6,Квантовая физикак (1022107), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Уравнение Шредингера:−h2 E  E  E E ⋅ exp − i t  ⋅ ∆ψ + U ⋅ψ ⋅ exp − i t  = ih − i  ⋅ψ ⋅ exp − i t 2m h  h  h h Квантовая физика7–107–23после упрощений приобретает вид:h2−∆ψ + Uψ = Eψ2mили2m∆ψ + 2 ( E − U )ψ = 0h— уравнение Шредингера для стационарных состояний.Физический смысл имеют только регулярные волновые функции — конечные,однозначные и непрерывные вместе со своими первыми производными. Этиусловия выполняются только при определенном наборе E . Эти значенияэнергии называются собственными. Решения, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называются собственными функциями.Собственные значения E могут образовывать как непрерывный, так идискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (или сплошном)спектре, во втором — о дискретном спектре.12.

Движение свободной частицы.Для свободной частицы U ( x ) = 0 (пусть она движется вдоль оси x ).∂ 2ψ 2m+Eψ = 0∂x 2 h 2 i ( Et − p x x) Ψ ( x, t ) = A exp(−iωt + ikx) = A exp −будет функция:,hpxEгде A = const , ω = , k =— волновое число — может принимать любыеhhh 2 k 2 p x2=положительные значения, E =— непрерывный спектр энергий.2m 2 mРешением уравнения Шредингера:Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоскоймонохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая отвремени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке2∗2пространства Ψ = ΨΨ = A , т.е. все положения свободной частицы впространстве являются равновероятными.13.

Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками".Рассмотрим одномерную "потенциальную яму":∞, x < 0U ( x) =  0, 0 ≤ x ≤ l∞, x > lгде l — ширина "ямы", а энергия отсчитывается отее дна.Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы:∂ 2ψ 2m+Eψ = 0∂x 2 h 2или∂ 2ψ2mE+ k 2ψ = 0 , где k 2 = 2∂x 2hЗа пределы "ямы" частица не проникает, поэтому волновая функция вне"ямы" равна нулю, следовательно, на границах "ямы" непрерывная волноваяфункция также должна обращаться в нуль:ψ (0) = ψ (l ) = 0А.Н.Огурцов. Лекции по физике.Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами ν = ν 0 − ν i ,меньшими частоты ν 0 падающего света, называются стоксовыми (иликрасными) спутниками.ν = ν 0 + ν i , бóльшими ν 0 , называютсяЛиниисчастотамиантистоксовыми (или фиолетовыми) спутниками.Квантовомеханическое объяснение эффекта Рамана: комбинационноерассеяние света есть процесс неупругого "столкновения" фотонов смолекулами, в котором один фотон поглощается и один фотон испускаетсямолекулой.Если энергии фотонов одинаковы, то в рассеянном свете наблюдаетсянесмещенная линия.Если молекула под действием света перейдет в возбужденное состояние,то испущенный фотон будет иметь меньшую частоту — возникает стоксов(красный) спутник.Если молекула перейдет из возбужденного состояния в основное, тоиспущенный фотон будет иметь бóльшую частоту — возникает антистоксов(фиолетовый) спутник.

Интенсивность фиолетовых спутников растет стемпературой, а красных практически не изменяется.27. Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучение.Рассмотрим два квантовых состояния с энергиями E1 и E 2 .1. Поглощение. Если атом находится в основном состоянии1, то под действием внешнего излучения можетосуществиться вынужденный переход в возбужденноесостояние 2, приводящий к поглощению излучения.2. Спонтанное излучение. Атом, находясь в возбужденномсостоянии 2, может спонтанно (без внешних воздействий)перейти в основное состояние, испуская при этом фотон сhν = E2 − E1 . Процесс испускания фотонаэнергиейвозбужденным атомом без внешних воздействий называетсяспонтанным излучением. Чем больше вероятностьспонтанных переходов, тем меньше среднее время жизниатома в возбужденном состоянии. Так как спонтанныепереходы взаимно не связаны, то спонтанное излучениенекогерентно.3. Вынужденное излучение.

А. Эйнштейн для объяснения наблюдавшегосяна опыте термодинамического равновесия между веществом и испускаемым ипоглощаемым им излучением постулировал, что помимо поглощения испонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной типвзаимодействия.Еслинаатом,находящийсяввозбужденном состоянии 2, действует внешнее излучение счастотой, удовлетворяющей условию hν = E 2 − E1 , товозникает вынужденный (индуцированный) переход восновное состояние 1 с излучением фотона той же энергииhν = E2 − E1 дополнительно к тому фотону, под действиемкоторого произошел переход.

Таким образом, в процессвынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фотон,вызывающий (стимулирующий) испускание излучения возбужденным атомом,и вторичный фотон, испущенный атомом.Квантовая физика7–227–11Каждая из энергий квантуется и определяется квантовымичислами.Колебательная энергия, при небольших значениях колебательногоквантового числа υ , определяется формулой для энергии гармоническогоосциллятора:1Eкол = (υ + )hω2(υ = 0, 1, 2, K) .При этом правило отбора для колебательного квантового числа: ∆υ = ±1 .Вращательная энергия молекулы, вращающейся с угловой скоростьюω r , и имеющей момент инерции I относительно оси, проходящей через центрее инерции, равна:Iω r2 ( Iω r ) 2 M 2==22I2Iгде M = Iω r — момент импульсаEвращ =молекулы.Момент импульса квантуется позакону:M = h j ( j + 1)( j = 0, 1, 2, K)где j — вращательное квантовое число.Следовательно, вращательнаяэнергия молекулы может иметь толькоквантованные значения:Eвращ =h 2 j ( j + 1)2IПравило отбора для вращательногоквантового числа: ∆j = ±1 .Припереходеизодногоэнергетического состояния в другое, с учетом правил отбора, поглощается илииспускается фотон с энергией ∆E = hν .

На рисунке представлена схемауровней энергии двухатомной молекулы (для примера представлены толькодва электронных уровня: основное электронное состояние и первоевозбужденное электронное состояние).Типичные молекулярные спектры представляют собой совокупностьполос (полосатые спектры), которые в свою очередь состоят из огромногочисла настолько тесно расположенных линий — переходов междуэнергетическими уровнями, что их можно разделить, только используяспектральные приборы высокой разрешающей силы.26.

Комбинационное рассеяние света (эффект Рамана).Если на вещество (газ, жидкость, прозрачный кристалл) падает строгомонохроматический свет с частотой ν 0 , то в спектре рассеянного света нарядус частотой ν 0 источника излучения наблюдаются дополнительныелинии с частотами ν = ν 0 ± ν i , где ν i — частоты колебательных иливращательных переходов рассеивающих молекул.А.Н.Огурцов. Лекции по физике.Этим граничным условиям удовлетворяет решение уравнения Шредингераψ ( x) = A sin kx + B cos kx при B = 0 и k =En =n 2π 2 h 22ml 2nπ2mE2.

Поскольку k =, тоlh2(n = 1, 2, 3, K) — собственные значения энергии.При этом минимально возможное значение энергии:E min =π 2h 2.2ml 2Таким образом, энергия частицы в бесконечно высокой потенциальной"яме" принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.Квантованные значения энергии E n называются уровнями энергии, ачисло n , определяющее энергетические уровни частицы называется главнымквантовым числом.Собственныенормировкиlволновыеl∫0ψ n ( x)dx = A ∫0 sin222функцииψ n ( x) = A sinnπx,lсучетомnπx dx = 1 , будут иметь вид:l2nπψ n ( x) =sinx (n = 1, 2, 3, K)llНа рисунке изображены графикисобственных функций (а) и плотностьвероятности (б) обнаружения частицына разных расстояниях от "стенок"ямы, определяемая выражением2ψ n ( x) = ψ n ( x)ψ n∗ ( x) .14.

Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельныйэффект.Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы(высота U и ширина l ) для одномерного движения частицы: 0, x < 0U ( x) = U , 0 ≤ x ≤ l 0, x > l(область 1)(область 2)(область 3)Вид волновых функций, являющихсярешениями уравнения Шредингера дляобластей 1, 2 и 3 (см. рисунок и таблицу)свидетельствует о том, что:1) В области 1 волновая функцияпредставляет собой сумму двухплоских волн — движущейся всторону барьера и отраженной отбарьера.2) В области 2 в случае E < U :Квантовая физика7–127–21q = iβ , где β =Закон, связывающий частоты линий с атомным номером Z испускающегоих элемента, называется законом Мозли:2m(U − E )h3) В области 3 имеется только волна, прошедшая через барьер( B3 = 0) , которая имеет вид волн де Бройля с той же длиной волны, номеньшей амплитудой.УравнениеОбОбщее решениеРешение при E < UластьШредингера∂ 2ψ 1ψ 1 ( x) = A1 e ikx + B1 e −ikx+ k 2ψ 1 = 0 ,∂x 2∂ 2ψ 22+ q 2ψ 2 = 0 , ψ 2 ( x) = A2 e iqx + B2 e −iqx∂x 2∂ 2ψ 13+ k 2ψ 2 = 0 , ψ 3 ( x) = A3 e ikx + B3 e −ikx∂x 22mE 2 2m( E − U )2Здесь k =, q =h2h21ψ 1 ( x) = A1 e ikx + B1 e −ikxψ 2 ( x) = A2 e − βx + B2 e βxψ 3 ( x) = A3 e ikxТаким образом, квантовая механика приводит к принципиально новомуспецифическому квантовому явлению, получившему название туннельногоэффекта, в результате которого микрообъект может "пройти" сквозьпотенциальный барьер.Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициентапрозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношениеквадратов модулей прошедшей и падающей волны.

Для случаяпрямоугольного потенциального барьераD=A32A12 2l= D0 exp −2m(U − E )  hДля потенциального барьера произвольнойформы 2 x2D = D0 exp − ∫ 2m[U ( x) − E ] dx  hx1Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законамклассической механики, она не может проникнуть, можно пояснитьсоотношением неопределенностей. Неопределенность импульса ∆p наh. Связанная с этим разбросом в значенияхl( ∆p ) 2импульса кинетическая энергияможет оказаться достаточной для того,2mотрезке ∆x = l составляет ∆p >чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.15. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.Линейный гармонический осциллятор — система, совершающаяодномерное движение под действием квазиупругой силы, является моделью,которая часто используется при описании классических и квантовых систем.А.Н.Огурцов.

Характеристики

Список файлов учебной работы