с помощью преобразований Лапласа получилзависимость температуры потоков на выходе противоточного теплообменникапри скачкообразном изменении температуры потока на входе.В.Н.Козлов и Л.П.Аратюнян [44, 45, 46, 47] получили аналитическоерешение помощью преобразований Лапласа для той же системы (1.13) присвязанных на холодном конце противоточного теплообменника граничныхусловиях.

Теплоприток из окружающей среды был отнесён не к обратномупотоку, а к теплопередающей стенке. В работе [48] использовалосьприближённое решение системы (1.13) в виде первых членов бесконечногоряда, давшее достаточно хорошее совпадение результатов по сравнениюточным решением. В тех же предположениях Б.А.Макаровым [49] былонайдено аналитическое решение этой же системы для независимых граничныхусловий и путём сведения решения к интегрально–дифференциальномууравнению относительно температуры теплопередающей стенки.Следует заметить, что аналитические решения можно получить толькопри определённых допущениях и ограничениях при моделировании работытеплообменника, а также конкретных граничных условиях.

Даже с учётом этихупрощений обратный переход Лапласа не всегда может дать аналитическиевыражения, и большинство авторов используют численные методы перехода отизображений к оригиналам. Учёт изменения теплофизических свойств28приводит к полуаналитическим решениям, что снижает достоинство этихспособов. Различные способы сосредоточения параметров по координатепозволяют получить хороший результат лишь в отдельных случаях и не могутпретендовать на универсальность.Спомощьюлинеаризацииисходныхуравнений,описывающихнестационарные режимы работы теплообменных аппаратов, относительноотклонений параметров и искомых переменных, искалось решение в работахБ.П.Королькова[50,51,52,53].Решениеискалосьметодами,каксосредоточения параметров, так и с учётом переменности теплофизическихпараметров потоков и стенки по координате.

При этом учитывались потеридавления и переменность массового расхода потоков. Целью было получениекачественных характеристик влияния входных параметров на выходные вслучаях различных возмущений с помощью передаточных функций в областиизображений.Дляполучениярешенияворигиналахиспользовалисьспециальные V - функции от двух аргументов.

Во всех работах Б.П.Корольковарассматривались модели двухпоточных теплообменников, в которых дляодного из потоков (однофазного или двухфазного) учитывались изменениятеплофизических свойств, а для другого потока практически не учитывались.Значительный вклад в развитие расчётных методов исследованиянестационарных режимов работы теплоэнергетических установок и ихэлементов внёс академик Б.Н.Девятов.

Методом характеристик [54] им былополучено решение системы(1.5) дляслучая«тонкой» и«толстой»теплопередающей стенки. В других его работах [55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62]решение системы уравнений, описывающей нестационарные процессы втеплообменных аппаратах с «тонкой» стенкой, получалось методом Лапласа –Карсона с использованием инерционностей разных порядков в качествеинтегрального параметра переходного процесса. Обратное преобразованиеЛапласа осуществлялось либо разложением изображений по степенямоператора Лапласа в ряд Маклорена, либо по полиномам Лагерра.

Для учётараспределённости свойств потоков теплоносителей теплообменник был29разделён на несколько частей. На каждой части использовалась модель ссосредоточенными параметрами, и затем полученные решения на каждой частистыковались между собой. Изложенные методы решения были полученыприменительно к задачам управления и не позволяют определить профильтемператур потоков по координате.Получение решения с использованием преобразований Лапласа длясистемуравнений,описывающихрежимыработытеплообменниковразличного типа, изложены так же в работах А.А.Шевякова и Р.В.Яковлевой[63], П.А.Андрианова [64, 65], причём В.Т.Герман и А.Д.Компаниец [66]учитывали влияние корпуса теплообменника.Большой вклад в развитие аналитических методов расчёта тепловоговзаимодействия потока и стенки сделали работы А.М.Макарова и его учеников[67, 68, 69, 70, 71].

Различные виды конечного результата для полученияаналитическихрешенийсистемуравнений,описывающихработутеплообменных аппаратов, изложены в его работах, в том числе и дляоднопоточного теплообменника. Методом интегральных преобразованийЛагерра.Сущностьудовлетворяющейметодазаключаетсяограничениям,втом,налагаемымчтоприфункцииf(y),использованииоперационного исчисления, ставится в соответствие последовательностькоэффициентов разложения этой функции по полиномам Лагерра:f n  ( f , Ln )   f ( y ) Ln ( y )dy ,(1.21)0где Ln(y) – полином Лагерра порядка n (n = 0, 1, 2, ...):e y d n y nLn ( y )   n (e y ) .n! dt(1.22)Поэтому функцию f(y) можно разложить в бесконечный ряд по полиномамЛагерра:f ( y )   f n Ln .n 0Отсюда следует основное свойство преобразований Лагерра:30 df n , Ln    f k  f (0) . dy k 0Используяматрично-векторнуюзапись,последовательностькоэффициентов fn можно записать в виде вектора - столбца F и аналогичнозаписывается вектор-столбец L, составленный из полиномов Лагерра: L0   L1 L  2.

L . . Ln  . .   f0   f1 f  2. F  .. , fn  . .  Матрично-векторная запись выражений (1.21) и (1.22) в этом случаебудет иметь следующий вид:f ( y )  F T L( y )(df, L)  DF  F (0) .dyгде D – нижняя диагональная матрица с единичными элементами, F(0) –вектор-столбец, составленный из элементов f(0).Используем интегральные преобразования Лагерра для решения системыуравнений, описывающей нестационарное тепловое взаимодействие потокахладагента и стенки, т.е. для однопоточного теплообменника. Системауравнений в этом случае имеет вид, аналогичный системе для двухпоточноготеплообменника (1.9) при отсутствии фазового превращения потока:31TTcSGc П (Т ст  Т )   о.с. П (Т о.с.

Характеристики

Список файлов диссертации