книга в верде после распозна (1024283), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

(-7)2 + (13)2 + (5)2 + (-10)2 + (-2)2 + (-14)2 + J 17-1

+ (17)2 + (-3)2 + (9)2 + (2)2 + (2)2 + (-3)2 +

-.——j

+ (_6)2+ (2)2+ (-1)2+ (-8)2+ (4)2 - = 8,1 мВ.

Согласно (1.10)

а «* 6 = 8,1 мВ.

Далее по (1.11) определим % = 8.1/V17" « 2,0 мВ.

0

Для вычисления доверительного интервала, соответствующего дове­рительной вероятности Рд = 0,95 и числу измерений п - 17, следует вос­пользоваться табл. 1.2.

Находим значение квантиля:

If (и = 17)1Рд=0>95 =2,12.

Поскольку аср = 2 мВ, то нижняя граница доверительного интервала

хн =~х - |f(«)lPCT,„ = 1688 - 2,12-2,0 = rR ср

= 1688,0 - 4,2 = 1683,8 « 1684 мВ,

а верхняя граница

xD = ~х+ |г(и)|„ ст„ = 1688,0 + 2,12-2,0 = в rR ср

= 1688,0 + 4,2 = 1692,2 « 1692 мВ.

Нижняя и верхняя границы погрешности измерения

\ = - U(n)\p а « -4,0 мВ д v

и

К = + U(n)\p о « +4,0мВ д ср

соответственно.

Результат измерения может быть записан в виде

U = 1688 мВ; Д = ± 4 мВ; Рд = 0,95.

Пример 2. Произведено 10 отсчетов значений измеряемой величи­ны — напряжения (см. ниже). Задание то же, что и в примере 1.

Следуя той же последовательности действий, что и в примере 1, по­лучим

х = 1689,0 мВ, т.е. U ^ х = 1689,0 мВ; о « 10 мВ, т.е. а — а = 10 мВ; с; = 3,2 мВ.

ср '

0

Находим из табл. 1.2 значение \t(10)\p = 0 95 = 2,26. Следова­тельно, границы доверительного интервала

хн = 1689,0 - 2,26-3,2 = 1681,8 « 1682 мВ; хв = 1689,0 + 2,26 - 3,2 = 1696,2 ~ 1696 мВ. Результат измерения записывается в виде U = 1689 мВ; Д = +7 мВ; Рд = 0,95.

Сравнение результатов измерения в примерах 1 и 2 показывает, что при уменьшении числа измерений с 17 до 10 происходит увеличе­ние доверительного интервала, соответствующего одной и той же до­верительной вероятности Рд = 0,95.

Случайные погрешности косвенных измерений. Если величина А является функцией величин X, Y,..., Z [А = f{X, Y,... ,Z] и оп­ределяется на основании прямых измерений этих величин, то средняя квадратическая погрешность измерения величины А может быть вы­числена по формуле

°*= У(ЫЧтЫ2+--- +(-£°*Г' (1л2)

где ах, Оу , ■ ■ ■ , oz — средние квадратические погрешности измерения

величин X, Y,... , Z соответственно.

Производные вычисляются в точке (X, У, . . . , Z). Формула (1.12) справедлива в том случае, если величины X, Y, . . . , Z независимы (или некоррелированы).

Суммирование погрешностей. При измерениях может быть несколько источников как систематических, так и случайных погрешностей. Поэто­му практически важным является вопрос о правилах нахождения сум­марной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. При суммировании составляющих неисключен-ной систематической погрешности их конкретные реализации можно рассматривать как реализации случайной величины. Если известны гра­ницы 0. составляющих неисключенной систематической погрешности, а распределение этих составляющих в пределах границ равномерно, то граница неисключенной систематической погрешности результата изме­рения вычисляется по формуле

0 = к / Z 0? ,

где к — коэффициент, определяемый принятой доверительной вероят­

0

ностью. При доверительной вероятности 0,95 он принимается равным 1,1 (ГОСТ 8.207-76).

При суммировании случайных погрешностей необходимо учитывать их корреляционные связи. Суммарная средняя квадратическая погреш­ность при двух составляющих может быть вычислена по формуле

ст£ = л/ст? + oi + 2pOi02, (1-13)

где 0"i и о2 — средние квадратические погрешности отдельных состав­ляющих; р — коэффициент корреляции.

Поскольку на практике трудно получить удовлетворительную оцен­ку коэффициента р, приходится ограничиваться крайними случаями, т.е. считать, что либо р = 0, либо р = ± 1. Тогда приведенная выше форму­ла примет вид

о-£ = \/ а\ +■ а\, если р = О или

= I Oi - °2 I, если р = +1.

Таким образом, при отсутствии корреляционной связи средние квад­ратические погрешности складываются геометрически, а в случае жест­кой корреляционной зависимости —алгебраически. Этот вывод справед­лив и для случая нескольких источников погрешностей.

Правила нахождения границы погрешности результата измерения при одновременном наличии как неисключенных систематических, так и случайных погрешностей также регламентируются ГОСТ 8.207-76 и за­ключаются в следующем. Если О/о^ < 0,8, то неисключенными система­тическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

Дх = Д = \t(n)\p os ,

где \t(n)\p — коэффициент Стьюдента, определяемый по табл. 1.2. д

Если 0/о"£ > 8, то, наоборот, пренебрегают случайной погрешностью

по сравнению с систематической и считают, что граница погрешности результата Д^ = в.

В случае, если эти неравенства не выполняются, следует найти компо­зицию распределений случайных и неисключенных систематических по­грешностей, рассматриваемых как случайные величины, вычислить зна­чение среднего квадратического отклонения и затем границы суммар­ной погрешности результата измерения. Допускается также определение границы погрешности результата измерения при помощи приведенных в ГОСТ 8.207-76 эмпирических формул.

0

Исключение грубых погрешностей. Выделение грубых погрешностей (промахов) не простая задача, она требует достаточно глубокого пони­мания особенностей поведения измеряемой величины. Наиболее часто для обнаружения промаха используют так называемый критерий Райта. Согласно этому критерию, если случайное отклонение какого-либо изме­рения от среднего арифметического значения превышает Зст, то есть основание считать, что данное измерение содержит промах. Критерий Райта в таком виде целесообразно применять при не очень большом чис­ле измерений (ст < п < 20). Если же число измерений 20 < п < 100, то рекомендуется вместо значения Зст использовать значение 4ст.

Более обоснованная, хотя и более громоздкая процедура исключения грубых погрешностей базируется на одном из разделов математической статистики — статистической проверке гипотез. В связи с тем что не предполагается знания читателем соответствующего материала, авторы вынуждены отослать интересующихся к одному из курсов, посвященных специально вопросу обработки экспериментальных результатов [28].

Необходимое число измерений. Вопрос о том, сколько измерений требуется произвести для того, чтобы погрешность не превышала до­пустимое значение, весьма важен, так как от его решения зависит весь последующий ход эксперимента.

Надо четко понимать, что увеличением числа измерений можно умень­шить только случайную составляющую погрешности (уменьшить средние

квадратические погрешности ст и с , которые согласно формулам

ср

(1.10) и (1.11) зависят от числа измерений и). В то же время системати­ческая погрешность не уменьшается при увеличении п. Поэтому если остаточная систематическая погрешность является преобладающей, то увеличение числа измерений мало что дает. Чаще всего в этом случае ограничиваются одним измерением. Так, например, при измерении на­пряжения сети неточным переносным стрелочным прибором нет никако­го смысла прибегать к многократным измерениям и статистической обработке результатов измерения. Поскольку систематические погреш-,ности заведомо превышают случайные, то достаточно провести всего одно измерение. При более точных измерениях на первый план могут выступить случайные погрешности. Тогда проведение многократных измерений является оправданным. Число измерений нужно выбрать та­ким, чтобы средняя квадратическая случайная погрешность стср не пре­вышала максимального допускаемого значения о* „. Ясно, однако,

ср, ДОП

что уменьшение ст„ за счет многократных измерений следует добиваться ср

только до тех пор, пока вклад случайных погрешностей в общую по­грешность измерения не будет сравним со вкладом остаточных систе­матических погрешностей.

1.6. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ И ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ

Входной величиной измерительного прибора является его измеряемая величина. Наибольшее и наименьшее значения измеряемой величины, для которых нормированы погрешности, называются преде­лами измерения. Область значений, заключенная между верхним и нижним пределами измерения, называется диапазоном измерений. От диапазона измерений следует отличать диапазон показаний, который охватывает область значений шкалы, ограниченную конечным и началь­ным значениями шкалы. Таким образом, диапазон измерений, охваты­вающий часть шкалы, в пределах которой измерения могут быть про­ведены с нормируемой погрешностью, более узок, чем диапазон показа­ний, охватывающий всю шкалу.

Выходной величиной измерительного прибора является изменение состояния отсчетного устройства, например положения стрелки стрелоч­ного прибора.

Функция (уравнение) преобразования — функциональная зависимость между выходной величиной у и входной величиной х. Как и любая функция, функция преобразования может задаваться аналитически (уравнением), таблично или графически. В аналитическую функцию преобразования обычно входят конструктивные параметры прибора или преобразователя и поэтому она используется при расчете и проектиро­вании. Функция преобразования реального преобразователя опреде­ляется экспериментально. В ходе опыта определяется зависимость вы­ходной величины от входной. Для упрощения анализа полученной функ­ции по табличным данным строится график.

Обычно желательно, чтобы функция преобразования была линейной.

Чувствительность — это отношение изменения выходной величины из­мерительного прибора или измерительного преобразователя к вызвав­шему ее изменению входной величины. Чувствительность определяется выражением

S = dy/dx (1.14)

и может быть определена при любом способе задания функции преобра­зования.

В важном частном случае, когда выходная величина изменяется про­порционально входной, S = у/х, где у — значение выходной величины, соответствующее входной величине х. При нелинейной функции преобра­зования чувствительность зависит от значения входной величины.

Для прибора или преобразователя может определяться абсолютная, относительная и приведенная погрешности.

Абсолютная погрешность прибора в данной точке диапазона изме­рения равна

(1.15) где хп — показание прибора; х — истинное значение измеряемой ве­личины. Однако в связи с тем, что истинное значение неизвестно, на практике вместо него используется действительное значение хд. В ка­честве хд принимают показания более точного, образцового прибора.

Абсолютная погрешность прибора выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина.

Относительная погрешность прибора равна отношению абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины и обычно выражается в процентах:

8 = (ДА) ■ 100 = [(хп - *)/*]• 100. (1.16)

Приведенная погрешность прибора 7 также выражается в процентах и равна отношению абсолютной погрешности к нормирующему значе­нию xN, которое принимается равным верхнему пределу измерений (если нулевая отметка находится на краю или вне.шкалы) или диапазо­ну измерения (если нулевая отметка находится внутри диапазона изме­рений) , %:

7 = (A/xN)-100 = [(хп - x)/xN] ■ 100. (1.17)

Значения абсолютной, относительной и приведенной погрешностей используются для нормирования погрешности приборов.

Абсолютную погрешность измерительного преобразователя невоз­можно определить по выражению (1.15), поскольку входная и выход­ная величины могут иметь различную физическую природу, а также вследствие того что часто отсутствует образцовый измерительный преобразователь, по которому можно было бы проверить рабо­чий преобразователь. Различают номинальную функцию преобразования измерительного преобразователя уном =/ном(х), которую он должен иметь согласно государственным стандартам, техническим условиям или другим нормативным документам, и реальную у = f(x), которую он имеет в действительности. Разность значений действительной и но­минальной функций преобразования при одном и том же значении вход­ной величины определяет абсолютную погрешность преобразователя по выходу:

*У = У - Ушм ■ 0-18)

Характеристики

Список файлов книги