ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-1 (1022073), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

ЭДС Е = 2В, а на рис. в — с источником тока J = 2А.

1. Линейные соотношения в электрических цепях.

Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то две любые величины (токи и напряже­ния) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависи­мостями вида y = а + bх. Функцию х выполняет ток или напряжение одной ветви, функ­цию у — ток или напряжение другой ветви. Согласно методу контурных токов, об­щее выражение для тока в k-ветви записывается в виде: . Если в схеме изменяется только одна ЭДС, например ЭДС Е_m, то все слагаемые в формуле, кроме слагаемого E_mg_km, постоянны и могут быть для сокращения записи заменены некоторым слагаемым А_к. Сле­довательно, I_k = A_k + E_mg_km . Аналогично, для p-ветви: I_p = A_p + E_ng _pm. Найдем E_m : Е_m = (I_Р — A_P) / g_pm и получим: I_k = a_k + b_kI_p, где а_к = А_k – А_pg_km = g_km/g_pm.

Это равенство свидетельствует о том, что при изменении ЭДС E_m токи I_к и I_p связаны линейной зависимостью. Из теоремы компен­сации известно, что любое сопротивление можно заменить источником ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в m-ветви эквивалентно изменению ЭДС Е_m. Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами имеет место при изменении не только ЭДС Е_m, но и сопротивления какой-то m-ветви.

Коэффициенты а_к и b_к могут быть найдены расчетным или опытным путем. При опытном определении коэффициентов достаточно найти значения двух токов (соответственно напряжений) при двух различ­ных режимах работы схемы и затем решить систему из двух урав­нений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте: I_k = I_k1, I_p = I_p1, а во втором: I_k = I_k2, I_p = I_p2. Тогда: I_k1 = a_k + b_kI_p1, I_k2 = a_k + b_kI_p2, отсюда: и .

Пример. В схеме на рисунке сопротивление R изменяется от нуля до

беско­нечности. Вывести зависимость напряжения U_cd от напряжения U_ak.

Решение. При разомкнутой ветви ab U_cd = 1,5rJ и U_ab = 0,5rJ. При коротком

замыкании ветви ab U_cd = 3/4 rJ и U_ab = 0. Отсюда а = 4/3 rJ и b = 1/3. Тогда,

Ucd = 4/3 rJ + 1/3 Uab.

1. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники тока и ЭДС, одной эквивалентной.

Участок цепи на рис. б эквивалентен участку цепи

на рис. а, если при любых значениях тока I,

подтекающего из всей остальной, не показанной на

рисунке части схемы, напряжение на зажимах а и b

(U_ab) в обеих схемах одинаково. Для того чтобы

выяснить, чему равняются R_э и Е_э, составим

уравнения для обеих схем. Для схемы рис. а:

I₁ + I₂ + I₃ + J_r + J_s = I, I₁ = ( E₁ – U_ab ) / R₁ = ( E₁ – U_ab)g₁ ; I₂ = ( E₂ – U_ab )g₂ , I_n = ( E₂ – U_ab )g_n

Следовательно: I = ∑I_k = ∑E_kg_k + ∑J_k - U_ab∑gk. Для схемы рис. б: I = E_эg_э – U_abg_э. Равенство токов I в схемах на рис. а, б должно иметь место при любых значениях U_ab, а это возможно только в том случае, если: g_э = ∑g_k , тогда: ∑E_kg_k + ∑J_k = E_эg_э, отсюда:

При подсчетах по этой формуле следует иметь в виду следую­щее: 1 )если в какой-либо ветви схемы ЭДС отсутствует, то соответ­ствующее слагаемое в числителе формулы выпадает, но проводимость этой ветви в знаменателе остается; 2) если какая-либо ЭДС в исходной схеме имеет направление, обратное изображенному на рис. а, то соответствующее слагаемое войдет в числитель фор­мулы со знаком минус.

Пример. Заменить параллельные ветви рис. в одной эквивалентной. Дано: E₁^/ =10В; E₁^// = 30В; E₂ = 40В; E₃ = 60В; R₁ =2Ом; R₂ = 4Ом; Rз= 1Ом; R₄ = 5Ом; J =6А.

Решение. Находим: g₁ = 0,5 См; g₂ = 0,25 См; g₃ = 1 См; g₄ = 0,2 См; R_э = 1 / ∑g_k = 1 / ( 0,5 + 0,25 + 1 + 0,2 ) = 0,513 См; Е_э = ( ∑E_kg_k – J ) / ∑g_k = (( 10 – 30 )*0,5 – 40*0,25 + 60 -6) / 1,95 = 18,4В

1. Метод узловых потенциалов.

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических це­пей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме п узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять по­тенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшает­ся с п до п – 1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Киргофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод явля­ется более экономным, чем метод контурных токов.

Пример. Запишем уравнения с помощью законов Кирхгофа.

R₁I₁₁ – R₂( I₂₂ – I₁₁ ) + 0 = E₁

R₂( I₂₂ – I₁₁ ) + R₃I₂₂ – R₄( I₃₃ – I₂₂ ) = 0

0 + R₄( I₃₃ – I₁₁ ) + R₅I₃₃ = -E₅

φ₁ = φ₃ + E₁ – R₁I₁, след: I₁ = ( E₁ + φ₃ – φ₁ )g₁. φ₁ = φ₃ – R₂I₂, след: I₂ = ( φ₃ – φ₁ )g₂. Подобно:

I₃ = ( φ₁ – φ₂ )g₃, I₄ = ( φ₃ – φ₂ )g₄, I₅ = ( E₅ + φ₃ – φ₂ )g₅

Получим систему уравнений: ( E₁ – φ₁ )g₁ + ( -φ₁ )g₂ – ( φ₁ – φ₂ )g₃ = 0

( φ₁ – φ₂ )g₃ + ( -φ₂ )g₄ + ( E₅ – φ₂ )g₅ = 0. Используем матрицы

, Gφ = I, тогда φ = G^-1I. Так можно найти потенциалы.

1. Метод двух узлов.

Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла; на рис.

изображена одна из таких схем. Наибо­лее рациональным

методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под

методом двух узлов понимают метод расчета электриче­ских цепей,

в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Расчетные формулы этого метода получают на основе формул I_n = ( E₂ – U_ab )g_n и I = ∑I_k = ∑E_kg_k + ∑J_k - U_ab∑gk; их также можно получить из метода узловых потенциалов.

В схеме ток I к узлам а и b схемы не подтекает. Поэтому если в предыдущей формуле принять I = 0, то из нее может быть найдено напряжение между двумя узлами:

U_ab = ( ∑E_kg_k + ∑I_k ) / ∑g_k. После определения напряжения U_ab находят ток в любой (n-й) ветви по формуле I_n = (E_n -U_ab )g_n.

Пример. Найти токи в схеме на рисунке, и сделать проверку баланса мощности, если Е = 120 В, Е₃ = 50 В, R₁ = 2 Ом, R₂ = 4 Ом, R₃ = 1 Ом, R₄ = 10 Ом. Решение. Определим токи в схеме на рисунке: U_ab = ( 120*0,5 – 50*1) / ( 0,5 + 0,25 + 1 + 0,1 ) = 10 / 1,85 = 5,4 В;

I₁ = ( E₁ - U_ab) / R₁ = (120 - 5,4) / 2 = 57,3 А; I₂ = (Е₂ - U_ab) / R₂ = (0 - 5,4) / 4 = -1,35 A;

I₃ = -55,4 А; I₄ = - 0,54 А. В схеме потребляется мощность I₁²R₁ + I₂²R₂ + I₃²R₃ + I₄²R₄ = 57,3²*2 + 1,35²*4 + 55,4²*1 + 0.54²*10 = 9647 Вт. Источники ЭДС доставляют мощность

E₁I₁ — Е₃I₃ в 120*57,3 + 50*55,4 = 9647 Вт. Так как мощность сходится, то все правильно.

1. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Полезность преобразования звезды в треугольник и треугольника в звезду.

Если переводить звезду в треугольник, то:

g₁₂ = g₁g₂ / ( g₁ + g₂ + g₃ );

g₂₃ = g₂g₃ / ( g₁ + g₂ + g₃ );

g₃₁ = g₃g₁ / ( g₁ + g₂ + g₃ );

Если переводить треугольник в звезду, то:

R₁ = R₁₂R₃₁ / ( R₁₂ + R₂₃ + R₃₁ );

R₂ = R₂₃R₁₂ / ( R₁₂ + R₂₃ + R₃₁ );

R₃ = R₃₁R₂₃ / ( R₁₂ + R₂₃ + R₃₁ );

Преобразование треугольника в звезду можно пояснить,

рас­смотрев, например, схему рис. а, б. На рис. а изображена

схема до преобразования, пунктиром обведен

преобразуемый тре­угольник. На рис. б представлена та же

схема после преобра­зования. Расчет токов произвести для

нее проще (например, мето­дом двух узлов), чем для схемы

рис. а. В полезности преобразования звезды в треугольник

можно убе­диться на примере схем рис. в, г. На рис. в

изображена схема до преобразования, пунктиром обведена

преобразуемая в треугольник звезда. На рис. г представлена

схема после пре­образования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений.

Пример. Найти значения сопротивлений R₁, R₂, R₃ в схеме рис. б, если сопротивления R₁₂, R₁₃, R₃₂ в схеме рис. а равны соответственно 2,3,5 Ом. Решение. По формуле:

R₁ = R₁₂R₃₁ / ( R₁₂ + R₂₃ + R₃₁ ) R₁ = 2*3 / (2+3+5) = 0,6 Ом; по формуле:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)