ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-1 (1022073), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

-5I₁₁ +17I₂₂ – 2I₃₃ = 10, -2I₂₂ +5I₃₃ = -8. Определитель системы: =1009, подсчитаем токи: I₁₁ = . I₂₂ = 0,224A, I₃₃ = -1,51A. Ток в ветви

cm I_cm = I₁₁ – I₂₂ = - 0,634 – 0,224 = - 0,86A. Ток в ветви am I_am = I₂₂ – I₃₃ = 0,224 + 1,51 = 1,734A.

1. Принцип и метод наложения.

Исходная формула: . Чтобы составить, общее выражение для тока в к-ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы к-ветвь входила только в один к-контур (это всегда возможно). Тог­да ток в л-ветви будет равен контурному току I_кк. Каждое слагаемое представляет собой ток, вы­званный в к-ветви соответствующей контурной ЭДС. Например, Е₁₁∆_к1 / ∆ есть составляющая тока к-ветви, вызванная контурной ЭДС Е₁₁. Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей Е₁, Е₂.., сгруппировать коэффициенты при этих ЭДС и получить выражение следующего вида:

. Это уравнение выражает собой принцип наложения.

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k-ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей. Принцип наложения положен в основу метода расчета, получив­шего название метода наложения.

При расчете цепей данным методом поступают следующим об­разом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов.

Пример. Для схемы на рисунке,

а методом наложения найти токи в

ветвях, определить мощности,

отдаваемые в схему источникам

тока и источником ЭДС, полагая

R₁ = 2 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃ = 6 Ом;

J = 5 А; E = 20 В.

Решение. Положительные направления токов в ветвях принимаем в соответ­ствии с рис. а. С помощью схемы рис.б (источник ЭДС удален, и зажимы cd закорочены) найдем токи в ветвях от действия источника тока: I^/₁ = J =5A, I^/₂ = I^/₁R₃ / R₂ +R₅ = 5*6 / (4+6) = 3A,

I^/₃ = 2A. Используя схему рис. в, подсчитываем токи в ветвях от действия источника ЭДС (зажимы ab разомкнуты, так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности): I"₁ = 0; I"₂ = I"₃ = E / ( R₂ + R₃ ) = 2А. Результирующие токи в ветвях вычислим, алгебраически суммируя соответствующие частичные токи этих двух режимов: I₁ = I^/₁ + I^/₂ = 5 + 0 = 5А; I₂ = I'₂ - I"₂ = 3 - 2 = 1 А; Iз = I'₃ + I"₃ = 2 + 2 = 4А;

φ_a = φ_b + I₂R₂ + I₁R₁; U_ab = 1*4 + 5*2= 14 В. Мощность, отдаваемая в схему источником тока, U_abJ = 14*5 = 70 Вт. Мощ­ность, отдаваемая в схему источником ЭДС, EI₃ = 20*4 = 80 Вт. Уравнение баланса мощности: .

1. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивление.

На рис.а изображена так называемая

скелетная схема пассивной цепи. На ней

показаны ветви и узлы. В каждой ветви

имеется сопротивление. Выделим в

схеме две ветви: m и k. Поместим в

ветвь m ЭДС Е_m (других ЭДС в схеме

нет). Выберем контуры в схеме так,

чтобы k-ветвь входила только в k-контур, а m-ветвь — только в m-контур. ЭДС Е_m вызовет токи в ветвях k и m: I_k = E_mg_km, I_m = g_mm. Коэффициенты g имеют размерность проводимости. Коэффициенту с одинаковыми индексами (g_mm) называют входной проводимостью ветви (ветви m). Он численно равен току в ветви m, возникшему от действия ЭДС E_m = 1В (единичной ЭДС): I_m = 1*g_mm. Коэффициенты g с разными индексами называют взаимными проводимостями. Так, g_km есть взаимная проводимость к- и m -ветвей. Взаимная проводимость g_km численно равна току в k -ветви, возникающему от действия единичной ЭДС в m -ветви. Входные и взаимные проводимости ветвей используют при вы­воде общих свойств линейных электрических цепей и при расчете цепей по методу наложения. Входные и взаимные проводимости могут быть определены рас­четным и опытным путями. При их расчетном определении составляют уравнения по мето­ду контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные проводимости которых представляют интерес, входили каждая только в свой контур. Далее находят определитель системы А и по нему необходимые алгебраические дополнения:

g_mm = ∆_mm / ∆, g_km = ∆_km / ∆. По формуле g_km может получиться либо положительной, либо отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что ЭДС Е_m направленная согласно с контурным током в m-ветви, вызывает ток в k-ветви, не совпадающей по направлению с произвольно выбранным направлением контурного тока I_к по k-ветви.

При опытном определении g_mm и g_km в m-ветвь схемы включают источник ЭДС Е_m, а в k-ветвь — амперметр. Поделим ток I_k на ЭДС Е_m и найдем значение g_km. Для определения входной проводимости ветви m(g_mm) необходимо измерить ток в m-ветви, вызванной ЭДС Е_m. Частное от деления тока m-ветви на ЭДС m-ветви и дает g_nm.

Выделим m-ветвь, обозначив всю остальную часть схемы

(не содержащую ЭДС) некоторым прямоугольником (рис.). Вся cхема,

обозначенная прямоугольником, по отношению к зажимам ab обладает

некоторым сопротивлением. Его называют входным сопротивлением.

Входное сопротивление m-ветви обозначим R_BXm. Тогда R_BXm = E_m / I_m = 1 / g_mm = ∆ / ∆_mm.

Таким образом, входное сопротивление m-ветви есть величина, обратная входной проводимости этой ветви.

Пример. Определить входную g₁₁ и взаимную g₁₂

проводимости в схеме на рисунке. Решение. Контуры в схеме

выбраны так, что ветвь 1 (ветвь cbm) с источником ЭДС

Е₁ входит только в первый контур, а ветвь 2 (ветвь са) с

источником ЭДС Е₂ — во второй. Поэтому можно

воспользоваться определителем системы ∆ и алгебраическими

дополнениями ∆₁₁ и ∆₁₂, составленными по данным: R₁₁ = 5+5+4=14 Om, R₂₂ = 5+10+2=17 Om, R₃₃ = 2+2+1=5 Om, R₁₂ = R₂₁ = -5 Om, R₁₃ = R₃₁ = 0, R₂₃ = R₃₂ = -2 Om, E₁₁ = -10 V, E₃₃ = -8 V. g₁₂ = ∆₁₂ / ∆ = Ом^-1 ≈ 0,025 См, g₁₁ = ∆₁₁ / ∆ = 0,081 Ом^-1 .

1. Теорема взаимности.

Теорема формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в к –ветви, вызванный источником ЭДС Е_m, находящимся в m –ветви, I_k = E_mg_km равен току I_m в m –ветви, вызванному источником ЭДС E_k ( численно равный ЭДС E_m ), находящимся в k –ветви, I_m = E_kg_mk. Доказательство: Так как Е_m = E_k, а матрица симметрична, то I_k = I_m.

Пример. В схеме на рисунке переключатели

Р₁ , Р₂ , Р₃ , Р₄ могут находиться в первом или

во втором положении. Если они находятся в

положении 1, то в схеме включен только один

источник ЭДС Е₄. Под действием ЭДС Е₄

протекают токи I₁ = 1,5А, I₂ = 3A, I₃ = 1А.

Найти ток U, если все переключатели находятся

в положении 2, полагая, что E₁ = 20 В, E₂ = 40 В, Е₃ = 50 В, E₄ =10 В.

Решение: Для определения тока I₄ воспользуемся принципом наложения и принципом взаимности. Если бы в схеме был включен один источник ЭДС Е₁ , = 10 В; а остальные (Е₂ и Е₃ ) отсутствовали, то в ветви 4 но принципу взаимности протекал бы сверху вниз ток в 1,5 А. Так как ЭДС Е₁ = 20 В, то в ветви 4 протекает ток, равный 1,5*20/10 = 3 А. Аналогичным образом найдем токи в ветви 4 при включении источников ЭДС Е₂ и Е₃ и произведем алгебраическое сложение частичных токов (с учетом их направлении):

I₄ = 1,5*20/10 + 3*40/10 – 1*50/10 = 10A.

1. Теорема компенсации.

Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораспределения сопротивление можно заменить: I) источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряжения на заменяемом со­противлении и направлена встречно току в этом сопротивлении; 2) источником тока J, ток которого численно равен току в этом сопро­тивлении и имеет то же направление, что и ток I. Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток I, а всю осталь­ную часть схемы условно обозначим прямоугольником ( рис. а ). Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противо­положно направленных источника ЭДС Е, ЭДС которых равна па­дению напряжения на сопротивлении Р под действием тока I (Е = IR, рис. б ), то ток I в цепи от этого не изменится. Если φ_c = φ_a то точки а и с можно объединить в одну, т. е. закоротить участок ас и получить схему, в которой вместо сопротивления R включен источник ЭДС Е.

Схема, соответствующая второму

варианту теоремы, изображе­на на рис. г.

Чтобы прийти к ней, заменим

последовательно соединенные R и Е, на

участке ас (рис. б ) параллельным

соеди­нением источника тока J = E / R = I и сопротивления R. Так как U_ac = О, то ток через R будет отсутствовать и потому R можно удалить из схемы. Если ЭДС Е участка bc включить в состав источника тока, тo получим схему рис. г, где напряжение U_ba = -IR.

Пример. На схеме рисунке а даны

значения R(Ом), ЭДС E (В) и токов

I(А). Заменить R₃ источником ЭДС

и источником тока. Решение. На

рис.б изображена схема с источником

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)