книга в верде после распозна (1024283), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

P(At < А < Д2) = j y(A)dA = Д1

Д2

-ехр

г о*

dA .

(1.5)

Д! oV27r'

Интеграл в формуле (1.5) можно вычислить, используя таблицы

функции Лапласа Ф(г)

dt, приводимые в книгах по

е-*2'2 о

теории вероятностей и статистической обработке экспериментальных результатов [2, 28]. Нетрудно заметить, что

Р{Аг < А < Д2) = (1/2) [Ф(Д2/а) - Ф^/а)]. (1.6)

В табл. 1.1 приведены значения вероятностей для некоторых ин-

с о

тервалов [At, Д2], заданных в единицах о.

0

Таблица 1.1

В первом столбце табл. 1.1 указываются интервалы, характеризуемые

о о

своими нижними и верхними границами Дх и Д2 соответственно. Второй столбец дает вероятности Р того, что случайная погрешность результа­та измерения не выходит за границы соответствующих интервалов. В третьем столбце показано, каковы вероятности выхода случайной по­грешности за пределы интервалов.

Согласно табл. 1.1 вероятности получения значения случайных погрешностей в интервале [— (2/3) а, + (2/3) о] и за его пределами оди­наковы, в то время как в среднем только 0,3% измерений имеют по­грешности, абсолютное значение которых превышает 30. Значение по­грешности (2/3)0 называется вероятной погрешностью, а значение Зо часто считают практически наибольшей возможной погрешностью. Однако при большом числе измерений (и > 20 -г- 30) максимальная по­грешность нередко может превышать За.

Как уже указывалось, часто распределение погрешностей можно при­нять равномерным:

0 при Д2 > Д > А\;

1/(Д2 - ДО при Дх < Д < Д2.

Такой закон распределения характерен, например, для погрешностей отсчета по шкале прибора, погрешностей дискретности в цифровых измерительных приборах, погрешностей квантования в аналого-цифро­вых преобразователях (АЦП).

Рассмотрим далее оценки параметров распределения случайных по­грешностей прямых измерений. Напомним, что случайная абсолютная

о

погрешность определяется формулой Д = х — хи, где х — результат измерения; л:и — истинное значение измеряемой величины. Если было проведено и прямых измерений одной и той же величины, то в общем случае в каждом из актов измерений погрешность будет разной:

о о

Д,- = х. - хи, где Д; — погрешность /-го измерения; х. — результат г-го измерения.

У (А)

0

Поскольку истинное значение измеряемой величины хи неизвестно, непосредственно случайную абсолютную погрешность вычислить нельзя. При практических расчетах приходится вместо хи использовать его оцен­ку. Обычно принимают, что истинное значение равно среднему арифме­тическому значению ряда измерений:

х = (xi + х2 + ... + хп)/п =

= ЪхМ , (1.7)

i = 1

где Xj — результаты отдельных измерений; п — число измерений.

Теперь аналогично Д. можно определить отклонение результата каж­дого измерения от среднего значения х как

щ

vt = xt-H, (1.8)

а затем по формуле

о = V (2>2)/(и- 1) (1.9)

вычислить оценку а значения среднеквадратической погрешности дан­ного ряда измерений. Согласно теории вероятностей при достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погреш­ности, оценка а сходится по вероятности к а. Таким образом,

= У(.|!)• (1Л°)

Ввиду того что среднее арифметическое значение х также является случайной величиной, имеет смысл понятие среднеквадратического от­клонения среднего арифметического значения х. Эту величину обозна­чим символом ст~„. Можно показать, что для независимых погрешностей

"с = °l>/»= /S v?/n(n - 1) . (1.11)

Значение а характеризует степень разброса x. Как указывалось вы-ср

ше, х выступает оценкой истинного значения измеряемой величины, т.е.

является конечным результатом выполняемых измерений. Поэтому

а называют также средней квадратической погрешностью результата ср

измерений.

На практике значением о, вычисляемым по (1.10), пользуются в том случае, если необходимо дать характеристику точности применяемо­го метода измерения: если метод точен, то разброс результатов отдель­

0

ных измерений мал, т.е. мало значение о. Значение же аСр, вычисляемое

по (1.П), используется для характеристики точности результата изме­рений некоторой величины, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых из­мерений.

Введем важные понятия доверительной вероятности и доверитель­ного интервала. Как указывалось выше, среднее арифметическое зна­чение 1с, полученное в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения х^ и, конечно, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть Рд есть вероятность того, что х отличается от х^ не более чем на Д, т.е.

Р(-А < *и - х < Д) = Рд

или

Р (х - Д < < х + Д) = Рд .

Вероятность Рд называется доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины отх - Ддох+Д — доверительным интервалом.

Приведенные выше неравенства означают, что с вероятностью PR доверительный интервал от х — Д до х + Д заключает в себе истинное значение х^. Таким образом, чтобы характеризовать случайную погреш­ность достаточно полно, надо располагать двумя числами — доверитель­ной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона, в то время как при небольшом числе измерений (и < 20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероят­ностей, практически совпадающую с нормальной при больших и, но зна­чительно отличающуюся от нормальной при малых п.

В табл. 1.2 приведены так называемые квантили распределения Стью­дента \t (и) \р для числа измерений п - 2 -=- 30 и доверительных вероят-д

ностей Р = 0,8 -г- 0,99. Более полную таблицу можно найти, например, в [2]. Укажем, однако, что обычно таблицы распределения Стьюдента приводятся не для значений п и Р ,а для значений тп = п— 1 и а = 1 — Рд, что следует учитывать при пользовании ими. Чтобы определить довери­тельный интервал, надо для данных и и Рд найти квантиль \t(n) \р и вычислить величины д

хп = * - acJt(~n)h и хв = * + асрМи)1р ' v д д

0

Таблица 1.2. Квантили распределения Стьюдента

Число изме- Доверительная вероятность Р^

рений--•—^-

П 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99

которые будут являться верхней и нижней границами доверительного интервала.

Примеры нахождения доверительных интервалов для заданной до­верительной вероятности приведены ниже. Там же показана одна из наиболее употребительных форм записи результата измерения в виде

где а — результат измерения в единицах измеряемой величины; Д — погрешность измерения; Др и Дн — верхняя й нижняя границы погреш­ности измерения; Рд — доверительная вероятность.

Пример 1. Произведено 17 отсчетов значений измеряемой величины — напряжения (см. ниже). Требуется произвести обработку результа­тов измерений (предполагая их нормальное распределение). Для этого выбрать доверительную вероятность Рд = 0,95. Систематической погреш­ностью пренебречь.

i — номер измерения, х- — результат измерения. 16

Обработку результатов измерений будем вести в следующей после­довательности.

1. Определим среднее арифметическое значение результатов отдель­ных измерений по формуле (1.7):

х = (1681 + 1701 + 1693 + 1678+ 1686+1674+1705 + 1685 + 1697 + + 1690 + 1690 + 1685 + 1682 + 1690 + 1687 + 1680 + 1692)/17 = = 1688,0 мВ.

Значение х будем считать оценкой истинного значения измеряемого напряжения U, т.е.и — х = 1688,0 мВ.

2. Вычислим отклонения результатов отдельных измерений от сред­него значениях по формуле (1.8) :

3. Вычислим оценку о значения средней квадратической погрешности ряда измерений по формуле (1.9) :

Характеристики

Список файлов книги