Касаткин А.С., Немцов М.В. Курс электротехники (2005) (1021859), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Резистивный элемент, Если ток в резистивном элементе синусоидап ьный 1„= 7 а!п(шг + т1,. ), 2„ +1 Рис. 2.13 Рис. 2Л2 Учитывая (2.28) и (2.276), получим закон Ома в комплексной форме для резистивного элемента. и =-г7'. Г Г (2.29) = 1 а1п(шг + ф.), то по закону электромагнитной индукции (2.3) напряжение на индук- тивном элементе равно и = -е = 7.г211,с(1 = сс77 я,соа(сэг + Ч2,.) = (7 атп(шг + Ч2, 4 Я12) = (71 чтэ|п(ш! + Р ), где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением и = 2,7 а их начальные фазы — соотношением Фя = Ф1 ~ я/2.
(2.30а) (2.306) Разделив правую и левую части выражения (2,30а) на ~/2, получим соотношение для действуюшнх значений напряжения и тока индуктивного элемента: (2.31) К = ~7.1 = «11 . 54 Соотношение между комплексными значениями тока и напряжения для резистивного элемента наглядно иллюстрируется векторной диаграммой (рис. 2.13). Из векторной диаграммы также видно, что век. торы комплексных значений тока и напряжения резистивного элемента совпадают по фазе.
Б, Индуктивный элемент. Если в индуктивном элементе ток синусоидапьный: На рис, 2 14 показан график мгновенных значений синусондальных тока и напряжения индуктивного элемента (построен при Ф,. ~ О), из которого видно, что синусоидальный ток! отстает по фазе от синусоидального напряжения и на угол Ч~ = Ԅ— Ч)1 = я(2. Величина х = гоЬ в выражении (2.31), единица которой Ом, называется индуктивным сопротивлением, а обратная величина Ь = 1/соА, единица которой Ом ' = См, — индуктивной проводимостью. Значения величин х и Ь являются параметрами индуктивных элементов цепей Е 1. синусоидального тока, Представим синусоидальнью ток ! и напряжение и индуктивного Ь элемента соответствукацими комплексйыми значениями: ! =)е ! и У =Бе и, !Ф !Ф Ь Е Ь !.
На рис. 2.15 приведена векторная диаграмма дпя индуктивного элемента, На вектоуной диаграмме показано, что вектор комплексного значения тока ! отстает по фазе от вектора комплексного значения Е напряжения 1/ на угол я/2. Пользуясь выражениями (2.31) и (2.26), Ь получим закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента; /ф 11)а. ь я/2) у =ссЫ е и =соИ е Л А (2.32) Входящая в зто выражение величина )сЛ, = )х называется комплексным сопротивлением индуктивного элемента, а обратная ей величина 1!!'и! = -)Ь вЂ” комплексной проводимостью индуктивного зле- А мента, Комплексное значение напряжения на индуктивном элементе можно выразить и через комплексное значение потокосцепления. Ри 2,14 Рис.
2.!5 55 Из (2.!) следует, что ф = Ыб, и по (2.32) и = -Е =1ьэф. б Е (2.33) Это — математическая формулировка закона электромагнитной нндук. ции (2.3) в комплексной форме. Иногда на векторной диаграмме, например при анализе трансформа. торов, изображают также вектор Еб, который направлен в сторону, противоположную и, как следует из (2.33), и равен ему по абсолютному значению. В. Емкостный элемент.
Если напряжение между выводами емкостного элемента изменяется синусоидально: и-=ис а!и( г+ р„), то йо (2.11) синусоидальный ток = СМ!(г = Сис ° ( + Ф„) = = ~ .,„ а(п ( г + Ф + я!2) = (с,„ а(п ( " + Ф ) где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением !ст = шСисю а их начальные фазы — соотношением Ф. = ф„+ я/2, (2.34а) (2.346) 1 и,= — ! =(с1Ь .
(2.35) Величина Ь = ьэС в выражении (2.35), единица которой Ом ' с См, называется емкосгной проводимостью, а обратная величина х = 1/соС, единица которой Ом, — емкосгным сопротивлением. Знас чения величии хс и Ь являются параметрами емкостных элементов цепей синусоидапьного тока, В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидального тока.
При постоянном напряжении сопротивление бесконечно велико. На рис. 2.16 показан график мгновенных значений синусоидальных напряжения и тока для емкостного элемента (построен прн Ь > О), Иэ КОТОРОГО Внтощ, ЧтО С5ЫУСОИДаЛЬНОЕ НаПРЯжЕНИЕ Ис ОтСтаЕт ПО фа5б Разделив правую и левые части выражения (2.34а) на ~„6, получим соотношение для действующих значений напряжения и тока емкостного элемента; О +1 Рнс. 2.16 Рвс. 2.17 зе от сюэусоидального тока ! на угол 17. — !/! = я/2, т.
е. сдвиг по с ! И фазе между напряжением и током зэ= (эн — (г,. =-я/2. Представим синусоидальные ток !с и напряжение и емкостного элемента соответствующими комплексными значениями: /(!! //э„ /с /с' " ()с (/с' Па рис. 2.17 приведена векторная диаграмма для емкостного элемента и показано, что вектор комплексного значения напряжения (/С отстает по фазе от вектора комплексного значения тока ! на угол л/2. Учитывая (2.34) и (2.26), получаем закон Ома в комплексной фазе для емкостного элемента. 1 (/с !'Ыс с /"сс (2.36) Величина 1//оэС = — /х, входящая в зто выражение, называется с комплексным сопротивлением емкостного элемента, а обратная ей величина /ЫС = /Ь вЂ” колэплексной проводимостью емкосгного элес мента 2,9, ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАКОНЫ КИРХГОФА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ Математическая формулировка законов Кирхгофа для цепей синусоидального тока зависит от выбранного способа представления синусоидал ьных величин.
А, Первый закон Кирхгофа, По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю: и !'„= О, а=! (2,37) 57 т. е. Р! Х 1, 81п(сот+ !уа) = О, а=! где л — число ветвей, сходяшихся в узле. В дальнейшем все синусоидальные токи, положительные направления которых выбраны к узлу 1от узла), будем записывать со знаком минус (плюс). На рис. 2,18 в качестве примера для одного из узлов построены мгновенные значения трех синусоидальных токов 1, = 1 81п(озг ь !1!,), 1! = 1л 81п1ьзт + й. ) 1, = 1ю М ( + !)!, ) при выбранных положительных направлениях.
Но первому закону Кирхгофа з Х ! = — 1,— !т+!,=О а 1! = 1 Р! 2: 1„=О, А=! (2.38) Рис ! !ч в, !х 58 для любого момента времени Чтобы получить математическую формулировку первого закона Кирхгофа в комплексной форме, представим все синусоидальные токи в 12,37) соответствуюшими им комплексными значениями (2.21): 1, = 1, 1. 51!,„. Первый закон Кирх!офа в комплексной форме записывается следуюши м образом: т, е, алгебраическая сумма комплексных значений токов всех ветвей, сходящихся в каком. либо узле цепи синусоидального тока, равна нулю. Здесь комплексные знач~ния токов, для которых но.
ложительные направления выбраны к узлу (от узла), записываются со знаком минус (плюс) . На рис. 2. !9 построена векторная диаграмма трех токов: 1с = 1с 1- 'зс сс ' 1з= 1,1. 4с,. 1з = 1з 1- чс;з На векторной диаграмме должно выполняться равенсгво з Х 1 = — 1,— 1,+ 1з=О. lс = ! Б. Второй закон Кирхгофа, По второму закону Кирхгофа алга. браическая сумма напряжений всех участков любого контура в каждый момент времени равна нулю; )л Х и = О, сс = 1 (2.39) т.
е. сл и,„„а!п( г + Ф„а) = о, /с= ! л сл Б и, = Б е се=! а=! (2.40) или л сл Е Ул,а)п(ьзг+ Фл„) = Е Е „азп(ьзг+ Ф «), /с=! ссл ссса е» где л и сл — соответственно числа пассивных элементов и ЗДС в контуре. В выражении (2.40) напряжения иа и ЗДС е,, для которых положительные направления совпадают (противоположны) с произвольно выбранным направлением обхода контура, записываются со зна. ком плюс (минус).
59 где напряжения, положительные направления которых совпадают (противоположны) с выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус); лс — число участков. В частности, для контура схемы замещения, содержашего только пассивнью элементы (резистивные, индуктивные, емкостные) и источники ЗДС, в каждый момент времени алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЗДС: и~ из из+ и4 — О, для контура 2 по (2.40) и — и = е, — ет.
г в Второй закон Кирхгофа в комплексной форме получим, представив все синусоидальные величины в (2,39) и (2.40) соответствующими комплексными значениями по (2.21): и» =и С фи, и Е„=К„2.Ф „, т. е, ю х и„=о а=1 (2.41а) а м х й,= х е„, В=! ' 1=1 (2.41б) Ряс. 2.20 ,- — — — — д, — — — — -1 ! ! ! ! () ,! Ь1 3 ! ! Р г~ бо Например, для выбранного на схеме замещения (рнс.
2.20) контура 2 по (2.39) В уравнениях (2.41) со знаком плюс (мннус) записываются комплексные значения напряжений и ЭПС, положительные направления которых совпаданл (протнвоположны) с произвольно выбранным направлением обхода контура. Например, для выбранного на схеме цепи (рнс. 2.21, а) контура 1 по (2.41а) Ц вЂ” и,— и,+ и,=о, для контура 2 по (3.41б) (1 — У = Е, — Е,. Е Те же контуры 1 и 2 показаны па схеме замещения с синусоидальными величинами Трио.
2.20) . На рис. 2.21, б построена векторная диаграмма ЭДС и напряжений контура 2, которая наглядно иллюстрирует второй закон Кирхгофа в комплексной форме. 2.10. КОМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ синтсОидАльнОГО тОкА Между мгновенными значениями синусоидальных величин (2.20) и их комплекснымн значениями (2.21) существует взаимно однознач. ное соответствие, Поэтому для описания режима работы цепи синусоидального тока можно применять любой нз этих способов представления синусоидальных величин. Однако в случае представления синусоидальных величин комплексными значениями запись законов Ома и Кирхгофа упрощается ввиду отсутствия тригонометрических функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
