AOP_Tom2 (1021737), страница 171
Текст из файла (страница 171)
Производящая функция равна С(с) (рх/(1 — (1 — р)с)), чта имеет смысл, так как данное распределение является и-кратной И. [1[2[0 В б 3[0[1 0[4(. 12. Алгоритм К (Данные дяя критерия монотонности). В.1. [Инициализация.[ Присвоить е' +- — 1 и присвоить СООМТ[Ц е- СООМТ[2[ +- е— СООМТ[б[ е- О. Также присвоить <Г„е — К„1 для удобства по завершении работы алгоритма. К2. [Присвоить г значение О.] Присвоить г е- О. КЗ. [Будет ли б', < Пз ыу[ Увеличить г и 1' на 1. Если 1(, < бг~ц повторить этот шаг.
К4. [Регистрация длины.) Если г > б, увеличить СООМТ[б[ на 1, иначе увеличить СООМТ[г) на 1. Кб. [Конец?) Если у' < и — 1, вернуться к шагу К2. 3 13. Существует (р+ д+ 1)("ке) способов получения К 1 >< П; « К~ее-1 < (Г.+р < < Уе.р+е ь Вычтите (г~е;~~) способов, в котоРых б', 1 < Ьо и вычтите ("~е1т') способов, в которых У;.ер 1 < П<~р. Затем добавьте 1 для способа, когда выполняются оба неравенства К 1 < П; и У, ер 1 < П,,т, так как этот способ вычитался дважды.
(Это частный случай принципа включения-исключения, который подробно рассматривается в разделе 1.3.3.) 14. Серия длиной г встречается с вероятностью 1/г! — 1/(г + 1)!, если предположить, что б', различны. Поэтому используем р, = 1/г) — 1/(г+ 1)! для г < 1 и р~ = 1/ — для серий длиной > й 13. Это всегда верно для Р(Х), когда Р непрерывна и Х имеет распределение Г (см замечание, следуюгцее за формулой 3.3.1-(23)). (а) тм = гпахЯр-ц, Яо~~цц .ц). Если Я,О ц занесено в память, то достаточно просто преобразовать этот массив в множество Я„без использования дополнительной памяти.
(Ъ) В его "улучшении" каждое ге должно на самом деле иметь требуемое распределение, но наблюдения не являются независимыми при больших значениях 14. Действительно, когда П вЂ” относительно большая величина, то все Ял, Я~ цо, Яб-ц.1р будут равны Ц, так что возможен эффект повторения тех же данных 1 раз (1г будет умножаться на 1, как в упр. 3.3.1 — 10). 17.
(Ь) Согласно тождествУ Бине (В~все) Разность Равна 2„е<е«,а(йь1' — 1",(ге), и поэтому она неотрицательна. (с) Поэтому, если В~ = У~, получим (Г[Ъ вЂ” У'1ь' = 0 для всех пар 1', К. Отсюда следует, что матрица имеет ранг < 2, поэтому ее строки линейно зависимы, (Более элементарное доказательство можно полУчить, если Учесть тот факт, что Равенство (Ге1" ,— ~У Ц = 0 длк 1 < ( < п влечет существование постоянных а, О, таких, что аУ,' + )1Ъ. = 0 для всех у при условии, что Уе и Ъд — не нули; последний случай может быть исключен в результате перенумерацин.) 16.
(а) Числитель равен -(бГа — (А)~, знаменатель равен ((Га — У~)~. (Ь) Числитель вэтом случае равен -(Гео + (г1 + (газ — ЬЬГ1 — 1г1бэ — ПзПа), а знаменатель — 2(1геа + — (гз(ге). (с) Знаменатель всегда равен ~„~< в „((1 — 1Уе)', что следует из упр. 1.2.3-30 или 1.2.3-31. 19. Сформулированный результат на самом деле имеет место для любого симметричного совместного распределения сга, ..., (Г„1 (распределение не меняется при перестановках). Пусть с1 = Па+ +П~-ц Яэ = Пад+ ' '+ бган и Х = (усП1 + ' ' '+ П -зП -1+ И вЂ” е Пе и П = пЯэ — 5,. Также пусть Е у(Уе,..., П„1) обозначает ожидаемое значение 1(Па,..., П„1) при условии, что Р ф О. Так как П вЂ” симметричная функция, Еу(ые,..., К,-1) = Е /((Г )о),..., ГГр)„)) ) для всех перестановок р из (О,, и — 1).
Следовательно, Е 5о/Р = и ЕВ)о/Р, Е 5)/Р = п(п — 1) Е(17оС)/Р) + п ЕСоо/Р и Е Х/Р = п Е(СоВ)/Р). Это влечет равенство 1 = Е (и5з — 5)о)/Р = — (и — 1) Е (иХ вЂ” 5) )/Р. (Строго говори, Е 5о/Р и Е 5о/Р могут быть бесконечными, поэтому необходимо позаботитьси о том, чтобы можно было работать только с линейными комбинациями ожидаемых величин, которые, как известно, существуют.) 20.
Пусть Е) )) ), Еы) ), Ею, Ео) и Ео означают соответственна величины Е(Со(Г) Г/ыСэ/Рэ), Е(С~оС)Сы/Р~), Е(С~~С) /РВ), Е(Г/оБ)/Р ), Е(Г3о/Р~). Тогда выполняется Е5э/Ре ы п(п — 1)Еог + пЕы Е(5ы5)~/Р ) = и(п — 1)(и — 2)Ег)) + и(и — 1)Ею+ 2и(и — 1)Еп + иЕм Е 5)ы/В~ = и(и — 1)(и — 2)(и — З)Е)))) +бп(и — 1)(и-2)Ем) +Зп(и-1)Еоо+4и(и-1)Ео) +иЕ4, ЕХы/Р = п(и — 3)Е)п)+2иЕз))+пЕыы, Е(Х5о/Рэ) = п(п — 2)(и — З)Е)гм+5и(и — 2)Еоп+ 2иЕыо + 2пЕы), Е((Во — Г)))~/В ) = 6Еыы — 8Ен + 2Е4.
откуда следует первый результат. Пусть б = а[(1пи)/п)ыо, М = ао/2 -ь 1/3 и т = [1/б), Если разделить область распределения на т равнавероятных частей, то можно показать, что в каждой части содержится число точек, равное числу, лежащему между иб(1-б) и пб(1+б) с вероятностью > 1 — 0(и и) Для этага нужно использовать неравенства для хвостов 1.2.10 -(24) и (25). Следовательно, если распределение равномерно, Р = —,' иы(1 + 0(б)), по крайней мере для этих вероятностей.
Если В не из этой облагти, та О < (ГГо — ГГ)) /Рэ < 1. Так как Е((Со — С)) ) = [ '/ (х — у) гГх)ГУ =,), можно получить, что Е((ГГо — С))4/Ры) = айп (1+0(б)) + 0(п о'). Замечоипе. Пусть )Л) числитель в (23). В. Дж. Диксон (Ж. 3. Р)хоп) доказал, что когда все переменные имеют нормальное распределение, ожидаемое значение величины е)ч'и *о)7" равно )) — 2 — М)О')~ — 2* )а — гг) — ) ) " О) '). Дифференцируя па ю н интегрируя по х, он нашел моменты Е(К/Р)ы" ' = (--') /(и — -')", Е(К/В)ы" = (+-') /(и+ -')", когда и > 2й. В частности, дисперсия в этом случае точно равна 1/(и+ 1) — 1Ди — 1)~.
[Аппа!э о/ббае1ь 5еае. 15 (1944), 119 — 144.[ 21. Последовательные значения с, ) = о — 1 на шаге Р2 равны 2, 3, 7, 6, 4, 2, 2, 1, О; следовательно, / = 886862. 22. 1024 = 6! + 2 5! + 2 . 4! + 2 . 3! -)- 2 2! -)- 0 1!, поэтому нужно, чтобы последовательные значения е — 1 на юаге Р2 были равны О, О, О, 1, 2, 2, 2, 2, О. Если теперь идти в обратном направлении, та получится перестановка (9, 6, 5, 2, 3, 4, О, 1, 7, 8). 23. Пусть Р(х),..., х)) = — ', 2 ~ о) [(У„,,1'„.ы) )) = (х),..., х))[. Тогда Я(х),,х)) = ) Р (у),,у))Р((х) — у)) ша)1)Г, ..., (х, — у ) шоб)Г) (ю,,ы) 1 или, более компактно, 0(х) = 2 Р'(у)Р(ы — у) Следовательно, используя общее неравенство (ЕЛ) < ЕХ, получим 2 ()е(х) — )Г ') = 4',(4 „Р'(у)(Р(х — у) — )Г '))э < Е,Еыр(у)(Р(х — у) — е( ') =2.ыр(у)Е,(Р(х) — )Г ')'=Е,(Р(х) — )Г ')' [С.
р боту С. Мэгэа81)а, Сошр. 5с). ал)Г 5сао)ес)се: 5ушр. оп Ейе ГпсегГасе 16 (1984), 5-6. Результат интересен только тогда, когда )Г' < 2Л, так как каждое Р(х) кратно 1/Л,[ 24. Запишите )е ) и и а: 1 для первых )е и последних Ге элементов цепочки а. Пусть К(а,)3) = [а =5[/Р(п) и пусть С вЂ” - это матрица )Г' и еу с элементами с„е = К(а,)9)— К(Š— 1: а, Š— 1 .
)3). Пусть С вЂ” — кавариацианная матрица случайных величин )ы'(а) для ~и~ = 1, деленная на и. Эти величины подчинены ограничению 2 Гу(ов) = 2 ~ о К(пп) для каждой из )Г' ' цепочек а, но все другие линейные ограничения вытекают из этого (см. теорему 2,3.4 2С). Поэтому С имеет ранг»(' — аа ' и согласно упр.
3.3.1-23 достаточно показать, что ССС = С. Нетрудно проверить, что с„в = Р(оД) 2 е~<» Те(о,5), где Те(а,д) — член, соответствующий пересечению, которое может произойтн, егли наложить»3 на о и сдвинуть ее на /с позиций вправо: Т 1К(1+И:, Д:1+Ь)-1, ° .Ь<0; ( К(о: ! — (с, с — )с: »3) — 1, если /с > О.
Например, если»» = 2, с = б, о = 01101 н 5 = 10101, то выполняется с»в = Р(0) Р(1) х (Р(01) '+ Р(101) '+ Р(1) ' — 9). Элемент а5 ССС поэта!»у равен Р(об), умноженному на з-! ) Р("»аЬ) ~~ ~~ Те(а, уа)(К(а,Ь) — 1)Т»(76,5). »,щ»-»,л=е ~е~<» щ<» Если заданы /с и 1, то произведение Те(а, уа)(К(а, Ь) — 1)Т»(7Ь, 5) разлагается на восемь членов, к каждому из которых добавляется ш1, до умножения на Р(эаЬ), а эател» выполняетсн суммирование по всем уаЬ. Например, сумма Р(уаЬ)К(2: а, уа .
2)К(а, Ь) х К(3: 2Ь д: 3), когда а = а! ...а», 5 = Ь!...Ь», 7 = с!...с» ! н 1 > б, равна сумме Р(с»... с» с), которая равна 1. Если 1 = 4, та же сумл»а должна равняться К(а»,Ь»), но не должна входить в сумму Р(эаЬ)К(2: о, уа: 2)( — 1)К(3: уЬ,,9: 3). Поэтому резульщт равен нулю, если только не выполняется неравенство Ь < 0 < 1; в противном случае исключаются К(»: (у: а), (5: 1): !) — К(»' — 1: (!'; о), (,3: 1+1); ! — 1), где ! = ш»п(1+/с, à — 1) и 1 = п»вх(0, Ь+ 1). Сумма по /с и ( прибавляется к с В. 26. Эмпирическая проверка показывает, что на самом деле, когда (22) обобщена для произвольного 1, отношение соответствующих элементов С! ! и С! »С»С! ! очень близко к — г при 1 > б. Например, когда 1 = 6, все эти соотношения лежат между — 6.039 и — 6.111; когда» = 20, то все они лежат между — 20.039 и — 20.043.
Этот феномен требует объяснения. 26. (а) Вектор (5»,..., 5„) является равномерно распределенной точкой в (и — Ц-мерном многограннике, определенном неравенствами 5! > О, ..., 5„ > 0 на гиперплоскости 5! + + 5» = 1. Легко доказать по индукции,что 1, с сю»'»» Т» (1 — в! — вз — — в )~ ' ас»/ »л»2' ' / Й» — ! [1 — 1! — 1 — ! >В») = (и — 1)! Чтобы получить вероятности, разделим этот интеграл на его значение в частном случае, когда в! = .
= в„= 0 [см, работу Бруно де Финетти (Вгппо с(е Р»пест!, Сюгпв1е 1вс»сосо Йабвло с)е61! Ампзп' 27 (1964), 131 — 173)]. (Ь) Вероятность того, что 510 > в, рвана вероятности 5! > в, ..., 5 > в. (с) Вероятность того, что 5»е» > в, равна вероятности, что по крайней мере Ь— 1 из 5, будет < в. Следовательно, 1 — Ре(в) = С»(в) + + Се-»(»), »де С»(в)— это вероятность, что точно у разностей < в. Из гоображений симметрии С,(в) равно (,), умноженному на веронтность того, что 5! < в, ..., 5, < в, 5»е! > в, ..., 5„> в, и эта вероятность равна Рг(5! < в,...,5, ! < в,5, > 0,5»е! > в,...,5„> в)— Рг(5! < в,,5, ! < в,5 > в,...,5„> в).
Повторное применение (а) показывает, что Св(в) = (".) ~ » (»!)( — 1)' '(1 — (и — 1)в)+ ', следовательно, В частности, наибольшая разность 500 имеет распределение [Между прочим, подобная величина х" '(и — 1)! 'Р„(х '), оказывается, является пла1пностью распределения суммы Н1+ +17„равномерно распределенных случайных величин.] (6) Пз фоймУл Е" =,)а'(1 — Р(3))3"-'83 и )а' "(1 — Ьа)" 83 = Ь-"-' -'("+ )-' находим е515~ — — и '(и — и 5) и с помощью алгебры получаем е5~453 — — и '(и+ 1) х (Н вЂ” Н„а+ (̈́— Н„а) ). Поэтому дисперсия 5151 равна и '(и+1) '(Н1~1 — Н141 (Н вЂ” Н„а ) ~/и) . (Распределение Га(3) нпервые было найдено В. Л. Витвортом (Иг. А. И1Ь1йжогсЬ), который сформулировал вопрос о распределении 515 ~ как проблему 667 в С1ю1се ал51 СЬвпсе (СвшЬ51нббе, 1867) и дал ее решение в ОСС Ехегс13еэ 1н СЬо1се апс( СЬапсе (СашЬ214)бе, 1897).
Витворт также нашел элегантный метод подсчета математического ожидания любого полинома от функции Са(3) = Ра(3) — Гае1(3). Этот результат был опубликован в буклете, озаглавленном ТЬе ЕхресГааюл оу Рагак (СашЬ21418е, 1898), и включен в пятое издание СЛо1се ал41 СЬалсе (1901). Упрощенные выражения для среднего, дигперсии и некоторых более общих статистик разностей были найдены Бартоном и Дэвидом (см. работу Ваггоп ап11 1)ааЫ, Х Науа) 55ас. 5ос. В18 (1966), 79-94). Обзор методов, которыми статистики традиционно анализируют разности как ключи к возможным смещениям данных, приведен в работе Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
